فيديو الدرس: المستقيمات المتوازية والقواطع: الأجزاء المتناسبة الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نستخدم خواص المستقيمات المتوازية والقواطع لإيجاد الطول الناقص لقطعة مستقيمة في مستقيم قاطع مقطوع بواسطة مستقيمات متوازية.

١٣:٣١

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نستخدم خواص المستقيمات المتوازية والقواطع لإيجاد الطول الناقص لقطعة مستقيمة في مستقيم قاطع مقطوع بواسطة مستقيمات متوازية. لكي نتمكن من ذلك، دعونا نر كيف يمكن أن ينشأ التناسب عن المستقيمات المتوازية.

إحدى خواص المستقيمات المتوازية هي أنه إذا قطعت ثلاثة مستقيمات متوازية أو أكثر قاطعين، فإنها تقسم القاطعين إلى أجزاء أطوالها متناسبة. هيا نر كيف يبدو ذلك. لدينا هنا ثلاثة مستقيمات متوازية وقاطعان، حيث يقطع كل منهما المستقيمات المتوازية الثلاثة. تذكر أن القاطع هو مستقيم يمر بمستقيمين آخرين على الأقل. في هذا الشكل، سنفكر في القاطعين ﻝ وﻡ؛ حيث إنهما القاطعان اللذان يقطعان المستقيمات المتوازية الثلاثة جميعها. وهذه المستقيمات المتوازية الثلاثة التي يقطعها القاطعان في هذا الشكل تكون أربع قطع مستقيمة.

سمينا هذه القطع المستقيمة ﺃ وﺏ وﺟ وﺩ. وفقًا لهذه الخاصية، يمكننا القول إن النسبة بين ﺃ وﺏ تساوي النسبة بين ﺟ وﺩ. توجد طريقة أخرى لكتابة هذه النسبة، وهي ﺃ على ﺟ يساوي ﺏ على ﺩ. قبل أن نتابع، تجدر الإشارة أيضًا إلى المواضع التي يمكننا فيها أن نتعرف على هذه الخاصية ونستخدمها. هذه الخاصية صحيحة وتنطبق على المستقيمات في المضلعات. يمكننا تعديل هذا الشكل لتوضيح مثال على ذلك.

إذا كان لدينا الشكل الرباعي ﺃﺏﺟﺩ؛ حيث تقطعه القطعة المستقيمة ﻫﻭ التي توازي القطعتين المستقيمتين ﺃﺩ وﺏﺟ، فسنلاحظ أن لدينا ثلاث قطع مستقيمة متوازية يقطعها قاطعان. هذا يعني أن أطوال القطع المستقيمة المتكونة متناسبة. وهو ما يعني أن القطعة المستقيمة ﺃﻫ على القطعة المستقيمة ﻫﺏ تساوي القطعة المستقيمة ﺩﻭ على القطعة المستقيمة ﻭﺟ.

إضافة إلى هذا، هناك خاصية أخرى علينا تناولها، وهي تطابق القطع المستقيمة في القواطع. إذا قسمت ثلاثة مستقيمات متوازية أو أكثر قاطعًا واحدًا إلى قطع مستقيمة متطابقة، فستقسم هذه المستقيمات أي قاطع آخر إلى قطع مستقيمة متطابقة. لدينا هنا ثلاثة مستقيمات متوازية. وإذا كان لدينا المستقيم القاطع ﻝ؛ بحيث تكون القطعتان المتكونتان متطابقتين، فإن أي قاطع تقطعه أيضًا هذه المستقيمات المتوازية الثلاثة تنتج عنه قطع مستقيمة متطابقة. ففي القاطع ﻡ، تكون القطعتان المستقيمتان متطابقتين. وفي القاطع ﻥ، تكون القطعتان المستقيمتان المتكونتان متطابقتين أيضًا.

