نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سنوضح معنى بعض المصطلحات والترميز الشائع استخدامه في الاحتمال.
التجربة هي نشاط متبوع بنتيجة محددة. على سبيل المثال، إذا كان لدينا حجر نرد له ستة جوانب ورميناه على الطاولة ليستقر على أحد الأعداد الظاهرة بالأعلى، يمكننا القول إن رمي حجر النرد تجربة. التجربة العلمية هي إجراء يهدف للوصول إلى اكتشاف أو اختبار افتراض. لكن تجربة الاحتمال تختلف نوعًا ما عن ذلك. إنها إجراء معين يمكننا تكراره بالضبط بقدر ما نرغب، وتكون دائمًا مجموعة النواتج المحتملة التي تحدث عشوائيًّا هي نفسها. ومن بعض الأمثلة الأخرى على تجارب الاحتمال إلقاء عملة لرؤية إذا ما كانت تستقر على جانب الصورة أو الكتابة بالأعلى، أو اختيار قرص مضغوط بشكل عشوائي من حقيبة تحتوي على مجموعة متنوعة من الأقراص المضغوطة الملونة.
النتيجة هي نتيجة محددة من تجربة ما، وتسمى مجموعة النواتج المحتملة بفضاء العينة. على سبيل المثال، عندما نرمي حجر نرد عاديًّا ذا ستة أوجه، فستكون إحدى النواتج أن يستقر حجر النرد على العدد واحد. ستتمثل نتيجة أخرى في استقرار حجر النرد على العدد اثنين، وهكذا مع جميع هذه الاحتمالات المختلفة. وكما ذكرنا من قبل، فضاء العينة هو مجموعة كل النواتج المحتملة، لذلك نكتبه باستخدام ترميز المجموعة. في هذه الحالة، تكون كل الأعداد المحتمل سردها: واحد، اثنان، ثلاثة، أربعة، خمسة، ستة. وهذه مجموعة شاملة من النواتج؛ حيث تتضمن كل نتيجة محتملة.
الحدث هو مجموعة فرعية معينة من فضاء العينة. فعلى سبيل المثال، عند رمي حجر نرد، قد يتمثل الحدث البسيط في أن يلف حجر النرد ليظهر العدد واحد، أو يلف ليظهر العدد ثلاثة. ولكن يمكننا تحديد أحداث أكثر تعقيدًا تشكل مجموعات فرعية أكبر من فضاء العينة؛ مثل: الحصول على عدد زوجي، أو الحصول على عدد أولي، أو الحصول على مضاعف العدد ثلاثة، وهكذا.
نقيس احتمال حدوث نتيجة أو حدث ما باستخدام مقياس الاحتمال، وهو مقياس متصل يبدأ من الصفر، الذي يمثل حالة مستحيلة الحدوث، وصولًا إلى الواحد، الذي يمثل شيئًا مؤكد الحدوث. فعلى سبيل المثال، احتمال نصف يمثل شيئًا سيحدث في نصف عدد المرات الذي نجري فيه التجربة. يمكننا استخدام الكسور أو الأعداد العشرية لتمثيل هذه الأعداد الموجودة بين صفر وواحد. لا بأس أيضًا من استخدام النسب المئوية لتمثيل مقياس الاحتمال؛ فيمكننا استخدام صفر بالمائة إلى ما يصل لمائة بالمائة بدلًا من صفر إلى واحد. ولكن عليك كتابة علامة النسبة المئوية بها أيضًا.
وتوصلنا بذلك إلى نتيجة مهمة وهي أن ﻝ يمثل احتمال وقوع حدث، ويجب أن يتراوح بين صفر وواحد. ومن ذلك، يمكننا تمثيل ذلك باستخدام هذه المتباينة: ﻝ أكبر من أو يساوي الصفر وأقل من أو يساوي الواحد.
هناك ترميز ما مهم شائع الاستخدام لتمثيل الاحتمالات، وهو يختصر لنا الكثير من الكتابة. على سبيل المثال، بدلًا من كتابة أن احتمال الحصول على خمسة عند رمي حجر نرد منتظم ذي ستة أوجه هو سدس، يمكنني فقط كتابة ﻝ قوسين خمسة يساوي سدسًا؛ حيث إنها طريقة مختصرة يفهمها جميع علماء الرياضيات.
