فيديو الدرس: حقول الاتجاه ومنحنيات الحل الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الدرس، سوف نتعلم كيف نرسم حقول الاتجاه التي تساعد في تصور الحل العام للمعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى بيانيًّا. سنحدد المعادلة التي يمثلها حقل اتجاه خاص. والعكس، سنحدد حقل الاتجاه الذي يمثل معادلة تفاضلية خاصة. لكن أولًا، دعونا نوضح بعض المصطلحات التي نستخدمها.

فلنفترض أن لدينا دالة مجهولة ﺹ، وهي دالة في المتغير ﺱ. ميل ﺹ ﺩﺹ على ﺩﺱ هو مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. المعادلة التفاضلية هي معادلة تحتوي على مشتقة دالة ما. وتحتوي المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى على المشتقة الأولى فقط. وتعرف المعادلة التفاضلية الميل بدلالة الدالة ﺩ. قد تكون ﺩ دالة لـ ﺱ. وقد تكون ﺩ دالة لـ ﺹ. أو قد تكون ﺩ دالة لـ ﺱ وﺹ. وفي الوضع الأمثل، إذا كانت المعادلة التفاضلية معطاة في البداية، فسنرغب في أن نتمكن من حلها. هذا يعني إيجاد المشتقة العكسية، أي الدالة ﺹ لـ ﺱ. لكن كما تعلم، هذا ليس ممكنًا في حالة معظم المعادلات التفاضلية. وفي الحقيقة هناك معادلات تفاضلية قليلة جدًّا يمكن حلها حلًّا دقيقًا.

ومع ذلك، فهذا ليس وضعًا ميؤوسًا منه؛ لأننا نستطيع رسم مشتقة الدالة. إنها المعادلة التفاضلية عند نقاط متنوعة في المستوى ﺱﺹ. هذا يسمى حقل الميل أو حقل الاتجاه. في هذا المثال، ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي اثنين ﺱ، وهو دالة لـ ﺱ. كل خط من الخطوط الزرقاء يمثل ميل حل خاص ﺹ لـ ﺱ عند تلك النقطة. فعلى سبيل المثال، عندما ﺱ يساوي تقريبًا ٠٫٥، يكون ميل الحلول عند تلك النقطة موجبًا. في الحقيقة، يمكننا إيجاد ميل أي حل عند ﺱ يساوي ٠٫٥ بالتعويض عن ﺱ بـ ٠٫٥، أي نصف، في المعادلة التفاضلية. ونجد أن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي اثنين في نصف، وهو ما يساوي واحدًا. إذن، عند ﺱ يساوي ٠٫٥ تقريبًا، فأي حل لهذه المعادلة التفاضلية، ميله يساوي واحدًا عند تلك النقطة.

يتم تحديد حل خاص لمعادلة تفاضلية باستخدام قيمة ابتدائية. على سبيل المثال، في حالتنا هذه، لدينا ثلاثة حلول خاصة في هذا التمثيل البياني، حيث الحل أ له قيمة ابتدائية صفر، واحد. والحل ب له قيمة ابتدائية صفر، صفر. والحل ج له قيمة ابتدائية صفر، سالب اثنين. وفي الواقع، الحل العام لهذه المعادلة التفاضلية هو ﺹ لـ ﺱ يساوي ﺱ تربيع زائد ثابت التكامل.

في الحل الخاص أ، ثابت التكامل يساوي واحدًا. في الحل ب، ثابت التكامل يساوي صفرًا. في الحل ج، ثابت التكامل يساوي سالب اثنين. هذه فقط ثلاثة حلول ممكنة لهذه المعادلة التفاضلية. وفي الحقيقة يوجد عدد لا نهائي، وكل حل معرف بالثابت ﺙ. وتذكر أن تمثيل حقل الاتجاه يمنحنا فكرة ما عن السلوك العام لعائلة حلول المعادلة التفاضلية. باستخدام قيمة ابتدائية، يمكننا رسم حل خاص. وهذا الحل يتبع اتجاه ميل القطع المستقيمة في حقل الاتجاه.

