نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد قوة نقطة بالنسبة إلى دائرة، وكيف نستخدم قوة النقطة لإيجاد أطوال هندسية أخرى. قوة النقطة هي عدد يقيس العلاقة الهندسية بين نقطة ودائرة. ونعرف قوة النقطة كما يلي. إذا كانت لدينا دائرة نصف قطرها نق، ومركزها ﻡ وبها النقطة ﺃ، فإن قوة النقطة ﺃ بالنسبة إلى الدائرة ﻡ، ونرمز إليها بـ ﻕﻡﺃ، تعطى بالعلاقة ﻕﻡﺃ يساوي ﺃﻡ تربيع ناقص نق تربيع. لنتناول الآن مثالًا على كيفية استخدام تعريف قوة النقطة لإيجاد قوة نقطة بالنسبة إلى دائرة معطاة.
دائرة مركزها ﻡ، ونصف قطرها نق يساوي ٢١. أوجد قوة النقطة ﺃ بالنسبة إلى الدائرة علمًا بأن ﺃﻡ يساوي ٢٥.
للإجابة عن هذا السؤال، سنحتاج إلى تعريف قوة النقطة. لدينا قوة النقطة ﺃ بالنسبة إلى الدائرة ﻡ أو ﻕﻡﺃ يساوي ﺃﻡ تربيع ناقص نق تربيع. وفي هذا السؤال، لدينا ﺃﻡ يساوي ٢٥. ولدينا أيضًا نق يساوي ٢١. علينا إذن التعويض بهاتين القيمتين في صيغة قوة النقطة ﺃ. لدينا ﻕﻡﺃ يساوي ٢٥ تربيع ناقص ٢١ تربيع.
٢٥ تربيع يساوي ٦٢٥، و٢١ تربيع يساوي ٤٤١. والفرق بين هذين العددين يساوي ١٨٤. بذلك نكون قد توصلنا إلى الحل، وهو أن قوة النقطة ﺃ بالنسبة إلى الدائرة ﻡ تساوي ١٨٤. في هذا المثال، قوة النقطة ﺃ بالنسبة إلى الدائرة ﻡ موجبة؛ وذلك لأن ﺃﻡ أكبر من نصف القطر نق. وهذا في الواقع يوضح لنا أن النقطة ﺃ تقع خارج الدائرة.
هناك حالتان أخريان سنتطرق إليهما فيما يخص موضع النقطة ﺃ بالنسبة إلى الدائرة ﻡ. لدينا هنا الحالة الأولى، حيث تقع النقطة ﺃ خارج الدائرة، وهذا يشبه كثيرًا المثال السابق. نلاحظ أن طول ﺃﻡ أكبر من طول نق؛ ومن ثم، فإن ﺃﻡ تربيع أكبر من نق تربيع. وبطرح نق تربيع من طرفي المعادلة، نجد أن ﺃﻡ تربيع ناقص نق تربيع أكبر من صفر. وبذلك، يصبح الطرف الأيمن من هذه المتباينة يساوي قوة النقطة ﺃ بالنسبة إلى الدائرة ﻡ. ومن ثم، فإن ﻕﻡﺃ أكبر من صفر، وهذا يعني أن قيمته موجبة.
الحالة الثانية هي عندما تقع النقطة ﺃ على الدائرة. كما نلاحظ في الشكل، ﺃﻡ يساوي طول نصف القطر. ومن ثم، فإن ﺃﻡ يساوي نق. وبتطبيق خطوات مشابهة لتلك المتبعة في الحالة الأولى، نحصل على ﺃﻡ تربيع يساوي نق تربيع وﺃﻡ تربيع ناقص نق تربيع يساوي صفرًا. وهكذا، عندما تقع النقطة ﺃ على محيط الدائرة، فإن قوة النقطة ﺃ بالنسبة إلى الدائرة ﻡ تساوي صفرًا. الحالة الثالثة هي عندما تقع النقطة ﺃ داخل الدائرة. ومن ثم، فإن ﺃﻡ يكون أقل من نق. وبتطبيق خطوات مشابهة لتلك المتبعة في الحالتين السابقتين، نجد أن ﺃﻡ تربيع ناقص نق تربيع أقل من صفر. إذن، عندما تقع النقطة ﺃ داخل الدائرة، فإن قوة النقطة تكون سالبة. هيا نتناول مثالًا عن كيفية استخدام ذلك لإيجاد موضع نقطة بالنسبة إلى دائرة.
أوجد موضع النقطة ﺃ بالنسبة للدائرة ﻥ، إذا كانت ﻕﻥﺃ تساوي ٨١٤.
