نسخة الفيديو النصية
تقدير قيم المشتقات
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم الطريقتين العددية والبيانية لتقدير قيمة مشتقة دالة. سنتناول أمثلة على كيفية عمل الطريقتين. سنبدأ بالنظر إلى الطريقة العددية لتقدير قيمة مشتقة.
في هذا النوع من الأسئلة، سيطلب منا تقدير قيمة ﺩ شرطة ﺃ، أي عند ﺃ؛ حيث ﺩ شرطة هي مشتقة ﺩ بالنسبة ﺱ. ستتضمن المعطيات أيضًا قيمًا ﺩ ﺱ عند قيم ﺱ حول ﺃ، وعند ﺃ أيضًا. سنستخدم قيم ﺩ ﺱ هذه مع قيم ﺱ المناظرة لها لتقدير قيمة المشتقة عند ﺃ. والطريقة التي سنفعل بها ذلك هي استخدام حقيقة أن دالة المشتقة هي دالة الميل. إذن، لتقدير قيمة المشتقة، علينا ببساطة تقدير ميل الدالة. سنتناول الآن طريقة القيام بذلك.
إذا كنا نريد إيجاد قيمة مشتقة ﺩ عند ﺃ بمعلومية قيم ﺩ ﺃ، وﺩ ﺏ، وﺩ ﺟ؛ حيث ﺏ أقل من ﺃ أقل من ﺟ، يمكننا استخدام قيم ﺩ الثلاثة هذه مع قيم ﺱ الثلاثة لتقدير الميل على جانبي ﺃ. نعرف أن الميل يساوي التغير في ﺹ على التغير في ﺱ. يمكننا استخدام قيم ﺩ لحساب التغير في ﺹ، وقيم ﺱ المناظرة لها لحساب التغير في ﺱ. باستخدام هذه القيم، يمكننا تقدير الميل على يسار ويمين ﺃ. تذكر، ستظل هذه القيم تقديرية لأننا نستخدم ميل خط مستقيم لتقدير ميل منحنى. يمكننا القول إن الميل على يسار ﺃ يساوي تقريبًا ﺩ ﺃ ناقص ﺩ ﺏ على ﺃ ناقص ﺏ. والميل على يمين ﺃ يساوي تقريبًا ﺩ ﺟ ناقص ﺩ ﺃ على ﺟ ناقص ﺃ.
بعد تقدير الميل على يسار ويمين ﺃ، يمكننا تقدير الميل عند ﺃ بحساب متوسط هذين الميلين. ويمكننا إيجاد المتوسط بجمع الميلين ثم القسمة على اثنين. وبالتالي، يمكننا تكوين معادلة لتقدير قيمة مشتقة ﺩ عند ﺃ. وهي أن ﺩ شرطة ﺃ تساوي تقريبًا ﺩ ﺃ ناقص ﺩ ﺏ على ﺃ ناقص ﺏ زائد ﺩ ﺟ ناقص ﺩ ﺃ على ﺟ ناقص ﺃ الكل مقسوم على اثنين. سيكون هذا التقدير لقيمة ﺩ شرطة ﺃ أكثر دقة، كلما اقتربت قيمتا ﺏ وﺟ من ﺃ. ومع ذلك، من المهم أن تقع قيمتا ﺏ وﺟ على جانبي ﺃ.
لنتناول الآن مثالًا على كيفية استخدام هذه الطريقة.
إذا كان ﺹ يساوي ﺩ ﺱ دالة لأربع قيم معلومة؛ حيث ﺩ اثنين يساوي ثلاثة، وﺩ ستة يساوي ٣٫٧٥، وﺩ سبعة يساوي أربعة، وﺩ ١١ يساوي ٤٫٢٥، فقدر قيمة ﺩ شرطة سبعة.