نموذج الاحتمال هو وصف رياضي لحدث يسرد كل النواتج المحتملة إلى جانب احتمالاتها. يمكن اختصار ذلك على صورة جدول. على سبيل المثال، إذا كانت حقيبة تحتوي على تسعة أقراص مضغوطة متشابهة؛ اثنين منها باللون الأحمر، وثلاثة باللون الأزرق، وأربعة باللون الأخضر، فإذا سحب أحدها بشكل عشوائي، يتساوى احتمال اختيار كل قرص مضغوط منها على حدة. هناك تسعة أقراص مضغوطة إجمالًا، وسوف أختار قرصًا واحدًا فقط من تلك الأقراص. فكم عدد الفرص الموجودة للحصول على أقراص حمراء؟ حسنًا، توجد فرصتان من إجمالي تسع فرص للحصول على قرص أحمر. إذن احتمال الحصول على قرص أحمر هو اثنان على تسعة. وتوجد ثلاثة أقراص مضغوطة زرقاء من إجمالي تسعة أقراص، إذن احتمال الحصول على قرص أزرق هو ثلاثة من تسعة. وبالنسبة للقرص الأخضر، توجد أربع فرص للحصول على قرص أخضر من إجمالي تسعة احتمالات. إذن احتمال سحب قرص أخضر هو أربعة أتساع. فهذه هي احتمالات هذه النواتج المختلفة.
لاحظ كيف كتبنا احتمال الحصول على قرص أزرق على صورة ثلاثة على تسعة، أو ثلاثة أتساع. كان يمكننا أن نبسط ذلك إلى الكسر المكافئ ثلث، لكن لسنا مضطرين لذلك. في الحقيقة، الكسر ثلاثة على تسعة يخبرنا بعدد الفرص الموجودة لاختيار قرص أزرق، وبإجمالي عدد الأقراص الموجودة في الحقيبة. ففي الواقع هذه الصورة مفيدة أكثر من تبسيط الكسر إلى ثلث. لاحظ أيضًا أن الجدول يسرد كل النواتج المحتملة للتجربة. إذن، مجموع الاحتمالات يجب أن يساوي واحدًا؛ حيث إن إحدى هذه النواتج ستحدث بالتأكيد. ومن ذلك، فهذا الجدول يمثل نموذج احتمال.
عند إلقاء حجر نرد منتظم، فالنواتج المحتملة هي: واحد، أو اثنان، أو ثلاثة، أو أربعة، أو خمسة، أو ستة. وجميع هذه النواتج محتملة الحدوث على قدم المساواة. وهذا هو تعريف المصطلح «منتظم» في الاحتمال.
عندما تكون نتيجة أو أكثر محتملة الحدوث بشكل أقل أو أكثر من النواتج الأخرى، نطلق حينها على التجربة متحيزة. على سبيل المثال، عند شرائك تذكرة يانصيب، فستكون إما تذكرة رابحة أو تذكرة خاسرة. فهناك نتيجتان محتملتان. ولكن في معظم اليانصيب، احتمال أن التذكرة ستخسر أكبر بكثير من احتمال أنها ستربح. إذن، إجراء عملية اليانصيب متحيز؛ حيث إن احتمال خسارتك أكثر من احتمال ربحك.
هناك بعض التجارب قد لا نعرف فيها احتمال حدوث كل نتيجة قبل تجربتها. على سبيل المثال، إذا ألقينا دبوس رسم على الأرض من ارتفاع متر، مثلًا، فعندما يسقط ويستقر سيكون متوجهًا إما لأعلى أو لأسفل. لكننا لا نعرف الاحتمال النظري لحدوث أي من السيناريوهين. في هذه الحالة، يمكننا إجراء التجربة عدة مرات، وتسجيل النواتج. يمكننا إذن استخدام نسبة الحالات التي حدثت فيها كل حالة كتقدير لاحتمال النتيجة. ويمكننا تسمية هذه النسبة بالتكرار النسبي، أو أحيانًا بالاحتمال التجريبي لكل نتيجة. كلما زاد عدد المرات التي نكرر فيها التجربة، زادت ثقتنا في أن تمثيل التكرارات النسبية تقدير يعتد به من الاحتمالات الفعلية لكل نتيجة. ففي هذه الحالة، لقد أجرينا ألف محاولة على التجربة ووجدنا أن الدبوس قد سقط متجهًا لأعلى ٦٣٢ مرة، ولأسفل ٣٦٨ مرة. وبذلك تقديرنا لاحتمال سقوط الدبوس متجهًا لأعلى هو: ٦٣٢ على ١٠٠٠، وتقدير احتمال سقوطه متجهًا لأسفل هو:٣٦٨ على ١٠٠٠. هذه التكرارات النسبية، أو نسب الحالات التي تحدث فيها الأشياء، هي تقديرات احتمالات فعلية لحدوث تلك النواتج.
