فيديو السؤال: إيجاد معكوس مصفوفة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

إذا كانت ﺃ تساوي أربعة، سالب سبعة، سالب ثلاثة، سالب أربعة، فأوجد، إن أمكن، المعكوس الضربي للمصفوفة.

تذكر أنه بالنسبة للمصفوفة ﺃ من الرتبة اثنين في اثنين التي تساوي ﻙ، ﻝ، ﻡ، ﻥ، فإن معكوسها يعطى بالصيغة واحد على محدد المصفوفة ﺃ مضروبًا في ﻥ، سالب ﻝ، سالب ﻡ، ﻙ، حيث يمكن إيجاد قيمة محدد المصفوفة ﺃ بطرح حاصل ضرب العنصرين العلوي الأيسر والسفلي الأيمن من حاصل ضرب العنصرين العلوي الأيمن والسفلي الأيسر. وهذا يساوي ﻙ مضروبًا في ﻥ ناقص ﻝ مضروبًا في ﻡ.

لاحظ أن هذا يعني أنه إذا كانت قيمة محدد المصفوفة ﺃ تساوي صفرًا، فلن يوجد معكوس؛ لأن واحدًا مقسومًا على قيمة محدد المصفوفة ﺃ سيصبح واحدًا مقسومًا على صفر، وهي قيمة غير معرفة. هيا نعوض بقيم المصفوفة في صيغة محدد المصفوفة ﺃ: ﻙ يساوي أربعة وﻝ يساوي سالب سبعة وﻡ يساوي سالب ثلاثة وﻥ يساوي سالب أربعة. إذن، محدد ﺃ يساوي ﻙ مضروبًا في ﻥ، أي أربعة مضروبًا في سالب أربعة، ناقص ﻝ مضروبًا في ﻡ، أي سالب سبعة مضروبًا في سالب ثلاثة.

أربعة مضروبًا في سالب أربعة يساوي سالب ١٦، وسالب سبعة مضروبًا في سالب ثلاثة يساوي ٢١. إذن، يصبح لدينا سالب ١٦ ناقص ٢١، وهو ما يساوي سالب ٣٧. وبما أن قيمة محدد المصفوفة ﺃ ليست صفرًا، فإن معكوس ﺃ موجود بالفعل. والآن بعد أن حصلنا على قيمة هذا المحدد، يمكننا التعويض بكل ما نعرفه في صيغة معكوس ﺃ.

واحد على قيمة محدد المصفوفة ﺃ يساوي واحدًا على سالب ٣٧ أو سالب واحد على ٣٧. ثم نبدل قيمة كل من ﻙ وﻥ. إذن، نحصل على سالب أربعة في الجزء العلوي الأيمن وأربعة في الجزء السفلي الأيسر. بعدئذ، نضرب العنصرين اللذين سميناهما ﻝ وﻡ في سالب واحد. وهذا يعطينا سبعة في الجزء العلوي الأيسر وثلاثة في الجزء السفلي الأيمن.

إذن، معكوس ﺃ هو سالب واحد على ٣٧ مضروبًا في سالب أربعة، سبعة، ثلاثة، أربعة.