نسخة الفيديو النصية
قوى النقاط ﺃ وﺏ وﺟ بالنسبة إلى الدائرة ﻙ هي ﻕﻙﺃ تساوي أربعة، ﻕﻙﺏ تساوي ١٤، ﻕﻙﺟ تساوي سالب واحد. الدائرة ﻙ مركزها ﻡ ونصف قطرها ١٠ سنتيمترات. احسب المسافة بين ﻡ وكل نقطة.
دعونا نتذكر أولًا كيف نحسب قوة نقطة بالنسبة إلى دائرة. لدائرة ﻙ مركزها ﻡ ونصف قطرها نق من الوحدات، فإن قوة النقطة ﺃ بالنسبة إلى هذه الدائرة تعطى بالصيغة ﻕﻙﺃ تساوي ﺃﻡ تربيع ناقص نق تربيع؛ أي مربع المسافة بين النقطة ﺃ ومركز الدائرة ناقص مربع نصف القطر. لدينا في المعطيات قوى النقاط الثلاث ﺃ وﺏ وﺟ بالنسبة إلى هذه الدائرة ﻙ، التي نصف قطرها ١٠ سنتيمترات. لنتناول النقطة ﺃ أولًا ونعوض بما نعرفه في هذه الصيغة.
قوة النقطة ﺃ بالنسبة إلى هذه الدائرة تساوي أربعة، ونصف القطر يساوي ١٠. بهذا نحصل على المعادلة أربعة يساوي ﺃﻡ تربيع ناقص ١٠ تربيع. ومن ثم، فإن أربعة يساوي ﺃﻡ تربيع ناقص ١٠٠. ثم يمكننا إضافة ١٠٠ إلى كلا طرفي هذه المعادلة، لنجد أن ﺃﻡ تربيع يساوي ١٠٤. إذن، ﺃﻡ يساوي الجذر التربيعي لـ ١٠٤. ونأخذ هنا القيمة الموجبة فقط؛ لأن ﺃﻡ يمثل طولًا. لتبسيط هذا الجذر الأصم أو الجذر التربيعي، علينا إيجاد العوامل المربعة للعدد ١٠٤. لنجد أن ١٠٤ يساوي أربعة في ٢٦. وعليه، ﺃﻡ يساوي الجذر التربيعي لأربعة في ٢٦. أي الجذر التربيعي لأربعة مضروبًا في الجذر التربيعي لـ ٢٦، وهو ما يساوي اثنين جذر ٢٦. إذن، بإعادة ترتيب صيغة قوة النقطة، وجدنا المسافة بين النقطة ﺃ ومركز الدائرة.
دعونا الآن نكرر هذه العملية مع النقطتين ﺏ وﺟ. قوة النقطة ﺏ بالنسبة إلى الدائرة تساوي ١٤؛ إذن لدينا المعادلة ١٤ يساوي ﺏﻡ تربيع ناقص ١٠ تربيع. وهذا يعطينا ١٤ يساوي ﺏﻡ تربيع ناقص ١٠٠. وبإضافة ١٠٠ إلى كلا الطرفين، نجد أن ﺏﻡ تربيع يساوي ١١٤. ومن ثم، فإن ﺏﻡ يساوي الجذر التربيعي لـ ١١٤. وبما أن العدد ١١٤ ليس له أي عوامل مربعة ما عدا واحد، فلا يمكن تبسيط هذه القيمة.
وأخيرًا، سنتناول النقطة ﺟ. قوة النقطة ﺟ بالنسبة إلى الدائرة تساوي سالب واحد. وعليه نحصل على المعادلة سالب واحد يساوي ﺟﻡ تربيع ناقص ١٠ تربيع. ويمكن إعادة ترتيب هذا لنحصل على ٩٩ يساوي ﺟﻡ تربيع. بأخذ الجذر التربيعي لكل طرف من طرفي هذه المعادلة، نجد أن ﺟﻡ يساوي الجذر التربيعي لـ ٩٩. عند محاولة إيجاد العوامل المربعة للعدد ٩٩، نتذكر أن ٩٩ يساوي تسعة مضروبًا في ١١. إذن، ﺟﻡ يساوي الجذر التربيعي لتسعة في ١١، وهو ما يماثل الجذر التربيعي لتسعة في الجذر التربيعي لـ ١١، وهذا يساوي ثلاثة جذر ١١.
هكذا تمكنا من إيجاد المسافة بين ﻡ وكل نقطة من هذه النقاط الثلاث. ﺃﻡ يساوي اثنين جذر ٢٦ سنتيمترًا. وﺏﻡ يساوي الجذر التربيعي لـ ١١٤ سنتيمترًا. وﺟﻡ يساوي ثلاثة جذر ١١ سنتيمترًا. يمكننا أيضًا أن نستنتج من إشارة قوة كل نقطة موضعها بالنسبة إلى الدائرة. بصفة عامة، إذا كانت قوة النقطة ﺃ بالنسبة إلى الدائرة ﻙ موجبة، فإن النقطة تقع خارج الدائرة. وإذا كانت قوة النقطة ﺃ بالنسبة إلى الدائرة ﻙ تساوي صفرًا، فإن النقطة تقع على محيط الدائرة، بينما إذا كانت قوة النقطة ﺃ بالنسبة إلى الدائرة ﻙ سالبة، فإن النقطة تقع داخل الدائرة.
بما أن قوتي النقطتين ﺃ وﺏ تساويان أربعة و١٤، وهما موجبتان، فإن هاتين النقطتين تقعان خارج الدائرة، بينما قوة النقطة ﺟ تساوي سالب واحد، ومن الواضح أنها سالبة؛ لذا فإن هذه النقطة تقع داخل الدائرة. يمكننا التأكد من ذلك أكثر إذا حسبنا قيمة طول كل من ﺃﻡ وﺏﻡ وﺟﻡ على صورة أعداد عشرية. فهذه الأطوال، لأقرب منزلة عشرية، تساوي: ١٠٫٢ و١٠٫٧ و٩٫٩. وبما أن كلًّا من طولي ﺃﻡ وﺏﻡ أكبر من ١٠، الذي هو طول نصف قطر الدائرة، فهذا يؤكد أن النقطتين ﺃ وﺏ تقعان خارج الدائرة، وبما أن طول ﺟﻡ أقل من ١٠، فهذا يؤكد أن النقطة ﺟ تقع داخل الدائرة. وهذه الخطوة مهمة لمزيد من الفهم، لكنها لم تكن مطلوبة في هذا السؤال.
إذن، إجابتنا للمسألة هي أن ﺃﻡ يساوي اثنين جذر ٢٦ سنتيمترًا. وﺏﻡ يساوي الجذر التربيعي لـ ١١٤ سنتيمترًا. وﺟﻡ يساوي ثلاثة جذر ١١ سنتيمترًا.
