فيديو السؤال: إيجاد معادلة المماس لمنحنى دالة تربيعية عند نقطة تقاطعه مع دالة مقلوب معطاة الرياضيات

أوجد معادلة المماس للمنحنى ﺩ(ﺱ) = ﺱ^٢ عند نقطة تقاطعه مع المنحنى ﺭ(ﺱ) = ١٢٥‏/‏ﺱ.

٠٤:٥٣

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد معادلة المماس للمنحنى ﺩﺱ تساوي ﺱ تربيع عند نقطة تقاطعه مع المنحنى ﺭﺱ تساوي ١٢٥ على ﺱ.

حسنًا، مطلوب منا في هذا السؤال إيجاد معادلة المماس لهذا المنحنى ﺩﺱ عند نقطة تقاطعه مع منحنى آخر، ﺭﺱ. دعونا نبدأ بتحديد نقطة تقاطع هذين المنحنيين. لكي يتقاطع المنحنيان، يجب أن تكون قيمتا الدالتين متساويتين. يمكننا تحديد موضع حدوث ذلك بأن نجعل ﺩﺱ تساوي ﺭﺱ، ثم نحل المعادلة الناتجة لإيجاد قيمة الإحداثي ﺱ لنقطة التقاطع. بمساواة ﺩﺱ بـ ﺭﺱ، نحصل على المعادلة ﺱ تربيع يساوي ١٢٥ على ﺱ.

لحل هذه المعادلة، علينا أولًا ضرب الطرفين في ﺱ. في الطرف الأيمن، ﺱ تربيع مضروبًا في ﺱ يعطينا ﺱ تكعيب. وفي الطرف الأيسر، ١٢٥ على ﺱ مضروبًا في ﺱ يعطينا ١٢٥. إذا كان ﺱ تكعيب يساوي ١٢٥، فإن ﺱ يساوي الجذر التكعيبي لـ ١٢٥؛ أي خمسة. وبذلك، نكون قد أوجدنا قيمة الإحداثي ﺱ عند نقطة تقاطع هذين المنحنيين. والآن، علينا إيجاد قيمة الإحداثي ﺹ؛ أي قيمة كل من الدالتين. يمكننا إيجاد هذه القيمة بالتعويض بـ ﺱ يساوي خمسة في معادلة أي من المنحنيين؛ لأنه كما نتذكر يجب أن تكون لهما القيمة نفسها عند هذه النقطة.

بالتعويض بـ ﺱ يساوي خمسة في الدالة ﺩﺱ، نحصل على ﺩ لخمسة تساوي خمسة تربيع؛ أي ٢٥. وإذا أردنا، يمكننا أيضًا التأكد من أن ﺭﺱ لها القيمة نفسها، ونجد أن ﺭ لخمسة تساوي ١٢٥ على خمسة، وهذا يساوي ٢٥ أيضًا. نستنتج من ذلك أن نقطة تقاطع المنحنيين ﺩﺱ وﺭﺱ هي النقطة خمسة، ٢٥. مطلوب منا الآن إيجاد معادلة مماس المنحنى ﺩﺱ عند هذه النقطة. هناك طرق مختلفة لإيجاد معادلة المماس، ومنها استخدام صيغة الميل ونقطة لمعادلة الخط المستقيم؛ وهي ﺹ ناقص ﺹ واحد يساوي ﻡ في ﺱ ناقص ﺱ واحد؛ حيث ﺱ واحد، ﺹ واحد إحداثيات أي نقطة تقع على المستقيم وﻡ هو ميله.

حسنًا، لقد أوجدنا إحداثيات نقطة تقع على هذا المستقيم. ‏ﺱ واحد، ﺹ واحد هي النقطة خمسة، ٢٥. نحن لا نعلم ميل المستقيم بعد. لكننا نعلم أن ميل مماس المنحنى عند نقطة ما يساوي ميل المنحنى نفسه عند هذه النقطة. ويمكننا إيجاد الميل عند أي نقطة على المنحنى باستخدام الاشتقاق. يمكن إيجاد دالة الميل أو المشتقة الأولى للدالة ﺩﺱ، التي ترميزها ﺩ شرطة لـ ﺱ، باشتقاق معادلتها. ‏ﺩﺱ تساوي ﺱ تربيع. ونحن نعلم أنه لاشتقاق حد عبارة عن كثيرة حدود على هذه الصورة، فإننا نضرب أولًا في الأس، أي اثنين، ثم نطرح واحدًا من أس ﺱ ليصبح لدينا بذلك ﺩ شرطة ﺱ تساوي اثنين مضروبًا في ﺱ أس واحد، وﺱ أس واحد يساوي ﺱ.

الدالة العامة للميل ﺩ شرطة لـ ﺱ تساوي اثنين ﺱ، لكن علينا إيجاد قيمتها عند هذه النقطة تحديدًا. بالتعويض بقيمة الإحداثي ﺱ عند نقطة التقاطع، نجد أن ﺩ شرطة لخمسة تساوي اثنين مضروبًا في خمسة، وهذا يساوي ١٠. وبما أننا نعرف الآن ميل هذا المماس وإحداثيات نقطة يمر بها، فيمكننا إذن إيجاد معادلته.

بالتعويض بالنقطة خمسة، ٢٥ عن ﺱ واحد، ﺹ واحد، وبالتعويض بـ ١٠ عن الميل ﻡ، يصبح لدينا ﺹ ناقص ٢٥ يساوي ١٠ مضروبًا في ﺱ ناقص خمسة. بالتوزيع على ما بداخل القوسين في الطرف الأيسر، نحصل على ١٠ﺱ ناقص ٥٠. وإذا أردنا تجميع كل الحدود لتكون في الطرف الأيمن من المعادلة، وذلك بطرح ١٠ﺱ ثم إضافة ٥٠، فإن هذا يعطينا معادلة المماس.

إذن، معادلة المماس للمنحنى ﺩﺱ تساوي ﺱ تربيع عند نقطة تقاطعه مع المنحنى ﺭﺱ تساوي ١٢٥ على ﺱ هي ﺹ ناقص ١٠ﺱ زائد ٢٥ يساوي صفرًا.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.