فيديو الدرس: ضرب الأعداد الصحيحة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحدد متى تكون عملية الضرب مطلوبة، وكيف نضرب الأعداد الإشارية - وهي أعداد لها إشارة وقيمة - وكيف نطبق هذه العملية على مواقف حياتية.

حسنًا، لدينا بالفعل طرق متنوعة لضرب الأعداد الصحيحة، وهذه الأعداد هي بالطبع أعداد كلية. يمكننا استخدام جدول الضرب، أو طريقة الضرب الشبكي، أو طريقة الضرب العمودي. على سبيل المثال، خمسة في سبعة يعني إجمالي ما نحصل عليه إذا جمعنا خمسة أمثال العدد سبعة. حسنًا، نحن نعلم من جدول الضرب أن هذا يساوي ٣٥. وكذلك يمكننا القول إن الضرب عملية إبدالية؛ حيث يمكن إجراؤه بأي ترتيب. إذن، خمسة في سبعة هو نفسه سبعة في خمسة. وهذه حقيقة من المفيد للغاية تذكرها إذا كنت، على سبيل المثال، على دراية بجدول ضرب العدد خمسة أكثر من درايتك بجدول ضرب العدد سبعة.

لكن ماذا لو كنا سنحسب خمسة في سالب سبعة؟ حسنًا، في هذه المرة، المطلوب في السؤال هو معرفة إجمالي ما لدينا إذا جمعنا خمسة أمثال العدد سالب سبعة. هذا يساوي سالب سبعة زائد سالب سبعة زائد سالب سبعة زائد سالب سبعة زائد سالب سبعة. حسنًا، إذا أضفنا عددًا سالبًا، فإننا نتحرك باتجاه اليسار على خط الأعداد. إذن، سالب سبعة زائد سالب سبعة آخر يساوي سالب ١٤. ونجمع سالب سبعة آخر ونتحرك بمقدار سبع وحدات إلى اليسار على خط الأعداد. وهذا يعطينا سالب ٢١. إذا واصلنا التحرك إلى اليسار على خط الأعداد بمضاعفات العدد سبعة، فسنصل إلى سالب ٣٥. إذن خمسة في سالب سبعة يساوي سالب ٣٥.

وبالمثل، إذا أردنا حساب سالب خمسة في سبعة، فسنقول إن هذا يساوي سبعة أمثال العدد سالب خمسة، وسنجمع سالب خمسة زائد سالب خمسة زائد سالب خمسة، وهكذا. ومجددًا، هذا يساوي سالب ٣٥. إذن، ما الذي حدث بالفعل؟ حسنًا، إذا نظرنا إلى الأمر من خلال خط الأعداد، فسنجد أن خمسة في سبعة يبدو هكذا. نتحرك إلى اليمين على خط الأعداد بمضاعفات العدد سبعة خمس مرات. وخمسة في سالب سبعة يبدو هكذا. فنحن نتحرك إلى اليسار على خط الأعداد خمس مرات.

لاحظ كيف أن وجود الإشارة السالبة يغير الاتجاه الذي نتحرك فيه على خط الأعداد. ولهذا السبب، إذا ضربنا عددًا موجبًا في عدد موجب آخر، سيكون حاصل الضرب عددًا موجبًا. ويمكننا القول إن ضرب عدد موجب في عدد سالب أو عدد سالب في عدد موجب يغير الاتجاه، ويكون حاصل الضرب عددًا سالبًا. لكن ماذا يحدث إذا ضربنا عددًا سالبًا في عدد سالب؟

هذه المرة، نريد حساب سالب خمسة في سالب سبعة. نحن نعرف أن الإشارة السالبة تغير الاتجاه الذي نتحرك فيه على خط الأعداد. عند ضرب خمسة في سالب سبعة، فإننا نتحرك في الاتجاه السالب. لذا فإن إدخال إشارة سالبة أخرى إلى العملية يغير الاتجاه مرة أخرى، وبالتالي نتحرك في الاتجاه الموجب. إذن، سالب خمسة مضروبًا في سالب سبعة يساوي ٣٥. ونجد أنه عند ضرب عددين سالبين معًا، يكون حاصل الضرب موجبًا. إذن، دعونا نصغ ذلك رياضيًا.

