فيديو السؤال: التكامل بالتجزيء الرياضيات

‏نسخة الفيديو النصية

استخدم التكامل بالتجزيء لإيجاد القيمة الدقيقة للتكامل ﺱ تربيع جا اثنين ﺱ ﺩﺱ بين صفر و‏𝜋‏ على أربعة.

يستخدم التكامل بالتجزيء الصيغة التي تنص على أن تكامل ﻉﻕ شرطة يساوي ﻉﻕ ناقص تكامل ﻕﻉ شرطة؛ حيث ﻉ شرطة هو مشتقة ﻉ، وﻕ شرطة هو مشتقة ﻕ. خطوتنا الأولى هي تقسيم التعبير الابتدائي ﺱ تربيع جا اثنين ﺱ إلى ﻉ وﻕ شرطة. سنجعل ﻉ يساوي ﺱ تربيع وﻕ شرطة يساوي جا اثنين ﺱ.

لإيجاد تعبير لـ ﻉ شرطة، علينا اشتقاق ﺱ تربيع. وعليه، نجد أن مشتقة ﺱ تربيع هي اثنين ﺱ. لإيجاد تعبير عن ﻕ، علينا حساب تكامل جا اثنين ﺱ؛ لأن التكامل هو العملية العكسية للاشتقاق. ونجد أن تكامل جا اثنين ﺱ يساوي سالب جتا اثنين ﺱ على اثنين. ضرب ﺱ تربيع في سالب جتا اثنين ﺱ على اثنين يعطينا سالب ﺱ تربيع جتا اثنين ﺱ على اثنين. وبضرب اثنين ﺱ في سالب جتا اثنين ﺱ على اثنين، نحصل على سالب اثنين ﺱ جتا اثنين ﺱ على اثنين.

وبما أن لدينا إشارتين سالبتين، فيمكننا تبسيط ذلك إلى سالب ﺱ تربيع جتا اثنين ﺱ على اثنين زائد تكامل اثنين ﺱ جتا اثنين ﺱ مقسومًا على اثنين بالنسبة إلى ﺱ. يمكننا أيضًا حذف الاثنتين بعد علامة التكامل، وذلك من خلال قسمة البسط والمقام على اثنين. علينا الآن أن نحسب تكامل ﺱ جتا اثنين ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. يمكننا حساب تكامل هذا التعبير باستخدام التجزيء مرة أخرى.

سنجعل ﻉ يساوي ﺱ وﻕ شرطة يساوي جتا اثنين ﺱ. وباشتقاق ﺱ، نحصل على واحد. ومن ثم، فإن ﻉ شرطة يساوي واحدًا. تكامل جتا اثنين ﺱ يعطينا جا اثنين ﺱ على اثنين. وبضرب ﻉ في ﻕ، أي ﺱ وجا اثنين ﺱ على اثنين، نحصل على ﺱ جا اثنين ﺱ على اثنين. بضرب ﻉ شرطة في ﻕ، نحصل على جا اثنين ﺱ على اثنين. يبقى لدينا الآن سالب ﺱ تربيع جتا اثنين ﺱ على اثنين زائد ﺱ جا اثنين ﺱ على اثنين ناقص تكامل جا اثنين ﺱ على اثنين بالنسبة إلى ﺱ.

وبحساب تكامل الحد الثالث، جا اثنين ﺱ على اثنين، نحصل على سالب جتا اثنين ﺱ على أربعة. ومرة أخرى، يمكن أن تتحول الإشارتان السالبتان إلى قيمة موجبة. وهذا يعني أن تكامل ﺱ تربيع جا اثنين ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي سالب ﺱ تربيع جتا اثنين ﺱ على اثنين زائد ﺱ جا اثنين ﺱ على اثنين زائد جتا اثنين ﺱ على أربعة. خطوتنا الأخيرة إذن هي التعويض بالحدين، ‏𝜋‏ على أربعة وصفر، وطرح الناتجين.

دعونا أولًا نعوض عن ﺱ بـ ‏𝜋‏ على أربعة. قبل أن نبدأ، تجدر الإشارة إلى أن الدالتين المثلثيتين لدينا هما جتا اثنان ﺱ وجا اثنان ﺱ. لذا، علينا حساب جتا اثنين ‏𝜋‏ على أربعة وجا اثنين ‏𝜋‏ على أربعة. اثنان ‏𝜋‏ على أربعة راديان يساوي ‏𝜋‏ على اثنين راديان. و‏𝜋‏ على اثنين راديان يساوي ٩٠ درجة. نحن نعلم من التمثيلات البيانية للدوال المثلثية أن جتا ٩٠ درجة يساوي صفرًا. ومن ثم، فإن جتا ‏𝜋‏ على اثنين راديان يجب أن يساوي صفرًا أيضًا.

‏جا ٩٠ درجة يساوي واحدًا. ومن ثم، فإن جا ‏𝜋‏ على اثنين راديان يساوي واحدًا أيضًا. وبما أن جتا ‏𝜋‏ على اثنين يساوي صفرًا، فإننا نعرف أن الحدين الأول والثالث في المقدار سيساويان صفرًا عند ﺱ يساوي ‏𝜋‏ على أربعة. الحد الوحيد الذي سيعطينا قيمة هو ﺱ جا اثنين ﺱ على اثنين. وبما أن ﺱ يساوي ‏𝜋‏ على أربعة وجا اثنين ﺱ يساوي واحدًا، فإن هذا الحد يعطينا ‏𝜋‏ على أربعة مضروبًا في واحد مقسومًا على اثنين. وهذا يساوي ‏𝜋‏ على ثمانية؛ لأن ‏𝜋‏ على أربعة مقسومًا على اثنين يساوي ‏𝜋‏ على ثمانية. عند ﺱ يساوي ‏𝜋‏ على أربعة، فإن تكامل ﺱ تربيع جا اثنين ﺱ يساوي ‏𝜋‏ على ثمانية.

علينا أيضًا التفكير في الحد السفلي عند ﺱ يساوي صفرًا. مرة أخرى، نحن نعلم من التمثيلات البيانية للدوال المثلثية أن جتا صفر يساوي واحدًا وجا صفر يساوي صفرًا. وهذا يعني أن الحد الأوسط ﺱ جا اثنين ﺱ على اثنين سيساوي صفرًا. من الممكن أن تكون قيمتا الحدين الأول والثالث غير صفرية؛ إذ إن جتا اثنين ﺱ يساوي واحدًا.

الحد الأول، وهو سالب ﺱ تربيع جتا اثنين ﺱ على اثنين، يحتوي على حد يساوي ﺱ أيضًا. وبما أن ﺱ يساوي صفرًا، فإن هذا الحد بأكمله يساوي صفرًا أيضًا. ومن ثم، فإن الحد غير الصفري الوحيد هو جتا اثنان ﺱ على أربعة. ونحن نعلم بالفعل أن جتا اثنين ﺱ يساوي واحدًا. ومن ثم، فإن جتا اثنين ﺱ على أربعة يساوي ربعًا. وبما أننا أوجدنا القيم الدقيقة للحدين العلوي والسفلي، فيمكننا الآن القول إن تكامل ﺱ تربيع جا اثنين ﺱ بين صفر و‏𝜋‏ على أربعة يساوي ‏𝜋‏ على ثمانية ناقص ربع.