لكن علينا الانتباه جيدًا إلى هذه الخاصية. نحن نقول إن القطعة ﺃ تساوي القطعة ﺏ، أو القطعة ﺟ تساوي القطعة ﺩ. فالتطابق يكون على المستقيم القاطع نفسه، وليس بين المستقيمات. فلا يمكننا هنا القول إن القطعة ﺃ تساوي القطعة ﺟ. والآن، أصبحنا مستعدين لتطبيق هاتين الخاصيتين على بعض الأمثلة.

باستخدام المعلومات التي في الشكل، أوجد طول القطعة المستقيمة ﻫﻭ.

في البداية، سنحدد القطعة المستقيمة ﻫﻭ. ونفكر بعد ذلك في المعلومات التي نعرفها بالفعل من الشكل. نلاحظ في هذا الشكل أن لدينا ثلاثة مستقيمات متوازية. ومن ثم، يمكننا القول إن ﺃﺩ يوازي ﻫﺏ، والذي بدوره يوازي ﻭﺟ. يمكننا القول إن المستقيمين ﺩﻭ وﺃﺟ قاطعان للمستقيمات المتوازية الثلاثة. ونظرًا لأن لدينا ثلاثة مستقيمات متوازية يقطعها قاطعان، فإننا نعلم أن القطع المتكونة مقسمة إلى أجزاء أطوالها متناسبة، وفقًا لخواص المستقيمات المتوازية والقواطع.

يعني هذا أنه يمكننا القول إن ﺩﻫ على ﻫﻭ يساوي ﺃﺏ على ﺏﺟ. إذا عوضنا بأطوال الأضلاع التي نعرفها بالفعل، فسيصبح لدينا ٤٨ على ﻫﻭ يساوي ٤٧ على ١٤١. لحل هذه المعادلة، نستخدم الضرب التبادلي. ‏٤٨ في ١٤١ يساوي ٤٧ في ﻫﻭ. إذن، ٦٧٦٨ يساوي ٤٧ في ﻫﻭ. بقسمة الطرفين على ٤٧، نحصل على ١٤٤ يساوي ﻫﻭ. وبما أن القطع مقيسة بالسنتيمتر، إذن ﻫﻭ يساوي ١٤٤ سنتيمترًا.

في المثال التالي، لدينا قاطعان يقطعهما أربعة مستقيمات متوازية.

في الشكل الآتي، المستقيمات ﻝ واحد، وﻝ اثنان، وﻝ ثلاثة، وﻝ أربعة جميعها متوازية. إذا كان ﺱﻉ يساوي ١٢، وﻉﻥ يساوي ثمانية، وﺃﺏ يساوي ١٠، وﺏﺟ يساوي خمسة، فما طول القطعة المستقيمة ﺟﺩ؟

دعونا أولًا نحدد المعطيات لدينا ونوضحها على الشكل. نعلم أن المستقيمات ﻝ واحد وﻝ اثنين وﻝ ثلاثة وﻝ أربعة متوازية. يمكننا أن نوضح ذلك على الشكل. طول القطعة المستقيمة ﺱﻉ يساوي ١٢، وطول ﻉﻥ يساوي ثمانية. طول ﺃﺏ يساوي ١٠، وطول ﺏﺟ يساوي خمسة. الطول المجهول الذي نحاول إيجاده هو ﺟﺩ. يمكننا أيضًا ملاحظة أن المستقيمين ﻡ وﻡ شرطة قاطعان للمستقيمات المتوازية الأربعة. ونظرًا لأن لدينا ثلاثة مستقيمات متوازية أو أكثر يقطعها قاطعان، فإننا نعلم أن القطع المستقيمة المتكونة على هذين القاطعين أطوالها متناسبة. ومن ثم، باستخدام خواص المستقيمات المتوازية والقواطع، يمكننا التعبير عن ذلك بصورة النسبة لإيجاد طول القطعة المستقيمة الناقص ﺟﺩ.