فلنتناول الآن الكيفية التي في الواقع يمكننا بها رسم حقل اتجاه. لنفترض أن لدينا المعادلة التفاضلية ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ﺱ ناقص ﺹ، وهي دالة لـ ﺱ وﺹ. هذا يعني أنه عند أي نقطة في مستوى ﺱﺹ، ميل حل المعادلة التفاضلية عند تلك النقطة يساوي الإحداثي ﺱ ناقص الإحداثي ﺹ. وبذلك نرسم خطًّا صغيرًا بهذا الميل عند هذه النقطة في المستوى ﺱﺹ. دعونا نطبق ذلك في بعض أمثلة من النقاط باستخدام هذه المعادلة التفاضلية. إذا افترضنا أن ﺱ يساوي صفرًا وﺹ يساوي واحدًا باعتبارها النقطة الأولى، فالميل ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ﺱ ناقص ﺹ، وهو صفر ناقص واحد. وهذا يساوي سالب واحد. إذن الميل عند النقطة صفر، واحد، يساوي سالب واحد.

فلنبدأ بوضع تلك النقاط على التمثيل البياني لنرى كيف يبدو ذلك في حقل الاتجاه. عند النقطة صفر، واحد، يكون للحل ميل يساوي سالب واحد. دعونا نختر نقطتنا التالية ولتكن ﺱ يساوي صفرًا وﺹ يساوي صفرًا. في هذه الحالة، ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي صفرًا ناقص صفر، وهو ما يساوي صفرًا. إذن عند هذه النقطة، لدينا خط أفقي ميله صفر. وباختيار واحد، صفر باعتبارها النقطة التالية، فإن الميل يساوي واحدًا ناقص صفر، وهو ما يساوي واحدًا. بالتالي، عند النقطة واحد، صفر يصبح لدينا الميل الموجب واحد. إذا تابعنا بهذه الطريقة، فإن النقطة صفر، سالب واحد، عندها ميل يساوي واحدًا. والنقطة سالب واحد، صفر، عندها ميل يساوي سالب واحد. والنقطة واحد، واحد، عندها ميل يساوي صفرًا. والنقطة سالب واحد، سالب واحد، عندها ميل يساوي صفرًا أيضًا. وإذا تابعنا بهذه الطريقة للمزيد من النقاط في المستوى ﺱﺹ، نحصل على حقل الاتجاه. وحقل الاتجاه هذا يمثل المعادلة التفاضلية ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ﺱ ناقص ﺹ.

فالحل المار عبر نقطة خاصة في حقل الاتجاه سيتبع اتجاه هذه القطع المستقيمة الصغيرة. ونقول إن هذا هو منحنى الحل بالشرط الابتدائي ﺱ صفر، ﺹ صفر، حيث في هذه الحالة ﺱ صفر، ﺹ صفر، يساوي سالب واحد، سالب واحد. والجدير بالملاحظة هو أن أي منحنى حل سفلي يمر عبر أي من القطع المستقيمة المرسومة سيكون له نفس ميل القطعة المستقيمة عند تلك النقطة. وقد لا يتبع الحل القطع المستقيمة المرسومة فقط. فمن المحتمل أن يتخلل القطع المستقيمة. تذكر أن الرسم ما هو إلا المشتقة عند مجموعة مختارة من النقاط. إذن، حقل الاتجاه هو طريقة لتمثيل عدد لا نهائي من الحلول الخاصة. وإذا علمنا أن الحل الذي نبحث عنه يمر عبر نقطة خاصة، فإن اتباع خطوط الميل عند تلك النقطة يوصل إلى ذلك الحل الخاص.

دعونا نلقي نظرة على مثال.

افترض أن التمثيل البياني لحقل الاتجاه المعطى يمثل معادلة تفاضلية. إذا كان حل المعادلة التفاضلية يحتوي على النقطة ﻡ، فأي نقطة يمكن أن تنتمي أيضًا إلى الحل؟

دعونا نتتبع منحنيات الحل عبر كل نقطة من النقاط في اتجاه نمط خطوط الميل المرسومة خلال القطع المستقيمة. بدءًا من النقطة الموجودة في المسألة، ﻡ، نلاحظ أن منحنى الحل قد يمر بالنقطة ﺟ. ورغم أن ﺟ لا تقع بالضبط على القطعة المستقيمة، فإنها تقع ضمن نمط حقل الميل المرسوم بواسطة حل مار بالنقطة ﻡ. إذن النقطة ﺟ نقطة محتملة للحل المار بـ ﻡ. دعونا أيضًا نتحقق من النقاط ﺃ وﺏ وﺩ وﻫ. باتباع نمط حقل الاتجاه المار بالنقطة ﺃ، نجد أن الحل لا يتوافق مع النقطة ﻡ. وبذلك، النقطة ﺃ لا يمكن أن تنتمي إلى الحل نفسه مع ﻡ. وباتباع النمط المار بالنقطة ﺏ، نجد مرة أخرى أن هذا الحل لا يتوافق مع النقطة ﻡ. ينطبق الشيء نفسه على النقطة ﺩ وأيضًا النقطة ﻫ، وبالتالي فالنقطة ﺟ فقط هي التي قد تنتمي إلى حل يتضمن النقطة ﻡ.