في هذا السؤال، المطلوب منا هو تقدير قيمة مشتقة ﺩ عند سبعة بمعلومية قيم ﺩ عند قيم ﺱ بالقرب من سبعة. وبالتالي، يمكننا استخدام الطريقة العددية لتقدير قيمة هذه المشتقة. لدينا ﺩ شرطة ﺃ تساوي تقريبًا ﺩ ﺃ ناقص ﺩ ﺏ على ﺃ ناقص ﺏ زائد ﺩ ﺟ ناقص ﺩ ﺃ على ﺟ ناقص ﺃ الكل مقسوم على اثنين؛ حيث ﺏ أقل من ﺃ أقل من ﺟ. وعلينا اختيار قيمتي ﺏ وﺟ الأقرب إلى ﺃ قدر الإمكان. في هذه الحالة، وبما أنه علينا إيجاد ﺩ شرطة سبعة، فإن ﺃ يساوي سبعة. وأقرب قيمتين ﺱ على جانبي سبعة نعرف قيمتي ﺩ عندهما هما: ستة، و١١. إذن يمكننا جعل ستة يساوي ﺏ، و١١ يساوي ﺟ.
بعد ذلك، يمكننا التعويض بهذه القيم في الصيغة. نحصل على ﺩ شرطة سبعة يساوي تقريبًا ﺩ سبعة ناقص ﺩ ستة على سبعة ناقص ستة زائد ﺩ ١١ ناقص ﺩ سبعة على ١١ ناقص سبعة الكل مقسوم على اثنين. الآن، نعرف قيم ﺩ ستة، وﺩ سبعة، وﺩ ١١ لأنها معطاة في السؤال. يمكننا إذن التعويض بهذه القيم، لنحصل على التالي. بعد ذلك، يمكننا تبسيط الكسرين اللذين في البسط لنحصل على ٠٫٢٥ على واحد زائد ٠٫٢٥ على أربعة الكل مقسوم على اثنين.
يمكننا الآن كتابة ٠٫٢٥ على واحد، ليصبح ٠٫٢٥. ويمكننا كتابة ٠٫٢٥ على أربعة، ليصبح ربعًا في ٠٫٢٥. ثم نعيد كتابة ٠٫٢٥، ليصبح ربعًا. وبعدها، يمكننا الضرب ثم جمع الكسرين اللذين في البسط، وأخيرًا قسمة خمسة على ١٦ على اثنين، لنحصل على ﺩ شرطة سبعة تساوي تقريبًا خمسة على ٣٢. يمكن أيضًا كتابة الحل بالصورة العشرية، ليصبح: ﺩ شرطة سبعة تساوي تقريبًا ٠٫١٥٦٢٥.
والآن، قبل الانتقال إلى المثال التالي، لنتأمل ما فعلناه هنا عن قرب. هذا هو التمثيل البياني للدالة ﺩ ﺱ. لنفترض أن السؤال يطلب منا تقدير قيمة مشتقة ﺩ عند ﺃ. في هذا السؤال، لم نعط التمثيل البياني للدالة ﺩ ﺱ. ولكننا نعلم قيمة ﺩ ﺃ. كما نعلم أيضًا قيمتين أخريين لـ ﺩ هما: ﺩ ﺏ، وﺩ ﺟ؛ حيث ﺏ أقل من ﺃ، وﺟ أكبر من ﺃ. عند استخدام الطريقة العددية لتقدير قيمة المشتقة عند ﺃ، نقدر الميل على يسار ﺃ بإيجاد ميل الخط المستقيم الواصل بين النقطة ﺏ، ﺩ ﺏ؛ والنقطة ﺃ، ﺩ ﺃ.
ونستخدم الطريقة نفسها لتقدير الميل على يمين ﺃ. نوجد الميل بين النقطتين: ﺃ، ﺩ ﺃ؛ وﺟ، ﺩ ﺟ. وتكون الحسابات كالتالي: ﺩ ﺃ ناقص ﺩ ﺏ على ﺃ ناقص ﺏ، وﺩ ﺟ ناقص ﺩ ﺃ على ﺟ ناقص ﺃ. وبعدها، في الخطوة الأخيرة من تقدير قيمة المشتقة، سنحسب متوسط هذين الميلين. وهو ما يعطينا تقديرًا لقيمة ﺩ شرطة ﺃ.
لننتقل الآن إلى مثال آخر يتضمن جدولًا.
استخدم الجدول لتقدير ﺩ شرطة ستة.