‏ﻉﻥ على ﺟﺩ يساوي ﺱﻉ على ﺃﺟ. إذا عوضنا بالأطوال المعلومة، فسنحصل على ثمانية على ﺟﺩ يساوي ١٢ على ١٥. ولإيجاد المسافة من ﺃ إلى ﺟ، علينا جمع ١٠ وخمسة معًا؛ وهو ما يعطينا ١٥. لحل هذه المعادلة، نستخدم الضرب التبادلي. ثمانية في ١٥ يساوي ١٢ في ﺟﺩ‏ ‏١٢٠ يساوي ١٢ في ﺟﺩ. بقسمة كلا الطرفين على ١٢، نجد أن ﺟﺩ يساوي ١٠.

إذا أضفنا ذلك إلى الشكل، فسنلاحظ شيئًا مثيرًا للاهتمام. وهو أن طول القطعة المستقيمة ﺃﺏ يساوي طول القطعة المستقيمة ﺟﺩ. هاتان القطعتان متطابقتان. ولأن لدينا بالفعل معلومة عن القطع المستقيمة المتطابقة والقواطع؛ فهذا يعني أنه يمكننا القول أيضًا إن القطعة المستقيمة ﺱﺹ تطابق القطعة المستقيمة ﻉﻥ. ومن ثم، ﺱﺹ يساوي ثمانية وﺹﻉ يجب أن يساوي أربعة. لكن لم يطلب منا هذا السؤال سوى إيجاد طول القطعة المستقيمة ﺟﺩ. وقد أوضحنا أن طول ﺟﺩ يساوي ١٠ وحدات طول.

لنتناول مثالًا آخر.

إذا كان ﺱﻝ يساوي تسعة سنتيمترات، فأوجد طول القطعة المستقيمة ﺱﻉ.

لنفكر أولًا فيما نلاحظه في هذا الشكل. لدينا أربعة مستقيمات متوازية وهي: ﺃﺱ وﺏﺹ وﺟﻉ وﺩﻝ. يمكننا أن نلاحظ أيضًا أن المستقيمين ﺃﺩ وﺱﻝ قاطعان للمستقيمات المتوازية الأربعة. كما نلاحظ في المستقيم ﺃﺩ أن القطع المستقيمة ﺃﺏ وﺏﺟ وﺟﺩ متطابقة. وعندما تقسم ثلاثة مستقيمات أو أكثر قاطعًا واحدًا إلى قطع مستقيمة متطابقة، فإننا نعلم أنها تقسم جميع القواطع الأخرى إلى قطع مستقيمة متطابقة. هذه هي خاصية تطابق القطع المستقيمة في القواطع؛ ما يعني أن القطعة المستقيمة ﺱﺹ تطابق القطعة المستقيمة ﺹﻉ، والتي تطابق القطعة المستقيمة ﻉﻝ.

نعلم أيضًا أن المسافة من ﺱ إلى ﻝ تساوي تسعة سنتيمترات. وبما أن القطعة المستقيمة ﺱﻝ تتكون من ثلاث قطع متطابقة، فإننا نقسم تسعة على ثلاثة لإيجاد طول كل قطعة. وبذلك، نجد أن طول كل من ﺱﺹ وﺹﻉ وﻉﻝ يساوي ثلاثة سنتيمترات. نحن نريد إيجاد طول القطعة المستقيمة ﺱﻉ المكونة من القطعتين ﺱﺹ وﺹﻉ، حيث طول كل منهما يساوي ثلاثة سنتيمترات. إذن، يمكننا القول إن طول القطعة المستقيمة ﺱﻉ يساوي ستة سنتيمترات.

في المثال الأخير، لدينا ثلاثة مستقيمات متوازية يقطعها قاطعان، وعلينا الحل لإيجاد قيمتين مجهولتين.

في الشكل المعطى، أوجد قيمتي ﺱ وﺹ.

