فيديو: تعريف القطع الناقص

كريم علي

التعرف على المصطلحات الخاصة بالقطع الناقص. استنتاج قيمة مجموع المسافات بين نقطة على القطع والبؤرتين.

٠٨:٠٠

‏نسخة الفيديو النصية

في الفيديو ده هنتكلّم عن القطع الناقص.

القطع الناقص هو أحد القطاعات المخروطية. وتعريفه: هو المحلّ الهندسي لنقطة بتتحرّك في مستوى. بحيث إن مجموع المسافة ما بينها وما بين نقطتين تانيين في نفس المستوى بيكونوا عدد ثابت.

مثال على القطع الناقص هو المنحنى اللي ظاهر في الشكل اللي قدامنا. هنا في الشكل اللي قدامنا، المسافة ما بين النقطة السودا للنقطة الخضرا، اللي هي م واحد. زائد المسافة ما بين النقطة السودا والنقطة الخضرا التانية، اللي هي م اتنين. المفروض إن مجموع م واحد زائد م اتنين يبقى عدد ثابت. وده معناه إننا لو رسمنا أيّ نقطة تانية على منحنى القطع الناقص. مجموع المسافة ما بين النقطة دي والنقطتين الخُضْر اللي مرسومين، اللي همّ في الحالة الجديدة هيبقوا م تلاتة وَ م أربعة. مجموعهم برضو هيبقى عدد ثابت، اللي هو بيساوي م واحد زائد م اتنين. وهكذا لأيّ نقطة بتقع على المنحنى الأزرق ده.

ويبقى كده المنحنى الأزرق ده بيمثّل المحلّ الهندسي لنقط بتتحرّك في مستوى واحد. بحيث إن المسافة ما بين النقط دي والنقط الخضرا اللي مرسومة، واللي همّ نقط ثابتة في المستوى، مجموع المسافات دي بيكون عدد ثابت.

طيب دلوقتي إحنا عرّفنا القطع الناقص. خلّونا نتكلّم عن مكوّنات القطع الناقص. في الشكل اللي قدامنا، اللي مرسوم على اليمين، كل نقطة من النقط اللي مرسومين باللون الأزرق اسمها البؤرة. والبؤرتين همّ النقطتين اللي قلناهم في تعريف القطع الناقص. اللي همّ النقطتين اللي مجموع المسافات إليهم من أيّ نقطة على منحنى القطع الناقص بيكون عدد ثابت.

تاني حاجة: القطع الناقص بيكون ليه محورين، المحورين دول ما بيكونوش متساويين. ففيهم واحد أكبر من التاني. المحور الكبير اسمه المحور الأكبر. والصغيّر اسمه المحور الأصغر. المحورين بتوع القطع الناقص بيكونوا عموديين على بعض. وبيتقاطعوا في نقطة في النصّ، اللي هي المركز بتاع القطع الناقص.

طيب إحنا كده عرّفنا القطع الناقص، وعرِفنا مكوّناته. فممكن نراجع مرة تانية سريعًا على الكلام اللي اتقال لحدّ دلوقتي. عرّفنا القطع الناقص بإن هو: المحلّ الهندسي لمجموعة من النقاط، تقع في مستوى بحيث أن مجموع المسافة بين أيّ نقطة ونقطتين ثابتتين في المستوى تكون ثابتة. وقلنا: إن القطع الناقص بيتكوّن من بؤرتين، اللي همّ ظاهرين في الشكل اللي قدامنا باللون الأصفر. والمحور الأكبر والأصغر، اللي همّ ظاهرين قدامنا في الشكل باللون الأخضر. والمركز اللي هو نقطة تقاطع المحورين الأكبر والأصغر.

المحورين الأكبر والأصغر لمّا بيتقاطعوا في المركز بينصّفوا بعض. فيبقى إذن المركز هي نقطة المنتصف للمحور الأكبر، وبرضو هي نقطة المنتصف للمحور الأصغر. فهنسمّي نصف طول المحور الأكبر المسافة أ، زيّ ما ظاهر في الشكل اللي قدّامنا. وهنسمّي نصف طول المحور الأصغر المسافة ب، زيّ ما ظاهر في الشكل. واللي هنعمله دلوقتي إننا هنحاول نجيب علاقة ما بين أ وَ ب، وما بين المسافة ما بين المركز والبؤرة. يعني إحنا عايزين نجيب المسافة ما بين المركز والبؤرة، بدلالة المسافتين أ وَ ب.