رأينا كيفية رسم حقل اتجاه وكيفية تتبع حلول مارة عبر نقطة. فلنلق الآن نظرة على مثال معطى فيه الحقل الاتجاهي ونريد إيجاد المعادلة التفاضلية التي يمثلها حقل الاتجاه.

انظر إلى التمثيل البياني المعطى لحقل الاتجاه. أي المعادلات التفاضلية الآتية ممثلة على التمثيل البياني؟ أ) ﺹ شرطة يساوي ﺱ زائد اثنين على ﺱ ناقص ثلاثة. ب) ﺹ شرطة يساوي اثنين ناقص ﺱ على ﺱ ناقص ثلاثة. ج) ﺹ شرطة يساوي ﺱ ناقص اثنين على ﺱ زائد ثلاثة. د) ﺹ شرطة يساوي ﺱ زائد اثنين على ثلاثة ناقص ﺱ. أو هـ) ﺹ شرطة يساوي ﺱ ناقص اثنين على ﺱ ناقص ثلاثة.

نلاحظ أن كلًّا من الخيارات فيه موجب أو سالب اثنين في البسط وموجب أو سالب ثلاثة في المقام. وإذا نظرنا إلى تمثيلنا البياني، نجد أن سلوك الميل عند ﺱ يساوي سالب اثنين، وعند ﺱ يساوي موجب ثلاثة مختلف تمامًا. عند ﺱ يساوي سالب اثنين، القطع المستقيمة في حقل الاتجاه جميعها أفقية. وهذا يعني أن الميل يساوي صفرًا. أي إن ﺹ شرطة يساوي صفرًا عند ﺱ يساوي سالب اثنين.

لذا دعونا نجرب التعويض عن ﺱ بسالب اثنين في كل من المعادلات المحتملة ونرى إذا كنا سنحصل على تطابق. عند ﺱ يساوي سالب اثنين في المعادلة أ،‏ ﺹ شرطة يساوي سالب اثنين زائد اثنين على سالب اثنين ناقص ثلاثة. هذا يساوي صفرًا على سالب خمسة، ما يساوي صفرًا. إذن المعادلة أ عند النقطة ﺱ يساوي سالب اثنين تطابق بالفعل حقل الاتجاه المعطى. إذا نظرنا إلى المعادلة ب عند ﺱ يساوي سالب اثنين، لدينا ﺹ شرطة يساوي اثنين ناقص سالب اثنين على سالب اثنين ناقص ثلاثة. هذا يساوي أربعة على سالب خمسة، وهو ما لا يساوي صفرًا. إذن المعادلة ب لا تطابق الحقل الاتجاهي عند ﺱ يساوي سالب اثنين. ويمكننا استبعاد المعادلة ب.

فلنجرب الآن المعادلة ج. في المعادلة ج، لدينا ﺹ شرطة يساوي سالب اثنين ناقص اثنين على سالب اثنين زائد ثلاثة. هذا يساوي سالب أربعة على واحد، وهو ما لا يساوي صفرًا. لذا يمكننا استبعاد المعادلة ج. وعند ﺱ يساوي سالب اثنين في المعادلة د، لدينا ﺹ شرطة يساوي سالب اثنين زائد اثنين على ثلاثة ناقص سالب اثنين. هذا يساوي صفرًا على خمسة، وهو ما يساوي صفرًا. فالمعادلة د تطابق حقل الاتجاه عند ﺱ يساوي سالب اثنين. إذن المعادلة د تظل حلًّا ممكنًا. في المعادلة هـ، لدينا ﺹ شرطة يساوي سالب اثنين ناقص اثنين على سالب اثنين ناقص ثلاثة. هذا يعطينا سالب أربعة على سالب خمسة، وهو ما يساوي أربعة على خمسة. وهذا لا يساوي صفرًا. من ثم فهذه المعادلة لا تطابق حقل الاتجاه. ويمكننا استبعاد المعادلة هـ.

