نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سنلقي نظرة على بعض أمثلة المعادلات التربيعية، وسنستخدم التحليل لإيجاد
جذورها التربيعية. كما سنتحدث عن بعض الرموز المختلفة التي يمكنك استخدامها في كتابة الإجابة. تناولنا في فيديوهات أخرى تحليل أنواع مختلفة من المعادلات التربيعية بالتفصيل، لذا سنراجع
العملية سريعًا هنا.
لكن أولًا، تذكر أن المعادلة التربيعية تتكون من حد مربع، وحد خطي، وحد ثابت. فتظهر في شكل عدد موجب أو سالب في 𝑥 تربيع، وعدد موجب أو سالب في 𝑥،
وعدد ثابت موجب أو سالب في النهاية. تذكر أيضًا أن معامل 𝑥 أو الحد الثابت الموجود في النهاية، قيمة 𝑏 أو
𝑐 هنا، قد يكون أحدهما صفرًا أو كلاهما. لكن لا يمكن أن تكون قيمة 𝑎 هنا صفرًا، وإلا فلن تكون معادلة تربيعية.
مثلًا، إذا كان 𝑎 يساوي واحدًا، و𝑏 سالب خمسة، و𝑐 ستة،
فسنحصل على المعادلة التربيعية 𝑥 تربيع ناقص خمسة 𝑥 زائد ستة. تذكر أيضًا أن المتغير ليس بالضرورة 𝑥، بل يمكن أن يكون أي حرف آخر. جذور المعادلة التربيعية هي قيم 𝑥 التي تعطيك النتيجة صفر عند التعويض بها في
المعادلة. سؤال كالتالي مثلًا: أوجد جذور المعادلة التربيعية: 𝑦 يساوي 𝑥 تربيع
ناقص خمسة 𝑥 زائد ستة، بمعنى حل المعادلة 𝑥 تربيع ناقص خمسة
𝑥 زائد ستة يساوي صفرًا. بمعنى آخر، أوجد قيم 𝑥 التي تحقق هذه المعادلة.
في هذه الحالة، دعونا لا نفكر في كيفية إيجاد الحل، لكن ثمة إجابتان محتملتان. إذا كان 𝑥 يساوي اثنين، فنعوض بهذا العدد في المعادلة ونحصل على الإجابة صفر، إذن
هذه القيمة مناسبة. وإذا كان 𝑥 يساوي ثلاثة، فنعوض بهذا العدد عن 𝑥 ونحصل على الإجابة
صفر، إذن هذه القيمة مناسبة أيضًا.
ويمكننا كتابة الإجابة بطريقتين. يمكننا كتابتها في صورة قائمة، إذن 𝑥 يساوي اثنين أو 𝑥 يساوي ثلاثة؛
أو يمكننا كتابتها في صورة مجموعة حل، فنضع اثنين وثلاثة داخل قوسي مجموعة. من المرجح أن تتعرض في المعادلات التربيعية لفكرة الأعداد الحقيقية، ومن ثم فإن مجموعة الحل
مستنبطة من مجموعة الأعداد الحقيقية. نسترجع شكل التمثيل البياني للمعادلة التربيعية، فنجد أنه إذا قطع المنحنى المحور
𝑥 في نقطتين، يصبح لدينا حلان. وإذا لامس المنحنى المحور 𝑥 عند نقطة واحدة، يصبح لدينا حل واحد. وإذا لم يقطع المنحنى المحور 𝑥، فلن يكون لدينا حل حقيقي. إذا استخدمنا أعدادًا تخيلية أو مركبة، فيمكننا التوصل إلى بعض الحلول، لكننا لن نتطرق إلى ذلك
الآن.
حسنًا. لنستعرض بعض الأمثلة. المثال الأول: أوجد مجموعة حل المعادلة 𝑥 تربيع زائد 10𝑥 يساوي
صفرًا. كان يمكن للسؤال أن يكون: أوجد جذور المعادلة 𝑦 يساوي 𝑥 تربيع زائد
10𝑥.
