نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحل المعادلات المتعددة الخطوات. سنفعل ذلك باستخدام طريقة المعادلات المتكافئة وبمعرفتنا بالعمليات العكسية. سنبدأ بتعريف المعادلة المتعددة الخطوات، وسنسترجع كيف نحل المعادلات ذات الخطوة الواحدة. المعادلات المتعددة الخطوات معادلات جبرية تتطلب أكثر من عملية لحلها، مثل الجمع أو الطرح أو الضرب أو القسمة. من المهم معرفة ترتيب إجراء العمليات عند حل المعادلات المتعددة الخطوات. نبدأ دائمًا بفك الأقواس، ثم ننتقل إلى الأسس والجذور، وبعدها إلى الضرب والقسمة، وفي النهاية يأتي الجمع والطرح. علينا الالتزام بهذا الترتيب عند تبسيط أي مقدار. سيساعدنا ذلك في حل المعادلات المتعددة الخطوات بما أنها تتضمن تبسيط المقادير.
سنسترجع الآن كيفية حل المعادلات ذات الخطوة الواحدة. دعونا نتناول المعادلتين ﺱ زائد سبعة يساوي ١٩، وستة ﺱ يساوي ٣٠. لحل هاتين المعادلتين، علينا أن نتذكر العمليات العكسية، على سبيل المثال نتذكر الجمع والطرح، والضرب والقسمة. لاستخدام طريقة المعادلات المتكافئة، علينا أن نطبق العملية نفسها على طرفي المعادلة. في المثال الأول لدينا، علينا طرح سبعة. وهذا لأن طرح سبعة هو العملية المقابلة أو العكسية لجمع سبعة. يبسط الطرف الأيمن إلى ﺱ فقط. ١٩ ناقص سبعة يساوي ١٢. إذن الطرف الأيسر يساوي ١٢. حل المعادلة هو ﺱ يساوي ١٢. يمكننا التحقق من ذلك بالتعويض بالعدد ١٢ مرة أخرى في المعادلة الأصلية.
في المثال الثاني، لدينا ستة ﺱ يساوي ٣٠. علينا قسمة الطرفين على ستة. وهذا لأن القسمة هي العملية العكسية للضرب. ٣٠ مقسومًا على ستة يساوي خمسة. بناء على ذلك، حل هذه المعادلة ذات الخطوة الواحدة هو ﺱ يساوي خمسة. سنستخدم الآن هذه المعرفة بطريقة المعادلات المتكافئة لحل بعض المعادلات المتعددة الخطوات.
أنا أفكر في عدد ما. ضربت هذا العدد في ثلاثة ثم طرحت من الناتج خمسة. فأصبح الناتج النهائي ١٣. ما العدد الذي كنت أفكر فيه؟
إحدى طرق الإجابة عن هذا السؤال تكوين معادلة. نبدأ بافتراض أن العدد المجهول هو ﺱ. نعلم من السؤال أننا نضرب العدد في ثلاثة. نعبر عن ذلك بأن نكتب ثلاثة ﺱ. بعد ذلك، نطرح خمسة؛ وبذلك يصبح المقدار الذي لدينا ثلاثة ﺱ ناقص خمسة. بما أن الإجابة هي ١٣، يمكننا تحويل هذا المقدار إلى معادلة بمساواته بـ ١٣. بإمكاننا الآن إيجاد العدد بحل هذه المعادلة. ويمكننا فعل ذلك باستخدام طريقة المعادلات المتكافئة.
العملية العكسية لطرح خمسة؛ جمع خمسة. بجمع خمسة إلى طرفي المعادلة، نحصل على ثلاثة ﺱ يساوي ١٨ ؛ لأن سالب خمسة زائد خمسة يساوي صفرًا، و ١٣ زائد خمسة يساوي ١٨. الخطوة الأخيرة هي قسمة طرفي المعادلة الجديدة على ثلاثة؛ لأن القسمة هي العملية العكسية للضرب. ثلاثة ﺱ مقسومًا على ثلاثة يساوي ﺱ، و ١٨ على ثلاثة يساوي ستة. هذا يعني أن العدد الذي كنا نفكر فيه في البداية هو ستة. بإمكاننا أن نتحقق من هذه الإجابة بضرب ستة في ثلاثة ثم طرح خمسة. وبما أن ناتج هذا بالفعل هو ١٣، نعرف أن الإجابة صحيحة.