يتبقى لدينا الآن المعادلتان أ ود باعتبارهما خيارين ممكنين. دعونا نجرب الآن التعويض عن ﺱ بموجب ثلاثة في هاتين المعادلتين. عند ﺱ يساوي موجب ثلاثة، يصبح مقاما المعادلتين صفرًا. هذا يعني أن كلتا المعادلتين غير معرفتين عند ﺱ يساوي ثلاثة ولهما ميل رأسي عند تلك النقطة. وهذا يتوافق مع الميل الموجود في حقل الاتجاه. لذا سيكون علينا أن نبحث في مكان آخر عن حل ممكن. فلنختر قيمة أخرى، ولتكن ﺱ يساوي صفرًا. عند ﺱ يساوي صفرًا، يكون لكل قطعة مستقيمة في حقل الاتجاه ميل سالب. دعونا نرى إشارة الميل لكلتا المعادلتين التفاضليتين المتبقيتين عند ﺱ يساوي صفرًا.

في المعادلة أ،‏ ﺹ شرطة يساوي صفرًا زائد اثنين على صفر ناقص ثلاثة، وهو ما يساوي اثنين على سالب ثلاثة، أي أقل من الصفر. هذا يتوافق مع الميل عند ﺱ يساوي صفرًا في حقل الاتجاه المعطى. إذن المعادلة أ تظل حلًّا ممكنًا. في المعادلة د، ‏ﺹ شرطة يساوي صفرًا زائد اثنين على ثلاثة ناقص صفر. هذا يساوي اثنين على ثلاثة، وهو ناتج موجب. وهذا لا يتوافق مع اتجاه الميل عند ﺱ يساوي صفرًا في حقل الاتجاه المعطى. وبذلك يمكننا استبعاد المعادلة د. تتبقى لدينا المعادلة أ فقط. إذن، التمثيل البياني لحقل الاتجاه يمثل المعادلة التفاضلية ﺹ شرطة يساوي ﺱ زائد اثنين على ﺱ ناقص ثلاثة.

في هذا المثال، كان لدينا حقل اتجاه معطى. وكان علينا اختيار المعادلة التفاضلية المناسبة للتمثيل البياني.

في المثال التالي، نبدأ بمعادلة تفاضلية وعلينا إيجاد أي من التمثيلات البيانية المعطاة تطابق المعادلة التفاضلية.

أي مما يلي يمثل حقل اتجاه للمعادلة التفاضلية ﺹ شرطة يساوي اثنين ﺱ زائد ثلاثة ﺹ ناقص خمسة.

الطريقة التي سنحل بها هذه المسألة هي طريقة الاستبعاد. أولًا، سنوجد نقطة في كل تمثيل بياني حيث ﺹ شرطة، أي الميل، يساوي صفرًا. فهذا يمثل قطعة مستقيمة أفقية. إذا كانت هذه المعادلة التفاضلية لا تساوي صفرًا عند تلك النقطة، إذن يمكننا استبعاد التمثيل البياني المرتبط بها. إذا بدأنا بالتمثيل البياني أ، ‏ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي صفرًا عند النقطة واحد، سالب واحد. إذن الميل في التمثيل البياني أ، يساوي صفرًا عند النقطة واحد، سالب واحد. الآن، إذا عوضنا عن ﺱ بواحد وعن ﺹ بسالب واحد في المعادلة التفاضلية، نحصل على ﺹ شرطة يساوي اثنين في واحد زائد ثلاثة في سالب واحد ناقص خمسة. هذا يساوي اثنين ناقص ثلاثة ناقص خمسة، وهو ما يساوي سالب ستة. هذا لا يساوي صفرًا. إذن يمكننا مباشرة استبعاد التمثيل البياني أ.

فلننظر الآن في التمثيل البياني ب. التمثيل البياني ب يحتوي على ميل يساوي صفرًا عند ﺱ يساوي سالب واحد وﺹ يساوي سالب واحد. إذا عوضنا بذلك في معادلتنا، نحصل على ﺹ شرطة يساوي اثنين في سالب واحد زائد ثلاثة في سالب واحد ناقص خمسة. هذا يساوي سالب اثنين ناقص ثلاثة ناقص خمسة، وهو ما يساوي سالب ١٠. وهذا لا يساوي صفرًا، وبذلك يمكننا الآن استبعاد التمثيل البياني ب. فلننظر الآن إلى التمثيل البياني ج. إحدى النقاط في التمثيل البياني ج، التي عندها ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي صفرًا، هي النقطة ثلاثة، اثنان. بالتعويض عن ﺱ بثلاثة وعن ﺹ باثنين في معادلتنا، نحصل على ﺹ شرطة يساوي اثنين في ثلاثة زائد ثلاثة في اثنين ناقص خمسة. هذا يساوي سبعة، وهو ما لا يساوي صفرًا. لذا يمكننا استبعاد التمثيل البياني ج. تذكر أننا نحاول إيجاد تمثيل بياني يحتوي على النقطة التي ميلها يساوي صفرًا وتجعل هذه المعادلة التفاضلية تساوي صفرًا أيضًا.