المطلوب منا هنا هو تقدير قيمة مشتقة ﺩ عند ستة. ولدينا بعض قيم ﺱ إلى جانب قيم ﺩ المناظرة لها بالقرب من ستة، وعند الستة أيضًا. وبالتالي، يمكننا استخدام صيغة الطريقة العددية لتقدير قيمة مشتقة، وتنص على أن قيمة مشتقة ﺩ عند ﺃ تساوي تقريبًا متوسط الميلين على يسار ويمين ﺃ. والآن، لاستخدام هذه الصيغة، يجب أن يكون ﺏ أقل من ﺃ أقل من ﺟ. ويجب أن نختار قيمتي ﺏ وﺟ الأقرب ﺃ قدر الإمكان؛ بحيث يكون ﺏ وﺟ على جانبي ﺃ.
في هذه الحالة، قيمة ﺃ هي ستة، وأقرب قيمتين ﺱ على يسار ويمين الستة، حسب المعطيات، هما: أربعة، وثمانية. إذن، أربعة يساوي ﺏ، وثمانية يساوي ﺟ. بعد أن عرفنا قيم ﺃ وﺏ وﺟ، يمكننا ببساطة التعويض بها في الصيغة. نحصل على ﺩ شرطة ستة يساوي تقريبًا ﺩ ستة ناقص ﺩ أربعة على ستة ناقص أربعة زائد ﺩ ثمانية ناقص ﺩ ستة على ثمانية ناقص ستة الكل مقسوم على اثنين. بعد ذلك، يمكننا التعويض بقيم ﺩ أربعة، وﺩ ستة، وﺩ ثمانية؛ إذ إنها معطاة في الجدول.
بعد التعويض بهذه القيم، سنتمكن من تبسيط الكسرين اللذين في البسط، بما أن ٤٫٢٥ ناقص ٣٫٩ يساوي ٠٫٣٥، و٤٫٨ ناقص ٤٫٢٥ يساوي ٠٫٥٥، وستة ناقص أربعة، وثمانية ناقص ستة، كلاهما يساوي اثنين. بعد ذلك، يمكننا قسمة الكسرين اللذين في البسط على المقام. المقام هنا اثنان، وهو ما يعطينا ٠٫٣٥ على أربعة زائد ٠٫٥٥ على أربعة. بما أن المقام هنا هو نفسه، يمكننا جمع هذين الكسرين، وهو ما يعطينا ٠٫٩ على أربعة. بتبسيط الكسر، نصل إلى الحل، وهو أن تقدير قيمة المشتقة ﺩ عند ستة هو ٠٫٢٢٥.
والآن لنتناول كيفية تقدير قيمة المشتقة باستخدام تمثيل بياني. إذا كان لدينا دالة ﺩ ﺱ، كما هو واضح هنا، يمكننا تقدير قيمة مشتقة ﺩ عند نقطة ما ﺃ باستخدام حقيقة أن المشتقة هي دالة الميل. ويمكننا تقدير الميل عند أي نقطة على تمثيل بياني برسم خط مماس تقريبي عند هذه النقطة، ثم إيجاد ميل هذا المماس. إذن لإيجاد ميل ﺩ عند ﺃ، نرسم خط مماسًّا تقريبيًّا ثم نوجد ميل هذا المماس. وهذا الميل التقريبي لـ ﺩ عند ﺃ هو تقديرنا لقيمة المشتقة عند ﺃ.
لنر كيف يمكننا فعل ذلك في المثال التالي.
للتمثيل البياني المعطى، قدر ﺩ شرطة ثلاثة.
المطلوب منا هنا هو تقدير قيمة مشتقة ﺩ عند ثلاثة. ولدينا التمثيل البياني لـ ﺩ ﺱ. الطريقة البيانية لتقدير قيمة مشتقة تتم برسم خط مماس عند النقطة التي نحاول إيجاد قيمة المشتقة عندها ثم إيجاد ميل هذا المماس. إذا حددنا القيمة ثلاثة على المحور ﺱ ونظرنا إلى النقطة التي تقابلها على التمثيل البياني لـ ﺩ ﺱ، سنرى أن هناك مماسًّا مرسومًا عند هذه النقطة بالفعل. وبالتالي فما علينا فعله لتقدير قيمة مشتقة ﺩ عند ثلاثة هو إيجاد ميل هذا المماس. الطريقة الأكثر دقة لإيجاد ميل هذا المماس هي اختيار أبعد نقطتين على طرفي الخط المماس يمكننا قراءة إحداثياتهما بدقة.