إحدى الطرق الأخرى التي كان بإمكاننا استخدامها في هذا السؤال هي العودة إلى الوراء وعكس العمليات. مرة أخرى، لدينا العدد المجهول ﺱ. نضربه في ثلاثة، ثم نطرح خمسة، فينتهي بنا الأمر إلى الناتج ١٣. يمكننا أن نعكس هذا بإجراء العمليات العكسية في الاتجاه الآخر. العملية العكسية أو المقابلة لطرح خمسة؛ جمع خمسة. والعملية العكسية للضرب في ثلاثة هي القسمة على ثلاثة. ١٣ زائد خمسة يساوي ١٨. وبالقسمة على ثلاثة، الناتج يساوي ستة. أثبتنا مرة أخرى أن العدد الأصلي كان ستة.
السؤال الثاني الذي سنتناوله سيكون مسألة كلامية.
تصدر شركة للمياه فواتير عملائها باستخدام القاعدة ﻙ يساوي ١٠ زائد أربعة ﻡ؛ حيث ﻙ هو التكلفة بالجنيه المصري، وﻡ هو عدد الأمتار المكعبة المستهلكة من المياه، و١٠ هو قيمة الرسوم الثابتة. أصدرت الشركة فاتورة بمبلغ ٢٦٢ جنيهًا مصريًّا. كم مترًا مكعبًا من المياه قد استهلك؟
نعلم من السؤال أن القاعدة أو المعادلة هي ﻙ يساوي ١٠ زائد أربعة ﻡ. نعلم أيضًا أن التكلفة ﻙ تساوي ٢٦٢ جنيهًا مصريًّا. هذا يعني أن بإمكاننا إعادة كتابة المعادلة على الصورة: ٢٦٢ يساوي ١٠ زائد أربعة ﻡ. يمكن حل هذه المعادلة باستخدام طريقة المعادلات المتكافئة. نبدأ بطرح ١٠ من طرفي المعادلة؛ لأن طرح ١٠ هو العملية العكسية لجمع ١٠. ٢٦٢ ناقص ١٠ يساوي ٢٥٢، وهو ما يساوي أربعة ﻡ. الخطوة الثانية والأخيرة هي قسمة طرفي هذه المعادلة على أربعة. ٢٥٢ مقسومًا على أربعة يساوي ٦٣. وأربعة ﻡ مقسومًا على أربعة يساوي ﻡ.
يمكننا قسمة ٢٥٢ على أربعة بأنفسنا. اثنان لا تقبل القسمة على أربعة؛ لذا ننقل الاثنين إلى خانة العشرات. ٢٥ مقسومًا على أربعة يساوي ستة والباقي واحد. لذا ننقل الواحد إلى خانة الآحاد. وأخيرًا: ١٢ على أربعة يساوي ثلاثة؛ وبناء عليه، فإن ٢٥٢ مقسومًا على أربعة يساوي ٦٣. إذن نستنتج أن ٦٣ مترًا مكعبًا من المياه قد استهلكت.
أوجد حل ثمانية ﻙ ناقص ثلاثة ناقص اثنين ﻙ يساوي ٢١.
لحل هذه المعادلة، علينا أولًا تجميع الحدود المتشابهة. ثمانية ﻙ ناقص اثنين ﻙ يساوي ستة ﻙ؛ إذن تصبح المعادلة ستة ﻙ ناقص ثلاثة يساوي ٢١. بدءًا من هذه الخطوة، يمكننا استخدام طريقة المعادلات المتكافئة. نبدأ بجمع ثلاثة إلى طرفي المعادلة. بهذا نحصل على ستة ﻙ يساوي ٢٤. الخطوة الأخيرة قسمة طرفي المعادلة على ستة. ستة ﻙ على ستة يساوي ﻙ، و٢٤ على ستة يساوي أربعة.
إذن حل المعادلة ثمانية ﻙ ناقص ثلاثة ناقص اثنين ﻙ يساوي ٢١ هو ﻙ يساوي أربعة. بإمكاننا التحقق من هذه الإجابة بالتعويض بأربعة مرة أخرى في المعادلة الأصلية.