فلننظر إلى التمثيل البياني د. الميل يساوي صفرًا في التمثيل البياني د عند النقطة واحد، واحد. بالتعويض عن ﺱ بواحد وعن ﺹ بواحد في معادلتنا التفاضلية، نحصل على ﺹ شرطة يساوي اثنين في واحد زائد ثلاثة في واحد ناقص خمسة. هذا يساوي اثنين زائد ثلاثة ناقص خمسة، وهو ما يساوي صفرًا. وهذا يتطابق مع الميل الموجود في التمثيل البياني عند النقطة واحد، واحد. إذن، التمثيل البياني د حل محتمل. فلنلق الآن نظرة على التمثيل البياني هـ. نلاحظ أنه في التمثيل البياني هـ عند النقطة واحد، واحد، لدينا ميل يساوي صفرًا. نعرف بالفعل من التمثيل البياني د أن النقطة واحد، واحد تحقق معادلتنا التفاضلية. لذا فلنجرب نقطة أخرى على التمثيل البياني هـ عندها ميل يساوي صفرًا. الميل يساوي صفرًا في التمثيل البياني هـ عند النقطة أربعة، سالب واحد. فلنعوض بذلك في معادلتنا التفاضلية. لدينا ﺹ شرطة يساوي اثنين في أربعة زائد ثلاثة في سالب واحد ناقص خمسة. هذا يساوي ثمانية ناقص ثلاثة ناقص خمسة، وهو ما يساوي صفرًا. فحتى الآن يتطابق التمثيل البياني هـ أيضًا مع معادلتنا التفاضلية.

لدينا الآن حلان محتملان، وهما التمثيل البياني د والتمثيل البياني هـ. إذن فلننظر مرة أخرى إلى التمثيل البياني د. ففي هذا التمثيل البياني، الميل يساوي صفرًا عند النقطة واحد، واحد. وهذا يتطابق مع معادلتنا التفاضلية. الميل يساوي صفرًا أيضًا عند النقطة ثلاثة، سالب اثنين. لذا فلنعوض بهذه النقطة في معادلتنا التفاضلية. لدينا ﺹ شرطة يساوي اثنين في ثلاثة زائد ثلاثة في سالب اثنين ناقص خمسة. هذا يعطينا ستة ناقص ستة ناقص خمسة. وهذا يساوي سالب خمسة، وهو ما لا يساوي صفرًا. إذن، يمكننا الآن استبعاد التمثيل البياني د. وعليه، فالتمثيل البياني الوحيد من بين الخمسة الذي يمكن أن يطابق معادلتنا التفاضلية هو التمثيل البياني هـ.

دعونا فقط نجرب نقطتين إضافيتين في التمثيل البياني هـ ميلهما يساوي صفرًا؛ لنرى ما إذا تطابقتا مع هذه المعادلة التفاضلية. الميل على التمثيل البياني يساوي صفرًا عند النقطة أربعة، سالب واحد، وفي الحقيقة ﺹ شرطة في المعادلة التفاضلية يساوي أيضًا صفرًا. والميل في التمثيل البياني يساوي صفرًا عند النقطة سالب اثنين، ثلاثة. وﺹ شرطة يساوي صفرًا أيضًا عند النقطة سالب اثنين، ثلاثة. إذن من بين التمثيلات البيانية الخمسة، يمكننا القول إن التمثيل البياني هـ هو التمثيل البياني الوحيد الذي يطابق المعادلة التفاضلية ﺹ شرطة يساوي اثنين ﺱ زائد ثلاثة ﺹ ناقص خمسة.

دعونا نلخص الآن ما تناولناه. لأي معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى بالصورة ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ﺩ(ﺱ، ‏ﺹ)، أو ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ﺩ(ﺱ)، أو ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ﺩ لـ ﺹ، يمكننا تصور حل عام دون إيجاد قيمة الدالة ﺹ. يمكننا فعل ذلك عن طريق رسم حقل اتجاه. للقيام بذلك، نرسم قطعًا مستقيمة، لكل منها الميل ﺩﺹ على ﺩﺱ عند نقاط متنوعة ﺱ،‏ ﺹ في المستوى ﺱﺹ. ومن ذلك، يمكننا الحصول على فكرة ما حول نمط الحل العام للمعادلة التفاضلية. وباستخدام شرط ابتدائي، وهو نقطة البداية ﺱ صفر، ﺹ صفر، يمكننا تتبع حل خاص عبر حقل الاتجاه باتباع اتجاه ميل القطع المستقيمة.