نلاحظ أن لدينا نقطة عند خمسة، سبعة. ولدينا نقطة أخرى على الخط المماس عند واحد، سالب واحد. إذن، يمكننا استخدام هاتين النقطتين لإيجاد ميل هذا المماس. نستخدم حقيقة أن ميل خط ما يساوي التغير في ﺹ على التغير في ﺱ. والتغير في ﺹ للخط المماس الذي لدينا هو الفرق بين قيمتي الإحداثي ﺹ للنقطتين اللتين حددناهما. أي سبعة ناقص سالب واحد. والتغير في ﺱ هو الفرق بين قيمتي الإحداثي ﺱ للنقطتين نفسهما. أي خمسة ناقص واحد. والآن، لنتذكر أنه من المهم وضع الإحداثيات المتناظرة للنقطتين على الجانب نفسه. فالإحداثيان خمسة وسبعة يخصان النقطة خمسة، سبعة، وكلاهما على اليسار. بينما واحد وسالب واحد يخصان النقطة واحد، سالب واحد، وكلاهما على اليمين.
لا يهم ترتيب وضعنا لهاتين النقطتين ما دامت إحداثياتهما متسقة معًا. على سبيل المثال، هذا الكسر يساوي أيضًا سالب واحد ناقص سبعة على واحد ناقص خمسة؛ لأن سالب واحد وواحد يقعان على اليسار، وسبعة وخمسة يقعان على اليمين. يمكننا تبسيط هذا الكسر لنجد أن ميل الخط المماس يساوي ثمانية على أربعة، وهو ما يساوي بالطبع اثنين.
والآن، بعد أن وجدنا ميل الخط المماس، يمكننا استخدامه لتقدير ﺩ شرطة ثلاثة بما أن المشتقة هي دالة الميل. لقد أوجدنا ميل الخط المماس عند ثلاثة. هذا يعطينا الحل، وهو أن تقديرنا لقيمة مشتقة ﺩ عند ثلاثة هو اثنان. والسبب في أن هذا مجرد تقدير وليس إجابة دقيقة هو أننا لا نعرف مدى دقة الخط المماس المرسوم عند النقطة ثلاثة.
رأينا في هذا المثال السابق كيف يمكننا استخدام الخط المماس لإيجاد تقدير للميل وبالتالي إيجاد قيمة المشتقة عند نقطة. ولكن عادة لا يكون الخط المماس على التمثيل البياني معطى لدينا. لذا علينا رسم الخط المماس بأنفسنا، كما سنرى في المثال الأخير.
للتمثيل البياني المعطى، قدر ﺩ شرطة سالب ١٫٥.
المطلوب منا هنا هو تقدير قيمة مشتقة ﺩ عند سالب ١٫٥. ولدينا تمثيل بياني لـ ﺩ ﺱ. لتقدير قيمة هذه المشتقة باستخدام التمثيل البياني، سنستخدم حقيقة أن المشتقة هي دالة الميل. وبالتالي، عندما يطلب منا تقدير قيمة مشتقة ﺩ عند سالب ١٫٥، فهذا يعني أنه مطلوب منا أيضًا تقدير ميل ﺩ عند سالب ١٫٥. وإحدى طرق تقدير ميل ﺩ عند أي نقطة هي رسم خط مماس عند هذه النقطة وإيجاد ميل هذا المماس. وبما أن المطلوب منا هو تقدير قيمة المشتقة عند ﺱ يساوي سالب ١٫٥، فسنرسم خطًّا مماسًّا لـ ﺩ عند ﺱ يساوي سالب ١٫٥. يقع سالب ١٫٥ هنا على التمثيل البياني، ونستطيع أن نرى النقطة المناظرة له على ﺩ ﺱ.
والآن، نرسم خطًّا مماسًّا لـ ﺩ عند هذه النقطة. وهذا ما سيبدو عليه الخط المماس. والآن، نرى أن الخط المماس التقريبي في الواقع خط أفقي. ولهذا السبب، يمكننا القول إن ميل الخط المماس يجب أن يساوي صفرًا. وهذا لأن الميل يساوي التغير في ﺹ على التغير في ﺱ. ويمكننا ملاحظة أنه كلما أصبح ﺱ أكبر أو أصغر، تظل قيمة ﺹ لهذا الخط الأفقي كما هي. أي إنه لا يوجد تغير في ﺹ. وبالتالي، التغير في ﺹ على التغير في ﺱ سيساوي صفرًا. وهذا ينطبق على أي خط أفقي. والآن، بعد أن أوجدنا ميل الخط المماس، يمكننا استخدامه لتقدير قيمة المشتقة. يمكننا القول إن قيمة مشتقة ﺩ عند سالب ١٫٥ هي صفر تقريبًا.