حاصل ضرب عددين صحيحين موجبين أو عددين صحيحين سالبين هو عدد صحيح فراغ.

دعونا نبدأ بتذكر معنى «حاصل الضرب». إذا أردنا إيجاد حاصل ضرب عددين، فسنضرب كلًا منهما في الآخر. إذن، ما حاصل ضرب عددين صحيحين موجبين - تذكر أنهما عددان كليان - أو عددين صحيحين سالبين؟ حسنًا، نحن نعلم بالفعل أن حاصل ضرب عدد موجب وعدد موجب يساوي عددًا موجبًا. وبالمثل، إذا أوجدنا حاصل ضرب عددين سالبين، فسنحصل على عدد موجب أيضًا. وبذلك، يمكننا القول إن حاصل ضرب عددين صحيحين موجبين أو سالبين هو عدد صحيح موجب.

في هذه المرحلة، من المهم أن ننتبه إلى كيفية صياغة هذه القواعد. علينا ببساطة ألا نقول: «عدد سالب وعدد سالب يساوي عددًا موجبًا». فهذا قد يسبب مشكلة عند حساب سالب ثلاثة زائد سالب اثنين مثلًا. فنحن نعلم أن هذا يساوي سالب خمسة. لكن إذا قرأنا عبارة «عدد سالب وعدد سالب يساوي عددًا موجبًا»، فقد نعتقد أن الإجابة هي موجب خمسة. بدلًا من ذلك، نقول إن: «حاصل ضرب عدد سالب وعدد سالب يساوي عددًا موجبًا».

حاصل ضرب عدد صحيح سالب وعدد صحيح موجب هو عدد صحيح فراغ.

نحن نتذكر بالطبع أن حاصل ضرب عددين هو الناتج الذي نحصل عليه عند ضرب هذين العددين معًا. نحن هنا نوجد حاصل ضرب عدد صحيح سالب وعدد صحيح موجب، ونعلم أن إدخال إشارة سالبة في مسألة ضرب يغير الاتجاه الذي نتحرك فيه على خط الأعداد. وبما أننا نعلم أن عددًا موجبًا مضروبًا في عدد موجب آخر يعطينا عددًا موجبًا، فعندما نضرب عددًا سالبًا في عدد موجب، نغير الاتجاه. وبدلًا من التحرك إلى اليمين على خط الأعداد، نتحرك إلى اليسار على خط الأعداد. ونجد أن الناتج عدد سالب.

بالطبع يمكننا إجراء ذلك بأي ترتيب؛ فالضرب عملية إبدالية. وبذلك نجد أن عددًا موجبًا في عدد سالب يعطينا عددًا سالبًا آخر. إذن، حاصل ضرب عدد صحيح سالب وعدد صحيح موجب هو عدد صحيح سالب.

هيا نحاول الآن إيجاد حلول لبعض المسائل المشابهة.

سالب اثنين في ستة يساوي (فراغ).

لحل هذه المسألة، نبدأ بحساب اثنين في ستة. وهذا يساوي ضعف الستة أو ستة أمثال الاثنين. نحن نعلم من جدول الضرب أن اثنين في ستة يساوي ١٢. ونعرف أيضًا أن حاصل ضرب عدد سالب وعدد موجب - أي عدد سالب في عدد موجب - يساوي عددًا سالبًا. وهذا يعني أن سالب اثنين في ستة يجب أن يساوي عددًا سالبًا. إذن، الإجابة هي سالب ١٢.

سالب اثنين في سالب ستة يساوي (فراغ).