في البداية، نلاحظ أن لدينا ثلاثة مستقيمات متوازية وهي: ﻁﻡ وﻙﺵ وﻝﻯ. يمكننا أيضًا القول إن المستقيم ﻁﻝ والمستقيم ﻡﻯ قاطعان للمستقيمات المتوازية الثلاثة. بالإضافة إلى ذلك، القطعة المستقيمة ﻡﺵ والقطعة المستقيمة ﺵﻯ تطابق إحداهما الأخرى. وبناء على هذه المعطيات الثلاثة، يمكننا القول إن لدينا قطعًا مستقيمة متطابقة على القاطعين. وبما أن المستقيمات الثلاثة المتوازية تقسم القطع المستقيمة المتطابقة على أحد القاطعين، فإنها تقسم القطع المستقيمة المتطابقة على القاطع الآخر.

هذا يعني أن القطعة المستقيمة ﻁﻙ تطابق القطعة المستقيمة ﻙﻝ. يمكننا تحديد هاتين القطعتين المستقيمتين المتطابقتين على الشكل لدينا. لإيجاد قيمتي ﺱ وﺹ، نكون معادلتين. يمكننا القول إن ﻡﺵ يساوي ﺵﻯ، وﻁﻙ يساوي ﻙﻝ. نبدأ بـ ﻡﺵ يساوي ﺵﻯ، ونعوض بخمسة ﺹ ناقص ٢٥ عن ﻡﺵ، وبثلاثة ﺹ ناقص سبعة عن ﺵﻯ. نضيف ٢٥ إلى طرفي المعادلة، وهو ما يعطينا خمسة ﺹ يساوي ثلاثة ﺹ زائد ١٨. نطرح ثلاثة ﺹ من الطرفين لنحصل على اثنين ﺹ يساوي ١٨. وأخيرًا، بقسمة الطرفين على اثنين، نحصل على ﺹ يساوي تسعة.

سنتبع طريقة مشابهة لإيجاد قيمة ﺱ. نعوض بستة ﺱ ناقص ٢٠ عن ﻁﻙ، وبأربعة ﺱ ناقص ثمانية عن ﻙﻝ. بإضافة ٢٠ إلى كلا الطرفين، نجد أن ستة ﺱ يساوي أربعة ﺱ زائد ١٢. نطرح أربعة ﺱ من الطرفين، وهو ما يعطينا اثنين ﺱ يساوي ١٢. بقسمة الطرفين على اثنين، نجد أن ﺱ يساوي ستة. يمكننا أن نستخدم القيمتين اللتين أوجدناهما لكل من ﺱ وﺹ لإيجاد طول كل قطعة مستقيمة. ‏ﻁﻙ يساوي ستة في ستة ناقص ٢٠، وهو ما يساوي ١٦. ولأننا نعلم أن ﻙﻝ يطابق ﻁﻙ، فهو يساوي ١٦ أيضًا. لدينا بعد ذلك ﻡﺵ يساوي خمسة في تسعة ناقص ٢٥، وهو ما يساوي ٢٠. وبما أن ﺵﻯ يطابق ﻡﺵ، فكل من هذين الطولين يساوي ٢٠. لكن لم يطلب منا السؤال سوى إيجاد قيمتي ﺱ وﺹ. إذن، يمكننا القول إن ﺱ يساوي ستة وﺹ يساوي تسعة.

قبل أن ننتهي، دعونا نراجع سريعًا النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الفيديو. إذا تقاطعت ثلاثة مستقيمات متوازية أو أكثر مع قاطعين، فإنها تقسم القاطعين إلى أجزاء أطوالها متناسبة. تنطبق هذه الخاصية أيضًا على المستقيمات المتوازية والقواطع في المضلعات. وأخيرًا، إذا قسمت ثلاثة مستقيمات متوازية أو أكثر قاطعًا واحدًا إلى قطع مستقيمة متطابقة، فإنها تقسم جميع القواطع الأخرى إلى قطع مستقيمة متطابقة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.