فيديو: تكامل الدوال الكسرية من خلال الكسور الجزئية

استخدم الكسور الجزئية لإيجاد قيمة ∫دﺱ/(ﺱ(ﺱ^٢ + ١)^٢).

٠٦:٣٧

‏نسخة الفيديو النصية

استخدم الكسور الجزئية لإيجاد قيمة تكامل د س على؛ س في، س تربيع زائد الواحد، الكل تربيع.

هنقسّم الواحد على؛ س في، س تربيع زائد الواحد؛ باستخدام الكسور الجزئية. فهتساوي أ على س. زائد ب س زائد ﺟ، على س تربيع زائد الواحد. زائد د س زائد الـ ﻫ، على س تربيع زائد الواحد الكل تربيع. هنوحد المقامات ونجمعهم، وبعدين نساوي البسط بالبسط. يبقى هيساوي س في، س تربيع زائد الواحد الكل تربيع. الـ أ عشان نوحد المقامات، يبقى هتتضرب في الـ س تربيع زائد الواحد الكل تربيع. زائد الـ ب س هتتضرب في الـ س، وهتتضرب في س تربيع زائد الواحد. زائد الـ د س زائد الـ ﻫ، هنضربها بس في الـ س.

هنفكهم يبقى هيساوي … الـ أ هتتضرب في … الـ س تربيع زائد الواحد لمّا هنفكها، يبقى مربع الأول، زائد … الأول في التاني في اتنين، يبقى اتنين س تربيع؛ زائد مربع التاني. زائد … الـ س هنضربها في الـ س تربيع والـ ب س، يبقى هتساوي ب س أُس أربعة. وبعدين هنضربها في الـ س تربيع، والـ س تربيع هنضربها في الـ ﺟ. يبقى ﺟ س أُس تلاتة. وبعدين الـ س هتتضرب في الواحد، والـ ب واحد تتضرب في الـ ب س. يبقى هتساوي ب س تربيع. وهنضربها في الواحد، وبعدين في الـ ﺟ. يبقى هتساوي ﺟ س. الـ د س زائد الـ ﻫ في الـ س، هتبقى د س تربيع زائد ﻫ س. والمقام س في س تربيع زائد الواحد.

هنضرب الـ أ في، س أُس أربعة زائد اتنين س تربيع زائد الواحد. هتبقى أ في س أُس أربعة، زائد اتنين أ س تربيع، زائد الـ أ. هنجمّع المعاملات للحدود المتشابهة. يعني هنا س أُس أربعة، وهنا س أُس أربعة، المعامل بتاعها أ واحدة ب. يبقى أ زائد ب هو معامل س أُس أربعة. ونقارنه بالبسط ده. البسط هنا ما فيش س أُس أربعة. يعني معنى كده إن الـ أ زائد الـ ب يساوي صفر.

معامل الـ س تكعيب بصفر؛ لأن ما فيش حدّ فيه س تكعيب هنا. يبقى الـ ﺟ هيساوي صفر. يبقى الـ ﺟ س هنا دي بصفر. ونقارن معاملات باقي الحدود. هنا س تربيع، وهنا س تربيع، وهنا س تربيع. يبقى اتنين أ زائد الـ ب زائد د. معامل س تربيع هيبقى هو كمان بصفر، يعني ده هيساوي صفر.

باقي الحد اللي فيه الـ س. هنا ﻫ س هو الحد الوحيد اللي فيه س؛ لأن هنا الـ ﺟ س بصفر، والـ ﺟ طلعت بصفر. يبقى المعامل للـ س هو كمان بيساوي صفر؛ لأن ما فيش هنا حدّ فيه س. يبقى الـ ﻫ هتساوي صفر. باقي الحدود المطلقة، هنلاقي هنا الـ أ هيساوي الواحد. يبقى الـ أ هيساوي واحد. لمّا هنعوّض في المعادلة دي، يبقى الـ ب هتساوي سالب واحد. لمّا هنعوّض بالقيمتين اللي أوجدناهم دول، يعني اتنين في واحد ناقص واحد زائد د هيساوي صفر. يبقى الـ د هيساوي سالب واحد.

هنعوّض هنا بالـ أ تساوي واحد، والـ ب تساوي سالب واحد، والـ ﺟ بصفر، والـ د بسالب واحد، والـ ﻫ بصفر. يبقى لمّا استخدمنا الكسور الجزئية لتجزيء واحد على؛ س في، س تربيع زائد الواحد الكل تربيع. ساوِت واحد على س؛ ناقص س على، س تربيع زائد الواحد؛ ناقص س على، س تربيع زائد الواحد الكل تربيع.

هنوجد التكامل المطلوب، يبقى التكامل د س على؛ س في، س تربيع زائد الواحد الكل تربيع. هيبقى التكامل للكلام ده كله بالنسبة للـ س. التكامل بيتوزّع على الجمع والطرح. يبقى هنكامل كل حدّ من دول بالنسبة للـ س.

تكامل واحد على س هيبقى اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة للـ س. ناقص … س على، س تربيع زائد الواحد، لمّا هنكاملها هتبقى اللوغاريتم الطبيعي للـ س تربيع زائد الواحد، على اتنين يعني مضروب هنا في نص. ناقص … الـ س على، س تربيع زائد الواحد الكل تربيع، يبقى الأُس ده هينقص واحد. يعني لو كان في البسط، هيبقى سالب اتنين. يبقى هيزيد واحد. يبقى الأُس هيبقى سالب واحد. هيرجع تاني في المقام يبقى واحد.

يبقى تكامل س على، س تربيع زائد الواحد الكل تربيع، هيبقى نص في؛ واحد على، س تربيع زائد الواحد. وفيه إشارة سالبة بتاعة الأُس اللي في المقام، هتتضرب في الناقص دي هتبقى قيمة موجبة. والكلام ده كله زائد عدد ثابت؛ لأن التكامل غير محدود. ممكن نضرب الاتنين دي في القوس اللي هو س تربيع زائد الواحد، يبقى واحد على، اتنين س تربيع زائد الاتنين. ويبقى هي دي قيمة التكامل المطلوبة باستخدام الكسور الجزئية.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.