للإجابة عن هذا السؤال، نبدأ بحساب اثنين في ستة. وبالطبع اثنان في ستة يساوي ١٢. ونحن نعرف أيضًا أن حاصل ضرب عددين صحيحين سالبين - أي عدد صحيح سالب في عدد صحيح سالب آخر - هو عدد صحيح موجب. هذا يعني أن حاصل ضرب سالب اثنين في سالب ستة لا بد أن يكون عددًا موجبًا؛ وهو ١٢. إذن، سالب اثنين في سالب ستة يساوي ١٢.

سنتناول الآن إيجاد حاصل ضرب أكثر من عددين.

احسب سالب ثلاثة في سبعة في ١٠.

حسنًا، قد تجعل هذه الأقواس شكل السؤال غريبًا بعض الشيء. ولكن كل ما تعنيه هو أن لدينا سالب ثلاثة في سبعة في ١٠. والآن، سنبدأ بضرب ثلاثة في سبعة في ١٠. ويمكننا إجراء ذلك بأي ترتيب. لكن من المنطقي أن نؤخر الضرب في ١٠ إلى النهاية. إذن، نبدأ بحساب ثلاثة في سبعة. وهذا ثلاثة أمثال سبعة، أو سبعة أمثال ثلاثة. ونحن نعرف من جدول الضرب أن ثلاثة في سبعة يساوي ٢١.

بعد ذلك نحسب حاصل ضرب ثلاثة في سبعة في ١٠. إذن، لدينا الآن ٢١ في ١٠. وبالطبع، عند الضرب في ١٠، تتحرك الأرقام إلى اليسار خانة واحدة. إذن، ٢١ في ١٠ يساوي ٢١٠. إذن، لقد حسبنا ثلاثة في سبعة في ١٠ لنحصل على ٢١٠. لكننا في الحقيقة كنا نريد أن نحسب سالب ثلاثة في سبعة في ١٠. حسنًا، نتذكر قواعد التعامل مع الأعداد الإشارية. نعلم أن ضرب عدد صحيح سالب في عدد صحيح موجب يعطينا عددًا سالبًا. وبما أن ثلاثة في سبعة يساوي ٢١، فإن سالب ثلاثة في سبعة يساوي سالب ٢١. سنضرب بعد ذلك سالب ٢١ في ١٠. إذن، نحن نضرب عددًا سالبًا في عدد موجب، وهو ما يعطينا عددًا سالبًا آخر. وبذلك يكون الناتج هو سالب ٢١٠. إذن، سالب ثلاثة في سبعة في ١٠ يساوي عددًا سالبًا؛ وهو سالب ٢١٠.

في المثال التالي، سنلقي نظرة على كيفية استخدام ما تعلمناه لمساعدتنا في حساب أزواج العوامل.

أوجد ثلاثة أزواج مختلفة من الأعداد الصحيحة؛ بحيث يكون حاصل ضرب كل زوج يساوي سالب ٢٤.

حاصل ضرب عددين هو القيمة التي نحصل عليها عند ضربهما معًا. في هذا السؤال، نريد إيجاد أعداد صحيحة، وهي أعداد كلية. لذا، سنبدأ بإيجاد أزواج عوامل العدد ٢٤. تذكر أن عوامل العدد هي الأعداد التي يمكن قسمة العدد عليها دون باق. نحن نعلم أن ٢٤ مقسومًا على واحد يساوي ٢٤. إذن، واحد و٢٤ هما أحد أزواج عوامل العدد ٢٤. وبالمثل، اثنان في ١٢ يساوي ٢٤. إذن، اثنان و١٢ هما أحد أزواج العوامل. وثلاثة وثمانية هما زوج آخر من أزواج العوامل، وكذلك أربعة وستة.