وهذه معادلة يمكن تحليلها بسهولة. لدينا 𝑥 و𝑥 هنا، إذن نأخذ 𝑥 عاملًا مشتركًا خارج
الأقواس. يمكننا التعبير عن ذلك بالمعادلة 𝑥 في 𝑥 زائد 10 يساوي
صفرًا. والآن بما أن 𝑥 خارج الأقواس فهذا يعني أنه سيكون 𝑥 في 𝑥
زائد 10، إذن لدينا شيء ما في شيء آخر يساوي صفرًا. والطريقة الوحيدة التي يمكنك بها الحصول على الإجابة صفر عندما تضرب شيئين في بعضهما، هي أن
يكون أحدهما صفرًا. إذن إما أن 𝑥 يساوي صفرًا، أو 𝑥 زائد 10 يساوي صفرًا. وإذا طرحت عشرة من طرفي هذه المعادلة، فسيتبقى لدي 𝑥 يساوي سالب عشرة. إذن لو كنت أكتب هذه الإجابات في صورة قائمة، فسأقول: إن إجابتي هي 𝑥 يساوي صفرًا
أو 𝑥 يساوي سالب 10. لكن السؤال طلب مجموعة حل. باستخدام أقواس المجموعة، القيمتان اللتان يمكن أن نعوض بهما عن 𝑥 هما صفر وسالب
10، إذن هذه ستكون إجابتي.
المثال الثاني: أوجد مجموعة حل المعادلة 𝑥 زائد سبعة الكل تربيع يساوي صفرًا.
𝑥 زائد سبعة الكل تربيع يعني 𝑥 زائد سبعة في 𝑥
زائد سبعة. لدينا إذن شيء ما في شيء آخر يساوي صفرًا. مرة أخرى شيء ما في شيء آخر يساوي صفرًا، والطريقة الوحيدة التي يمكن بها الحصول على ذلك هي أن
يكون أحدهما يساوي صفرًا. إذن إما 𝑥 زائد سبعة يساوي صفرًا، ما يجعل 𝑥 يساوي سالب سبعة، أو نفس
الشيء. إذن لدينا جذور متكررة. هذه إحدى الحالات التي إذا رسمنا فيها منحنى هذه الدالة 𝑦 يساوي 𝑥
زائد سبعة الكل تربيع، فسيبدو هكذا تقريبًا. سيلامس المحور 𝑥 عند نقطة واحدة هي سالب سبعة، وسيقطع المحور 𝑦 عند
49. إذن تحتوي مجموعة الحل على عنصر واحد، هو سالب سبعة.
ننتقل الآن إلى المثال الثالث. أوجد مجموعة حل المعادلة 𝑥 تربيع زائد اثنين 𝑥 ناقص 35
يساوي صفرًا في ℝ، وهي مجموعة الأعداد الحقيقية.
والجدير بالذكر أن 𝑥 تربيع تعني واحد 𝑥 تربيع. وعندما يكون لدينا واحد 𝑥 تربيع، هناك مجموعة معينة من القواعد التي يمكننا
اتباعها في التحليل. تذكر إذن أننا إذا كان لدينا 𝑥 زائد عدد ما في 𝑥 زائد عدد آخر،
وضربناهما في بعضهما حدًا بحد، فسنحصل على 𝑥 في 𝑥، ما يعطينا
𝑥 تربيع، ولدينا 𝑥 في 𝑏، أي موجب 𝑏𝑥،
و𝑎 في 𝑥، أي موجب 𝑎𝑥، و𝑎 في 𝑏،
أي موجب 𝑎𝑏.
وبالنظر إلى ذلك، نجد أن لدينا 𝑏𝑥 و𝑎𝑥، إذن نأخذ 𝑥
عاملًا مشتركًا، فنحصل على 𝑎 زائد 𝑏𝑥. وفي التحويل بين هاتين الصورتين المختلفتين للمقدار، نحصل في النهاية على 𝑎 في
𝑏، أي هذا العدد في هذا العدد. وهنا، باعتباره أحد مضاعفات 𝑥، لدينا 𝑎 زائد 𝑏. إذن سأضيف 𝑎 إلى 𝑏. ومن شأن ذلك أن يساعدنا في التحليل مع تذكر هذه الصورة.
لذا، فأنا أبحث عن 𝑥 زائد أو ناقص شيء ما في 𝑥 زائد أو ناقص شيء
آخر. وإذا ضربت هذين العددين في بعضهما، فسأحصل على سالب 35، وإذا جمعتهما معًا، فسأحصل
على موجب اثنين. أولًا، سأكتب جميع عوامل العدد 35.
ابدأ دائمًا بواحد والعدد، إذن واحد في 35، أما اثنان فهو ليس عاملًا، ولا ثلاثة،
ولا أربعة، لكن خمسة عامل، إذن خمسة في سبعة، وستة ليس عاملًا، والآن نصل إلى سبعة. لقد صادفنا سبعة بالفعل في القائمة؛ لذا نعلم أن لدينا جميع العوامل التي نحتاجها؛ واحد في
35 أو خمسة في سبعة. وهي عوامل العدد 35. ولكي نحصل على سالب 35، لا بد أن يكون أحدهما موجبًا والآخر سالبًا. ضع ذلك في اعتبارك إذن، فأحد هذه الأعداد سيكون موجبًا، والآخر سيكون سالبًا. وبجمع هذين العاملين معًا، لا بد أن أحصل على موجب اثنين. وبالنسبة إلى واحد و35، الفرق بينهما 34. لذا، لا يهم أيهما موجب وأيهما سالب. بجمعهما معًا، لن أحصل أبدًا على الإجابة موجب اثنين. لكن خمسة وسبعة، الفرق بينهما اثنان. لذا علي التفكير جيدًا أيهما يجب أن يكون موجبًا، وأيهما يجب أن يكون سالبًا.