طيب ظاهر قدّامنا في الشكل قطع ناقص. والبؤرتين بتوع القطع الناقص دول مرسومين باللون الأصفر على المحور الأكبر. وعندنا تلات نقط: ن واحد، ن اتنين، وَ ن تلاتة. زيّ ما ظاهر في الشكل اللي قدامنا. طيب هنوصّل خطّين ما بين النقطة ن واحد وما بين البؤرتين، اللي هنسمّيهم ب واحد وَ ب اتنين. طيب تعريف القطع الناقص بيقول لنا: إن لأيّ نقطة على منحنى القطع، مجموع المسافتين ما بين النقطة دي والبؤرتين بيكون ثابت. فلو طبّقنا القاعدة دي على النقطتين ن واحد وَ ن اتنين. يبقى مجموع المسافتين ن واحد ب واحد زائد ن واحد ب اتنين تساوي مجموع المسافتين ن اتنين ب واحد زائد ن اتنين ب اتنين.

طيب من التماثُل اللي في القطع الناقص، هنلاقي إن المسافة ن اتنين ب واحد هي هي المسافة ن تلاتة ب اتنين. ويبقى نقدر نعيد كتابة المعادلة. هتبقى: ن واحد ب واحد زائد ن واحد ب اتنين تساوي ن تلاتة ب اتنين زائد ن اتنين ب اتنين. طيب المقدار اللي في الطرف الأيسر، اللي هو المسافة ن تلاتة ب اتنين زائد المسافة ن اتنين ب اتنين. ما هو إلّا المسافة ما بين النقطتين ن اتنين وَ ن تلاتة، اللي هو طول المحور الأكبر كله. وإحنا سمّينا نصف طول المحور الأكبر المسافة أ. فيبقى طول المحور الأكبر كله بيساوي اتنين أ. فالمعادلة هتبقى: ن واحد ب واحد زائد ن واحد ب اتنين تساوي اتنين أ.

برضو من التماثُل اللي في القطع الناقص، هنلاقي إن المسافة ن واحد ب واحد هي هي المسافة ن واحد ب اتنين. فيبقى المعادلة هتبقى: اتنين ن واحد ب واحد تساوي اتنين أ. بقسمة الطرفين على اتنين، هيبقى المسافة ن واحد ب واحد تساوي أ. يبقى إذن إحنا استنتجنا إن المسافة دي ن واحد ب واحد بتساوي أ.

طيب بالنسبة للمثلث اللي متظلّل في الشكل قدامنا، لو رسمناه لوحده بره الشكل ده. هنا ظاهر قدامنا المثلث ن واحد ب واحد، وَ م اللي هي المركز. إحنا قلنا: إن المحورين بتوع القطع الناقص بيكونوا متعامدين على بعض. فيبقى إذن الزاوية دي بتساوي تسعين درجة. وكنا سمّينا إن نصف طول المحور الأصغر المسافة ب. يبقى إذن المسافة ن واحد م هي بتساوي ب.

وكمان استنتجنا إن المسافة ن واحد ب واحد بتساوي أ. يبقى لو سمّينا المسافة ما بين النقطة ب واحد وَ م، اللي هي المسافة ما بين البؤرة والمركز، سمّيناها ج، اللي إحنا عايزين نجيبها. فمن المثلث قائم الزاوية، نقدر نقول: إن ج تربيع زائد ب تربيع تساوي أ تربيع. ويبقى إذن المسافة ج اللي عايزين نحسبها هتبقى ج تربيع بتساوي أ تربيع ناقص ب تربيع. ويبقى هي دي المسافة ما بين البؤرة والمركز بتوع القطع الناقص.

كده في الفيديو ده، إحنا عرّفنا القطع الناقص. وعرفنا مكوّنات القطع الناقص. واستنتجنا علاقة بتجيب لنا المسافة ما بين البؤرة والمركز بتوع القطع الناقص.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.