فيديو السؤال: تحديد قاعدة دالة من تمثيلها البياني الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد الدالة الموضحة في الشكل. أ: ﺹ تساوي سالب ﺱ ناقص أربعة تكعيب زائد أربعة. ب: ﺹ تساوي ﺱ ناقص أربعة تكعيب زائد أربعة. ج: ﺹ تساوي سالب ﺱ زائد أربعة تكعيب ناقص أربعة. د: ﺹ تساوي ﺱ زائد أربعة تكعيب ناقص أربعة.

عند الإجابة عن هذا السؤال، أول ما نلاحظه هو أن المنحنى يأخذ شكل دالة تكعيبية. ويمكننا التأكد من ذلك بملاحظة أن الحد الذي يحتوي على ﺱ في جميع الخيارات المعطاة يكون مرفوعًا للقوة ثلاثة، وهذا يعني أن جميعها دوال من الدرجة الثالثة. لمقارنة الدالة الموضحة في الشكل بالدالة التكعيبية، دعونا نرسم منحنى الدالة ﺱ تكعيب، وهو منحنى أبسط دالة تكعيبية ممكنة. لفعل ذلك سنرسم بعض النقاط التي سيمر بها المنحنى ونصلها معًا بمنحنى. نرسم إذن النقاط: سالب اثنين، سالب ثمانية؛ وسالب واحد، سالب واحد؛ وصفرًا، صفرًا؛ وواحدًا، واحدًا؛ واثنين، ثمانية. علينا أيضًا التأكد من أن المنحنى مسطح عند نقطة الأصل؛ لأن هذه إحدى الخواص التي يتميز بها شكل منحنى الدالة التكعيبية.

نلاحظ أنه إذا قارنا الدالة التي رسمناها بالدالة المعطاة، نجد أن الدالة ﺱ تكعيب موجهة في الاتجاه المعاكس. كما نلاحظ أيضًا أن منحنى هذه الدالة قد انتقل لأسفل وإلى اليسار. ويتضح هذا من خلال ملاحظة أن النقطة التي كانت عند نقطة الأصل تقع الآن عند النقطة سالب أربعة، سالب أربعة. إذا أردنا توضيح التحويلات التي أجريت على هذا المنحنى بإيجاز، يمكننا تقسيمها إلى ثلاث خطوات. دعونا نكتبها إذن. أولًا، انعكس المنحنى حول المحور ﺹ، أو بشكل مكافئ حول المحور ﺱ. بعد ذلك انتقل هذا المنحنى بمقدار أربع وحدات لأسفل. وأخيرًا انزاح هذا المنحنى أربع وحدات إلى اليسار.

يمكننا أيضًا التحقق من صحة هذه التحويلات بالنظر إلى انتقال نقطة الانقلاب من صفر، صفر إلى سالب أربعة، سالب أربعة. هذا يعني أنه إذا نقلنا النقطة صفر، صفر لأسفل بمقدار أربع وحدات، وإلى اليسار بمقدار أربع وحدات، فسنصل بالفعل إلى الموضع الجديد لنقطة الانقلاب.

حسنًا، إذا بدأنا بتناول المعادلة ﺹ تساوي ﺱ تكعيب، فعلينا أن نسأل أنفسنا كيف تؤثر هذه التحويلات على المعادلة. أولًا يؤدي الانعكاس حول المحور ﺹ إلى تغير إشارة الدالة. من ثم تصبح هذه المعادلة على الصورة ﺹ تساوي سالب ﺱ تكعيب. نلاحظ أنه إذا تعاملنا مع هذا الانعكاس على أنه انعكاس حول المحور ﺱ بدلًا من ذلك، فستتغير إشارة ﺱ إلى إشارة سالبة. لكن بما أن ﺱ تكعيب دالة فردية، فسيكون لذلك نفس التأثير على المعادلة.

دعونا نتناول الآن تأثير إزاحة المنحنى بمقدار أربع وحدات لأسفل. لفعل ذلك نطرح أربعة من المعادلة. بذلك، تصبح المعادلة على الصورة ﺹ تساوي سالب ﺱ تكعيب ناقص أربعة.

أخيرًا الانتقال إلى اليسار بمقدار أربع وحدات يكافئ إضافة أربعة إلى القيمة المدخلة ﺱ. عند تطبيق ذلك على المعادلة، علينا التأكد من تطبيقه على المتغير ﺱ نفسه لا على ﺩﺱ. بفعل ذلك، تصبح المعادلة على الصورة ﺹ تساوي سالب ﺱ زائد أربعة تكعيب ناقص أربعة.

إذن بمقارنة هذه المعادلة بالمعادلات المعطاة في الخيارات، نجد أنها تتوافق مع المعادلة المعطاة في الخيار ج.