وبجمعهما معًا، تكون النتيجة موجبة. إذن يجب أن يكون العدد الأكبر موجبًا والعدد الأصغر سالبًا. إذن 𝑥 ناقص خمسة في 𝑥 زائد سبعة يساوي صفرًا. والآن دعونا نتحقق من أننا سنحصل على نفس المقدار عند ضرب هذين معًا. 𝑥 في 𝑥 يساوي 𝑥 تربيع، و𝑥 في سبعة
يساوي سبعة 𝑥، وناقص خمسة في 𝑥 يساوي ناقص خمسة 𝑥، وناقص
خمسة في موجب سبعة يساوي ناقص 35. وبالتبسيط، نجد أن سبعة 𝑥 ناقص خمسة 𝑥 يساوي اثنين 𝑥. يتبقى لنا 𝑥 تربيع زائد اثنين 𝑥 ناقص 35. وهذا ما كنا نبحث عنه في الأصل، إذن فقد حللناها بشكل صحيح.
وجدنا أنفسنا أمام وضع فيه شيء ما في شيء آخر يساوي صفرًا. وإذا كان شيء ما في شيء آخر يساوي صفرًا، فلا بد أن يكون أحدهما صفرًا. إذن إما 𝑥 ناقص خمسة يساوي صفرًا، ما يعني أن 𝑥 يساوي خمسة؛ وإما أن
𝑥 زائد سبعة يساوي صفرًا، وفي هذه الحالة 𝑥 يساوي سالب سبعة. إذن مجموعة الحل تتكون من سالب سبعة وخمسة.
المثال الرابع: أوجد مجموعة حل أربعة 𝑥 تربيع ناقص 25 يساوي صفرًا في
مجموعة الأعداد الحقيقية.
لدينا إذن معادلة تربيعية 𝑏 فيها يساوي صفرًا. وفي الحقيقة، هذه حالة خاصة جدًا؛ لأن أربعة 𝑥 تربيع يمكن كتابته في صورة اثنين
𝑥 الكل تربيع، ويمكن كتابة 25 في صورة خمسة تربيع. لدينا إذن الفرق بين عددين مربعين، أي اثنين 𝑥 الكل تربيع ناقص خمسة تربيع. دعونا نتوقف لحظة لنتذكر طريقة إيجاد الفرق بين مربعين. إذا كان لدي زوجان من الأقواس، 𝑥 ناقص 𝑎 في 𝑥 زائد
𝑎، فإن 𝑥 في 𝑥 يساوي 𝑥 تربيع،
و𝑥 في موجب 𝑎 يساوي موجب 𝑎𝑥، وسالب 𝑎 في
𝑥 يساوي سالب 𝑎𝑥، وسالب 𝑎 في موجب 𝑎 يساوي
سالب 𝑎 تربيع. إذن بضرب زوجي الأقواس معًا، نحصل على 𝑥 تربيع زائد 𝑎𝑥 ناقص
𝑎𝑥. إذا بدأت بـ 𝑎𝑥 وطرحت منه 𝑎𝑥، فسأحصل على صفر، إذن نلغيهما
معًا. ثم لدي ناقص 𝑎 تربيع. إذن 𝑥 تربيع ناقص 𝑎 تربيع، وهو الفرق بين عددين مربعين. لذا سأستخدم هذه النتيجة: 𝑥 ناقص 𝑎 في 𝑥 زائد
𝑎 يعطيني 𝑥 تربيع ناقص 𝑎 تربيع، لتساعدني في تحليل هذا
المقدار.
