فيديو السؤال: إيجاد مدى الدوال التربيعية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

إذا كانت د دالة من المجموعة سالب أربعة، وسالب واحد، وأربعة، وسالب اثنين إلى الفترة المغلقة من ستة إلى ٢٥، ود ﺱ تساوي ﺱ تربيع زائد خمسة، فأوجد مدى د.

في هذا السؤال، لدينا الدالة د ﺱ، ولدينا تعريف صريح لها. الدالة د ﺱ هي دالة تربيعية. وإذا كانت القيمة المدخلة هي ﺱ، فإن القيمة المخرجة تكون ﺱ تربيع زائد خمسة. يطلب منا السؤال أن نوجد مدى الدالة د. ولفعل ذلك، علينا أولًا أن نتذكر بالضبط ما نعنيه بمدى أي دالة. مدى الدالة هو مجموعة جميع المخرجات الممكنة لهذه الدالة. وبالطبع، توجد معلومة مهمة للغاية يجب تذكرها بشأن هذا التعريف. بالطبع تعتمد مخرجات الدالة على مدخلاتها.

بعبارة أخرى، يمكننا القول إن مدى الدالة يعتمد دائمًا على مجال الدالة. هذا يعني أنه لا يمكننا النظر إلى مخرجات الدالة قبل معرفة جميع مدخلاتها. إذن، أول ما علينا فعله هو إيجاد مجال الدالة د أو جميع المدخلات الممكنة لـ د. وقد علمنا من السؤال أن د دالة من المجموعة التي تتضمن سالب أربعة، وسالب واحد، وأربعة، وسالب اثنين إلى الفترة المغلقة من ستة إلى ٢٥. أي إنها تأخذ مدخلات هذه المجموعة. إذن، هذه المجموعة هي مجال الدالة د؛ أي جميع المدخلات الممكنة لها.

قد نميل بعد ذلك إلى القول إن الفترة المغلقة من ستة إلى ٢٥ هي المدى. لكن هذا لن يكون صحيحًا. الشيء الوحيد الذي يمكننا أن نضمنه هنا هو أن المدى سيكون مجموعة جزئية من الفترة المغلقة من ستة إلى ٢٥، لأن كل ما يخبرنا به هذا الترميز هو أن د تأخذ المدخلات وتنقلها إلى مكان ما في هذه المجموعة. لكننا لا نعرف كيف أو إلى أين ستنقلها. ولهذا السبب نحتاج إلى تعريف الدالة د ﺱ. نحن الآن جاهزون للبدء في إيجاد مدى الدالة د. تذكر أنه سيكون جميع المخرجات الممكنة لـ د بمعلومية مجالها. والمجال يحتوي على أربعة عناصر فقط؛ لذا يمكننا فعل ذلك بإيجاد قيمة د عند كل عنصر من هذه العناصر.

سنبدأ بـإيجاد قيمة د عند سالب أربعة، وهي القيمة المدخلة الأولى المعطاة لنا في السؤال. سنعوض بـ ﺱ يساوي سالب أربعة في تعريف د ﺱ الموجود لدينا. وبذلك، نحصل على سالب أربعة الكل تربيع زائد خمسة. وبالطبع، إذا حسبنا ذلك، نجد أنه يساوي ٢١. وبما أن قيمة د عند سالب أربعة تساوي ٢١، يمكننا الاستنتاج أن العدد ٢١ لا بد أن يكون في مدى د؛ حيث إنه أحد المخرجات الممكنة للدالة. سنفعل الآن الأمر نفسه مع القيمة المدخلة التالية سالب واحد. قيمة د عند سالب واحد تساوي سالب واحد الكل تربيع زائد خمسة، والذي يمكننا حسابه لنجد أنه يساوي ستة. وبالمثل، نستنتج أن العدد ستة لا بد أن يكون في مدى الدالة د.

نكرر العملية نفسها للقيمة المدخلة التالية عند ﺱ يساوي أربعة. ‏د لأربعة تساوي أربعة تربيع زائد خمسة. وإذا حسبنا قيمة هذا المقدار، فسنجد أنها تساوي ٢١. لكن هذا لا يعطينا أي معلومة جديدة لأننا نعلم بالفعل أن العدد ٢١ يقع في مدى الدالة د. وعند إيجاد المدى لأي دالة، كل ما يعنينا هو فقط المخرجات الممكنة للدالة. لا يهم ما إذا كانت لدينا قيمة مدخلة واحدة تعطينا قيمة مخرجة ما أم إذا كانت مدخلات متعددة تعطينا قيمة مخرجة. كل ما أردنا معرفته فعليًّا هو أن قيمة مدخلة واحدة على الأقل أعطت هذه القيمة المخرجة.

والآن، دعونا ننتقل إلى القيمة المدخلة الأخيرة ﺱ يساوي سالب اثنين. نعوض بسالب اثنين في تعريف الدالة د. وهذا يعطينا سالب اثنين الكل تربيع زائد خمسة. وبحساب ذلك نجد إنه يساوي تسعة. مرة أخرى، بما أنه توجد قيمة مدخلة تعطينا القيمة المخرجة التي تساوي تسعة، نستنتج أن العدد تسعة لا بد أن يكون في مدى الدالة د. لكننا تأكدنا الآن أن هذه هي جميع المخرجات الممكنة للدالة د لأننا جربنا كل مدخلاتها. ومن ثم، فإن هذه القيم الثلاث هي المخرجات الممكنة الوحيدة للدالة.

إذن يمكننا الآن كتابة الإجابة التي توصلنا إليها. تذكر أن مدى أي دالة هو عبارة عن مجموعة، لذا علينا أن نكتب إجابتنا باستخدام ترميز المجموعة. ومن المهم أن نتذكر أنه لأي مجموعة، لا يهم الترتيب الذي تكتب به العناصر. فبغض النظر عن ترتيبها، تظل المجموعة هي نفسها. ومن ثم، ستكون إجابتنا هي المجموعة التي تحتوي على تسعة، و٢١، وستة. ومع ذلك، يمكنك ترتيب هذه الأعداد بأي ترتيب تريده.

بهذا، نكون قد استطعنا إيجاد أنه إذا كانت د دالة من المجموعة التي تحتوي على سالب أربعة، وسالب واحد، وأربعة، وسالب اثنين إلى الفترة المغلقة من ستة إلى ٢٥، ود ﺱ تساوي ﺱ تربيع زائد خمسة، فإن مدى الدالة د هو المجموعة التي تحتوي على تسعة، و٢١، وستة.