سنتناول الآن شكلين مختلفين من هذا النوع من الأسئلة.
أوجد حل ستة ﺱ ناقص خمسة يساوي اثنين ﺱ زائد ١١.
في هذا السؤال، لدينا المجهول ﺱ في طرفي المعادلة. لحل معادلة من هذا النوع، علينا أن نجعل حدود ﺱ كلها في أحد جانبي علامة يساوي، والثوابت كلها في الجانب الآخر. نفعل هذا أولًا بطرح اثنين ﺱ من طرفي المعادلة. ثم نجمع خمسة إلى طرفي المعادلة. في الطرف الأيمن، ستة ﺱ ناقص اثنين ﺱ يساوي أربعة ﺱ. وسالب خمسة زائد خمسة يساوي صفرًا. في الطرف الأيسر، اثنان ﺱ ناقص اثنين ﺱ يساوي صفرًا، و١١ زائد خمسة يساوي ١٦. تبسط المعادلة إلى أربعة ﺱ يساوي ١٦.
الخطوة الأخيرة هي قسمة طرفي هذه المعادلة على أربعة؛ لأن القسمة على أربعة هي العملية العكسية للضرب في أربعة. إذن حل المعادلة ستة ﺱ ناقص خمسة يساوي اثنين ﺱ زائد ١١ هو ﺱ يساوي أربعة. يمكننا التعويض بهذه القيمة مرة أخرى في طرفي المعادلة للتحقق من صحة إجابتنا. في الطرف الأيمن، سيكون لدينا ستة في أربعة ناقص خمسة. هذا يساوي ١٩. في الطرف الأيسر، سيكون لدينا اثنان في أربعة زائد ١١. وبما أن هذا يساوي ١٩ أيضًا، فإن إجابتنا صحيحة.
أوجد حل ١٢ ناقص ثلاثة ﺱ يساوي ستة.
هذا السؤال به معامل سالب لـ ﺱ. إحدى طرق حل هذا السؤال جعل معامل ﺱ موجبًا. يمكننا فعل ذلك بجمع ثلاثة ﺱ إلى الطرفين. يبسط الطرف الأيمن إلى ١٢، والطرف الأيسر إلى ستة زائد ثلاثة ﺱ. بعد ذلك، نطرح ستة من طرفي هذه المعادلة الجديدة. ١٢ ناقص ستة يساوي ستة؛ وبذلك يصبح لدينا ستة يساوي ثلاثة ﺱ. بقسمة طرفي هذه المعادلة على ثلاثة، نحصل على اثنين يساوي ﺱ. على الرغم من أن هذه الإجابة صحيحة، فإننا عادة ما نعيد كتابتها لتكون ﺱ يساوي اثنين؛ بحيث يكون المجهول في الطرف الأيمن.
السؤال الآتي الذي سنتناوله هو مثال تطبيقي آخر.
أوجد قيمة ﺃ بمعلومية المعطيات الآتية: ﺹ تقع بين ﺱ وﻉ على القطعة المستقيمة التي تصل بينهما. ﺱﺹ يساوي ٢٤ سنتيمترًا، وﺹﻉ يساوي ثمانية ﺃ سنتيمتر، وﺱﻉ يساوي ٨٨ سنتيمترًا.
نبدأ إجابة هذا السؤال برسم القطعة المستقيمة ﺱﻉ التي تقع عليها ﺹ. نعلم من المعطيات أن ﺱﺹ يساوي ٢٤ سنتيمترًا، وﺹﻉ يساوي ثمانية ﺃ سنتيمتر، وطول القطعة المستقيمة ﺱﻉ كلها يساوي ٨٨ سنتيمترًا. طول ﺱﺹ زائد طول ﺹﻉ يساوي المسافة الكلية من ﺱ إلى ﻉ. بما أن قياساتنا كلها بالسنتيمتر، يمكننا التعبير عن ذلك في شكل معادلة. ٢٤ زائد ثمانية ﺃ يساوي ٨٨. بإمكاننا بعد ذلك حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺃ. نبدأ بطرح ٢٤ من الطرفين. بما أن ٨٨ ناقص ٢٤ يساوي ٦٤، يصبح لدينا ثمانية ﺃ يساوي ٦٤. بعد ذلك، نقسم طرفي المعادلة الجديدة على ثمانية. وبذلك نجد أن قيمة ﺃ تساوي ثمانية.