شيء ما تربيع ناقص شيء آخر تربيع يعطيني الشيء الأول ناقص الشيء الآخر في الشيء الأول زائد
الشيء الآخر. وسأكمل بنفس النمط هنا. هذا ما قمنا بتحليله، وتذكر من المعادلة الأصلية أن ذلك يساوي صفرًا. لدينا إذن شيء ما في شيء آخر يساوي صفرًا. إذن إما اثنان 𝑥 ناقص خمسة يساوي صفرًا، والذي بإعادة ترتيبه وحله أحصل على
𝑥 يساوي خمسة على اثنين؛ وإما اثنان 𝑥 زائد خمسة يساوي صفرًا، والذي
يمكنني إعادة ترتيبه وحله للحصول على 𝑥 يساوي سالب خمسة على اثنين. إذن ها هما إجابتاي: 𝑥 يساوي خمسة على اثنين أو سالب خمسة على اثنين. وباستخدام أقواس المجموعة كما طلب السؤال، تكون مجموعة الحل المكونة من أعداد حقيقية هي سالب
خمسة على اثنين وخمسة على اثنين.
وأخيرًا نأتي للمثال الخامس. أوجد مجموعة حل المعادلة ستة 𝑥 تربيع زائد 11𝑥 ناقص 10
يساوي صفرًا في مجموعة الأعداد الحقيقية.
علينا هنا أن نحلل معادلة تربيعية لا تتضمن 𝑥 تربيع واحد فقط، بل أكثر من
واحد. علينا إذن تحليل هذه المعادلة التربيعية، فلنساوها بصفر، ونرى الحلين اللذين سنحصل عليهما. وهذا أصعب قليلًا من المعادلات أحادية معامل الحد الرئيسي. وهي المعادلات التي يكون معامل الحد الأعلى رتبة فيها قيمته واحد. على سبيل المثال، واحد 𝑥 تربيع زائد اثنين 𝑥 زائد خمسة. كما قلنا، هذه المعادلات أسهل في التحليل عن المعادلات التي معامل الحد الرئيسي فيها ليس
واحدًا. دعونا إذن نستعرض طريقة لتحليل هذه المعادلات التربيعية التي معامل الحد الرئيسي فيها ليس
واحدًا.
أولًا سأضرب معامل 𝑥 تربيع، وهو ستة، في الحد الثابت سالب 10. وستة في سالب 10 يساوي سالب 60. ما سأفعله الآن هو أنني سأكتب جميع العوامل؛ سأكتب 60 فقط ثم سأتعامل مع علامة
الناقص لاحقًا. إذن واحد في 60 يساوي 60، واثنان في 30 يساوي 60،
وثلاثة في 20، وأربعة في 15، وخمسة في 12، وستة في
10، أما السبعة فليس عاملًا، وثمانية ليس عاملًا، ولا تسعة، والـ 10 كتبناه من
قبل؛ فأصبح لدينا جميع عوامل العدد 60.
لدي إذن ستة أزواج من العوامل للعدد 60. لكن ما أريد معرفته الآن هو أي من هذه الأزواج عند جمعهما معًا سأحصل على موجب 11،
وهو معامل الحد 𝑥. والآن تذكر لأننا سنضربهما في بعضهما لنحصل على سالب 60، لا بد أن يكون أحدهما
موجبًا والآخر سالبًا. إذن بجمعهما معًا، سأحصل على الفرق بين الاثنين. أبحث عن عاملين الفرق بينهما 11. من الواضح أن واحدًا و60 الفرق بينهما ليس 11، واثنين و30
الفرق بينهما ليس 11، ولا ثلاثة و20 أيضًا، أما أربعة و15
فالفرق بينهما 11. لذا علي معرفة أيهما يجب أن يكون موجبًا، وأيهما يجب أن يكون سالبًا. أريد الحصول على موجب 11، إذن أكبرهما يجب أن يكون موجبًا وأصغرهما يجب أن يكون
سالبًا. سالب أربعة زائد 15 يعطيني موجب 11.
لذا سأعيد كتابة هذا الحد الأوسط زائد 11𝑥 في صورة تركيبة من سالب أربعة
𝑥 وموجب 15𝑥. والآن لا يهم بأي طريقة أو ترتيب سأكتب ذلك؛ موجب 15𝑥 ناقص أربعة 𝑥،
أو سالب أربعة 𝑥 زائد 15𝑥، لذا اخترت أن أكتبها بهذه الطريقة. لكن بالأساس، 15𝑥 ناقص أربعة 𝑥 يعطيني 11𝑥 كما وجدنا في
السطر السابق، إذن هذان السطران متكافئان تمامًا. بعد إعادة كتابة هذا الحد الأوسط، حد 𝑥، سأتعامل مع هذا باعتباره نصفين منفصلين؛
ستة 𝑥 تربيع زائد 15𝑥 وسالب أربعة 𝑥 ناقص
10𝑥. وسأحلل النصف الأول. أكبر عامل مشترك بين ستة و15 هو ثلاثة، و𝑥 تربيع و𝑥 أكبر
عامل مشترك بينهما هو 𝑥. إذن، سيكون ثلاثة 𝑥 في اثنين 𝑥. لأن ثلاثة 𝑥 في اثنين 𝑥 يعطيني ستة 𝑥 تربيع، فالعدد الذي
علي ضربه في ثلاثة 𝑥 لأحصل على 15𝑥 هو خمسة.