لنر الآن المثال الأخير في هذا الفيديو.
للتمثيل البياني المعطى، قدر ﺩ شرطة ٠٫٥.
المطلوب منا هنا هو تقدير قيمة مشتقة ﺩ عند ٠٫٥. ومعطى لدينا التمثيل البياني للدالة ﺩ. وبما أن المشتقة هي دالة الميل، فعلينا ببساطة تقدير ميل ﺩ عند ٠٫٥. ويمكننا فعل ذلك برسم خط مماس لـ ﺩ عند ٠٫٥. ويمكننا إيجاد النقطة على ﺩ ﺱ، المناظرة للإحداثي ﺱ يساوي ٠٫٥. ثم يمكننا رسم خط مماس للتمثيل البياني عند هذه النقطة. نريد أن نرسم أطول مماس ممكن لنحصل على قيمة دقيقة لميله.
يمكننا النظر إلى نقطتي طرفي الخط المماس الذي رسمناه، وهما هنا وهنا. وإحداثيات هاتين النقطتين هما ٢٫٦، خمسة، وسالب خمسة، سالب خمسة. باستخدام حقيقة أن ميل الخط المستقيم يمكن إيجاده بحساب التغير في ﺹ على التغير في ﺱ، نجد أن ميل هذا المماس يساوي خمسة ناقص سالب خمسة على ٢٫٦ ناقص سالب خمسة، وهو ما يساوي ١٠ على ٧٫٦، أي ١٫٣١٦ لأقرب ثلاث منازل عشرية.
والآن، بعد أن أوجدنا تقديرًا لميل الخط المماس عند النقطة ٠٫٥، ﺩ ٠٫٥، يمكننا استخدام هذه النتيجة لتقدير قيمة مشتقة ﺩ عند ٠٫٥ بما أن المشتقة هي دالة الميل. نجد أن ﺩ شرطة ٠٫٥ تساوي تقريبًا ١٫٣١٦. والآن، الإجابة التي تحصل عليها لهذا السؤال قد تكون مختلفة، بما أنها تعتمد على كيفية رسمنا للخط المماس. ولهذا السبب يعد هذا مجرد تقدير لقيمة مشتقة ﺩ عند ٠٫٥، بما أنه من شبه المستحيل رسم الخط المماس المثالي عند هذه النقطة. ولذلك، سيظل تقديرنا لميل الخط المماس مختلفًا دائمًا عن القيمة الدقيقة للمشتقة بمقدار صغير. ومع ذلك، تقدير قيمة المشتقة باستخدام هذه الطريقة قد يكون مفيدًا نوعًا ما، حيث يمكننا الحصول على قيمة المشتقة بالتقريب دون أن نعرف معادلة ﺩ.
تناولنا عددًا من الأمثلة حول كيفية تقدير قيم مشتقات الدوال، عدديًّا وبيانيًّا. دعونا نلخص إذن بعض النقاط الرئيسية في الفيديو.
النقاط الرئيسية
يمكننا تقدير قيمة مشتقة دالة عند نقطة ما عدديًّا بإيجاد متوسط الميل على يسار ويمين النقطة التي نحاول تقدير قيمة المشتقة عندها. والصيغة هي ﺩ شرطة ﺃ تساوي تقريبًا ﺩ ﺃ ناقص ﺩ ﺏ على ﺃ ناقص ﺏ زائد ﺩ ﺟ ناقص ﺩ ﺃ على ﺟ ناقص ﺃ الكل مقسوم على اثنين، حيث ﺏ أقل من ﺃ وﺟ أكبر من ﺃ. يمكننا تقدير قيمة مشتقة دالة عند نقطة ما بيانيًّا برسم خط مماس تقريبي على التمثيل البياني عند هذه النقطة وإيجاد ميل هذا المماس.