يمكننا التحقق من ذلك بالتعويض بهذه القيمة مرة أخرى. من الرسم، نلاحظ أن ثمانية ﺃ يساوي ٦٤. هذا يعني أن طول القطعة المستقيمة من ﺹ إلى ﻉ يساوي ٦٤ سنتيمترًا. بما أن ٢٤ سنتيمترًا زائد ٦٤ سنتيمترًا يساوي ٨٨ سنتيمترًا، فإجابتنا صحيحة.
يتضمن السؤال الأخير في هذا الفيديو حل معادلة متعددة الخطوات أكثر تعقيدًا.
ما قيمة ﺱ التي تحقق المعادلة ﺱ زائد واحد على اثنين ناقص ﺱ ناقص واحد على ثلاثة يساوي ﺱ؟
لحل هذه المعادلة، علينا أولًا أن نتناول الطرف الأيمن. لجمع أي كسور أو طرحها، علينا توحيد المقامات أولًا. نفعل هذا بإيجاد المضاعف المشترك الأصغر. وفي هذه الحالة، سيكون ستة. علينا ضرب بسط الكسر الأول ومقامه في ثلاثة، وضرب بسط الكسر الثاني ومقامه في اثنين. يصبح الكسر الأول ثلاثة في ﺱ زائد واحد على ستة. ويصبح الكسر الثاني، وهو الكسر المطروح، اثنين في ﺱ ناقص واحد على ستة. هذا كله يساوي ﺱ. والآن بما أن المقامين موحدان، بإمكاننا ضم الطرف الأيمن في كسر واحد.
خطوتنا التالية هي توزيع الأقواس، أو ما يعرف بفك الأقواس. ثلاثة في ﺱ يساوي ثلاثة ﺱ. وثلاثة في واحد يساوي ثلاثة. سالب اثنين في ﺱ يساوي سالب اثنين ﺱ. وسالب اثنين في سالب واحد يساوي موجب اثنين. تذكر أنه عند ضرب عدد سالب في آخر سالب، يكون الناتج عددًا موجبًا. تبسط المعادلة إلى ثلاثة ﺱ زائد ثلاثة ناقص اثنين ﺱ زائد اثنين على ستة يساوي ﺱ. يمكننا الآن تبسيط البسط بتجميع الحدود المتشابهة. ثلاثة ﺱ ناقص اثنين ﺱ يساوي ﺱ، وثلاثة زائد اثنين يساوي خمسة. يصبح لدينا ﺱ زائد خمسة على ستة يساوي ﺱ.
يمكننا الآن حل هذه المعادلة باستخدام طريقة المعادلات المتكافئة. نبدأ بضرب الطرفين في ستة. هذا يعطينا ﺱ زائد خمسة يساوي ستة ﺱ. بما أن معامل ﺱ في الطرف الأيمن أكبر، فإننا نطرح ﺱ من الطرفين. هذا يعطينا خمسة يساوي خمسة ﺱ. أخيرًا: نقسم طرفي هذه المعادلة على خمسة. القيمة التي تحل المعادلة هي ﺱ يساوي واحدًا. يمكننا التحقق من هذا بالتعويض بهذه القيمة مرة أخرى في المعادلة الأصلية.
سنلخص الآن النقاط الرئيسية في هذا الفيديو. المعادلة المتعددة الخطوات يمكن حلها باستخدام طريقة المعادلات المتكافئة وبمعرفتنا بالعمليات العكسية. على سبيل المثال، الجمع والطرح، والضرب والقسمة؛ عمليات عكسية. إذا جمعنا المقدار نفسه إلى طرفي المعادلة أو طرحناه منهما أو ضربناه فيهما أو قسمنا طرفي المعادلة عليه، يظل التساوي صحيحًا. المعادلة البسيطة المتعددة الخطوات يمكن حلها بالعودة إلى الوراء وعكس جميع العمليات للحصول على القيمة المجهولة. هذا يعني أن نعكس العمليات عكس ترتيبها الذي ينبغي أن تجرى وفقًا له.