الاحتمال المستقل. يقال إن الحدثين مستقلان إذا كانت نتيجة أحدهما لا تؤثر مطلقًا على نتيجة الآخر. على سبيل المثال، إذا رمينا عملة في الهواء، فقد تستقر على صورة أو كتابة، ويكون بذلك احتمال كل من النتيجتين نصفًا. وإذا ألقينا حجر نرد منتظمًا، فالنواتج المحتملة تكون: واحدًا، أو اثنين، أو ثلاثة، أو أربعة، أو خمسة، أو ستة. ومرة أخرى، يكون لجميعها نفس الاحتمالات وهي سدس. فكل من هاتين الحالتين؛ رمي عملة في الهواء أو إلقاء حجر نرد منتظم، مستقل. احتمال الحصول على واحد، أو اثنين، أو ثلاثة، أو أربعة، أو خمسة، أو ستة، على حجر النرد لا يتأثر بما إذا كانت العملة تستقر على جانب الصورة أو الكتابة بالأعلى في التجربة الأخرى. وبعبارة أخرى، هاتان التجربتان مستقلتان؛ لأننا إذا عرفنا نتيجة إحداهما، فإن ذلك لا يغير من احتمالات نواتج التجربة الأخرى.
حسنًا. إذن في تجربة إلقاء حجر نرد منتظم، سيكون نموذج الاحتمال هكذا. توجد ست نواتج محتملة وهي: واحد، اثنان، ثلاثة، أربعة، خمسة، ستة؛ واحتمالات جميع النواتج الست. ولقد رأينا ذلك عدة مرات من قبل. دعونا الآن نتعرف على حدثين. الحدث الأول كانت فيه النتيجة عددًا زوجيًّا، إذن قد تكون اثنين أو أربعة أو ستة. الحدث الثاني كانت فيه النتيجة عددًا أوليًّا، إذن قد تكون اثنين أو ثلاثة أو خمسة. الآن هذان الحدثان ليسا حدثين مستقلين. وبذلك تذكر أننا قلنا إن الحدثين مستقلان إذا كانت معرفة نتيجة أحدهما لا تؤثر على احتمالات نواتج الحدث الآخر. في هذه الحالة ليس الوضع هكذا؛ حيث إننا إذا عرفنا أن النتيجة كانت عددًا زوجيًّا، نعرف إذن أن العدد الظاهر كان اثنين أو أربعة أو ستة. وعليه، إذا عرفنا أننا حصلنا على اثنين أو أربعة أو ستة، فما احتمال أن تكون النتيجة عددًا أوليًّا؟ حسنًا، هناك عدد واحد فقط من تلك الأعداد الثلاثة عدد أولي. إذن، ستكون النتيجة أن احتمال أن يكون العدد أوليًّا هي ثلث فقط. إذا لم نعرف بوقوع الحدث الأول وهو أن النتيجة كانت عددًا زوجيًّا، أي إننا لم نعرف إذا كان عددًا فرديًّا أو زوجيًّا، فستكون هناك ثلاثة احتمالات مختلفة للأعداد الأولية. ومن ثم، يكون احتمال أن العدد أولي ثلاثة من ست نواتج محتملة، أي سيكون نصفًا. إذن، معرفة نتيجة حدث واحد تؤثر على احتمال الحدث الآخر. لم يحدث ذلك في مثالنا الأخير؛ لأننا إذا عرفنا النتيجة على حجر النرد، فإن ذلك لم يخبرنا بأي شيء حول نتيجة رمي العملة في الهواء. هذان الحدثان مستقلان تمامًا. ومن ثم، الاحتمالات التابعة والمستقلة ستصبح في غاية الأهمية عندما تبدأ التعامل مع أسئلة أكثر تعقيدًا.
عندما لا يمكن لحدثين الوقوع في الوقت نفسه، نطلق عليهما حدثين متنافيين. على سبيل المثال، فلنقل إننا نختار عددًا صحيحًا بشكل عشوائي من واحد إلى عشرة، بما في ذلك العددان. الحدثان، مضاعف العدد اثنين وعامل العدد تسعة، متنافيان لأنه لا يوجد أي مضاعفات للعدد اثنين تكون أيضًا عوامل للعدد تسعة في الوقت نفسه. إذا علمت أن العدد المختار هو مضاعف للعدد اثنين، فلا يمكن أن يكون معاملًا للعدد تسعة، والعكس صحيح. إذن، الحدثان الأول والثاني متنافيان؛ لأنه إذا كان أحدهما مضاعفًا للعدد اثنين، فاحتمال أن يكون معاملًا للعدد تسعة هو صفر. وإذا كان معاملًا للعدد تسعة، فاحتمال أن يكون مضاعفًا للعدد اثنين هو أيضًا صفر.
هناك مثال آخر قد يوضح ذلك؛ وهو عندما ترمي حجر نرد وتفكر بالأعداد الفردية أو الأعداد الزوجية. إذا كانت النتيجة عددًا فرديًّا، فلا يمكن أن تكون عددًا زوجيًّا. وإذا كانت النتيجة عددًا زوجيًّا، فلا يمكن أن تكون عددًا فرديًّا. إذن، هذان الحدثان، العدد الزوجي والعدد الفردي، يمثلان نتيجتين متنافيتين لتلك التجربة.
وها هي قائمة بمصطلحات الاحتمال التي نأمل أن تكون قد فهمتها الآن، نتيجة لمشاهدتك هذا الفيديو. نأمل أن تجده مفيدًا.