إذن فقد حللت النصف الأول من هذا المقدار. ولدينا بين القوسين اثنان 𝑥 زائد خمسة، وأريد أن يكون ذلك عاملًا مشتركًا. إذن سأكتب ذلك مرة أخرى هنا: اثنان 𝑥 زائد خمسة. ويجب أن أعرف ما العدد الذي علي أن أضربه في ذلك لكي أحصل على هذا المقدار؛ سالب أربعة
𝑥 ناقص 10. ثم ما العدد الذي علي ضربه في اثنين 𝑥 لكي أحصل على سالب أربعة 𝑥؟ حسنًا إنه سالب اثنين، فسالب اثنين في اثنين 𝑥 يساوي سالب أربعة
𝑥. دعونا نتحقق الآن من أن سالب اثنين في موجب خمسة يعطينا سالب 10. نعم، هذا هو الحد الآخر الذي نبحث عنه.
إذن هذان السطران أيضًا متكافئان، فقد أعدنا الكتابة بطريقة مختلفة قليلًا. بدلًا من ستة 𝑥 تربيع زائد 15𝑥، لدينا ثلاثة 𝑥 في اثنين
𝑥 زائد خمسة، وبدلًا من سالب أربعة 𝑥 ناقص 10𝑥، لدينا
سالب اثنين في اثنين 𝑥 زائد خمسة. لدي الآن شيء ما في اثنين 𝑥 زائد خمسة ناقص شيء ما في اثنين 𝑥 زائد
خمسة. واثنان 𝑥 زائد خمسة هو عامل مشترك لهذين الحدين. لذا، سأخرجه عاملًا مشتركًا. في الحد الأول، اثنان 𝑥 زائد خمسة في ثلاثة 𝑥. وفي الحد الثاني، اثنان 𝑥 زائد خمسة في سالب اثنين. لذا حللت المعادلة التربيعية لتصبح اثنين 𝑥 زائد خمسة في ثلاثة 𝑥 ناقص
اثنين. وإذا تحققنا سريعًا من ذلك، نجد أن اثنين 𝑥 في ثلاثة 𝑥 يساوي ستة
𝑥 تربيع، واثنين 𝑥 في سالب اثنين يساوي سالب أربعة 𝑥،
وموجب خمسة في ثلاثة 𝑥 يساوي 15𝑥، وموجب خمسة في سالب اثنين يساوي سالب
10. وكما قلنا من قبل سالب أربعة 𝑥 زائد 15𝑥 يساوي موجب
11𝑥. إذن هذا هو المقدار الذي نبحث عنه. لذا، يبدو أننا حللنا بطريقة صحيحة.
بالتحليل، يكون لدينا شيء ما في شيء آخر يساوي صفرًا. إذن أحدهما يساوي صفرًا. إما أن اثنين 𝑥 زائد خمسة يساوي صفرًا، أي إن 𝑥 يساوي سالب خمسة على
اثنين؛ وإما أن ثلاثة 𝑥 ناقص اثنين يساوي صفرًا، أي إن 𝑥 يساوي اثنين
على ثلاثة. إذن مجموعة الحل هي سالب خمسة على اثنين، أو اثنان على ثلاثة. تذكر أننا إذا كنا نكتب ذلك في صورة قائمة، كنا سنكتب 𝑥 يساوي سالب خمسة على
اثنين، أو 𝑥 يساوي اثنين على ثلاثة.
تلخيصًا لما قلناه، الجذور هي قيم 𝑥 التي نعوض بها لتصبح قيمة المقدار صفرًا. يمكن أن يكون للمعادلات التربيعية جذران حقيقيان، أو جذر واحد، أو قد لا يكون لها أي جذور
حقيقية. ثم عليك اختيار طريقة للتحليل. فسواء كانت عملية تحليل بسيطة، أو الفرق بين مربعين، أو معادلة معامل الحد الرئيسي فيها واحد،
أو ليس واحدًا، يمكنك التحليل إلى زوجين من الأقواس. وعند مساواتها بصفر والحصول على شيء ما في شيء آخر يساوي صفرًا، فإما أن يكون الشيء الأول
يساوي صفرًا، وإما أن يكون الشيء الثاني يساوي صفرًا. فتتمكن إذن من إيجاد الحلول. استمتع بطريقة التحليل لحل معادلاتك التربيعية.