لكننا نحاول إيجاد زوج من الأعداد الصحيحة يكون حاصل ضربه سالب ٢٤. حسنًا، نتذكر أن حاصل ضرب عدد صحيح سالب وعدد صحيح موجب، أو العكس بالطبع، هو عدد سالب. إذن، للحصول على سالب ٢٤، يمكننا استخدام سالب واحد و٢٤، أو واحد وسالب ٢٤. ويمكننا استخدام سالب اثنين و١٢، أو اثنين وسالب ١٢. ويمكننا استخدام سالب ثلاثة وثمانية، أو ثلاثة وسالب ثمانية، أو أخيرًا سالب أربعة وستة، أو أربعة وسالب ستة. كل هذه الأزواج صحيحة. لدينا هنا إجمالي ثمانية أزواج مختلفة يمكننا استخدامها. سنستخدم ثلاثة وسالب ثمانية، واثنين وسالب ١٢، وستة وسالب أربعة.

لنتناول مثالًا آخر.

‏‏ﺱ مقسومًا على سالب ١٣ يساوي سالب ٨٧٩. احسب قيمة ﺱ.

لدينا هنا معادلة. تخبرنا هذه المعادلة بأنه عند قسمة ﺱ على سالب ١٣، يكون الناتج سالب ٨٧٩. لإيجاد قيمة ﺱ، سنجري عملية عكسية. تذكر أن هذا يعني المعكوس. سنجري العملية العكسية للقسمة على سالب ١٣، وهي الضرب في سالب ١٣. حسنًا، ﺱ مقسومًا على سالب ١٣ في سالب ١٣ يساوي ﺱ. ولهذا اخترنا إجراء هذه الخطوة. ويتبقى لدينا ﺱ يساوي سالب ٨٧٩ في سالب ١٣.

حسنًا، لنبدأ بحساب قيمة ٨٧٩ في ١٣. يمكننا اختيار استخدام طريقة الضرب الشبكي على سبيل المثال، أو طريقة الضرب العمودي. لنلق نظرة على طريقة الضرب العمودي. أولًا، نضرب كل رقم من أرقام العدد ٨٧٩ في ثلاثة. تسعة في ثلاثة يساوي ٢٧. إذن، نضع سبعة هنا ونحتفظ بالاثنين. سبعة في ثلاثة يساوي ٢١، و٢١ زائد الاثنين يساوي ٢٣. ثم، ثمانية في ثلاثة يساوي ٢٤. وعندما نضيف اثنين، يكون الناتج ٢٦. بعد ذلك، نضرب كل رقم من أرقام العدد ٨٧٩ في واحد. لكننا نضرب في ١٠ في واقع الأمر. لذا، سنضيف صفرًا هنا. تسعة في واحد يساوي تسعة، وسبعة في واحد يساوي سبعة، وثمانية في واحد يساوي ثمانية.

والخطوة الأخيرة هي جمع هذين العددين المكونين من أربعة أرقام. وبذلك نحصل على ١١٤٢٧. إذن، نكون بذلك قد حسبنا قيمة ٨٧٩ في ١٣. لكن المطلوب هو حساب سالب ٨٧٩ في سالب ١٣. حسنًا، لنسترجع قواعد الأعداد الإشارية. نحن نعلم أن حاصل ضرب عددين صحيحين سالبين، أي عدد صحيح سالب مضروب في عدد صحيح سالب آخر، هو عدد صحيح موجب. هذا يعني أن ﺱ، وهو حاصل ضرب عددين سالبين وهما سالب ٨٧٩ وسالب ١٣، سيكون عددًا موجبًا. إذن، فهو يساوي موجب ١١٤٢٧.

في هذا الفيديو، تعلمنا أن حاصل ضرب عددين صحيحين موجبين أو حاصل ضرب عددين صحيحين سالبين هو عدد صحيح موجب. كما تعلمنا أيضًا أن حاصل ضرب عدد صحيح سالب وعدد صحيح موجب، أو العكس، هو عدد صحيح سالب. ورأينا أنه يمكننا إجراء هذا النوع من العمليات الحسابية عن طريق حساب قيمة حاصل ضرب العددين الموجبين أولًا، ثم التفكير في إشارة الناتج.