نعلم أن قوة النقطة ﺃ بالنسبة للدائرة ﻥ تساوي ﺃﻥ تربيع ناقص نق تربيع. وعلمنا أن هذه القيمة تساوي ٨١٤؛ أي إنها أكبر من صفر. إذن، يجب أن تكون قيمة ﻕﻥﺃ موجبة. وبناء عليه، فإن قيمة ﺃﻥ تربيع ناقص نق تربيع موجبة أيضًا. بإضافة نق تربيع إلى طرفي المتباينة، نحصل على ﺃﻥ تربيع أكبر من نق تربيع. وبما أن ﺃﻥ ونق طولان، فإننا نعرف أنه يجب أن يكون كلاهما أكبر من صفر. ومن ثم، عند حساب الجذر التربيعي لطرفي المتباينة، فلن نحصل على أي قيم سالبة، وسنحصل على ﺃﻥ أكبر من نق. وبما أن الطول من مركز الدائرة إلى النقطة ﺃ أو ﺃﻥ أكبر من نصف قطر الدائرة؛ فهذا يوضح لنا الحل، وهو أن النقطة ﺃ تقع خارج الدائرة.
لنتناول الآن بعض التطبيقات الهندسية الأخرى لقوة النقطة. سنبدأ بالتفكير في العلاقة بين قوة النقطة وطول المماس. في هذا الشكل، نلاحظ أن لدينا دائرة مركزها ﻡ، والنقطة ﺏ التي تقع على محيط الدائرة، والنقطة ﺃ حيث ﺃﺏ مماس للدائرة. بما أننا عرفنا ﺃﺏ كمماس للدائرة، فإننا نعلم أن قياس الزاوية ﻡﺏﺃ لا بد أن يساوي ٩٠ درجة. ولذلك، فإن المثلث ﻡﺏﺃ مثلث قائم الزاوية. يعني هذا أنه يمكننا تطبيق نظرية فيثاغورس. وهي تنص على أن مربع الوتر، أي ﺃﻡ تربيع، يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين، أي ﺃﺏ تربيع زائد نق تربيع.
بإعادة ترتيب هذه المعادلة، نحصل على ﺃﻡ تربيع ناقص نق تربيع يساوي ﺃﺏ تربيع. وهكذا يصبح الطرف الأيمن من هذه المعادلة يساوي قوة النقطة ﺃ بالنسبة إلى الدائرة ﻡ. إذن، يمكننا القول إن ﻕﻡﺃ يساوي ﺃﺏ تربيع. وهذا يقودنا إلى تعريف آخر لقوة النقطة وطول المماس. نفترض أن لدينا الدائرة ﻡ، والنقطة ﺃ تقع خارجها. وﺃﺏ مماس للدائرة. إذن، ﻕﻡﺃ يساوي ﺃﺏ تربيع. بعد ذلك، سنتناول دائرة تحتوي على قاطع ومماس. ستساعدنا هذه الخاصية التي تربط بين طول المماس وقوة النقطة في التوصل إلى البرهان.
لدينا هنا دائرة، حيث ﺃﺏ مماس لها، وﺃﺟﺩ قاطع، وﺏﺟ وﺏﺩ وتران داخل الدائرة. سنفترض أن المثلث ﺃﺏﺟ يشبه المثلث ﺃﺏﺩ. وسنحاول إثبات هذا الافتراض. نلاحظ في البداية أن الزاوية ﺏﺃﺟ زاوية مشتركة في كلا المثلثين. ومن ثم، علينا فقط إثبات أن المثلثين يشتركان في زوج آخر من الزوايا المتساوية في القياس. سنشير إلى قياس القوس ﺏﺟ بـ 𝜃. ومن ثم، فإن هذه الزاوية المركزية المقابلة لهذا القوس تساوي أيضًا 𝜃. نحن نعلم أن قياس الزاوية المحيطية المقابلة لقوس يساوي نصف قياس الزاوية المركزية المقابلة للقوس نفسه.
يمكننا إذن القول إن قياس الزاوية ﺏﺩﺟ يساوي نصف 𝜃. ونعلم أيضًا أن قياس الزاوية المحصورة بين المماس والوتر يساوي نصف قياس القوس المقابل للوتر. ومن ثم، فإن قياس الزاوية ﺃﺏﺟ يساوي نصف 𝜃 أيضًا. بذلك نكون قد أوجدنا زوجين من الزوايا المتساوية داخل المثلثين، وهو ما يثبت صحة افتراضنا أن المثلثين متشابهان. وباستخدام تشابه هذين المثلثين، يمكننا تكوين علاقة بين أطوال الأضلاع المتناظرة. ﺃﺏ على ﺃﺩ يساوي ﺃﺟ على ﺃﺏ. وبإجراء ضرب تبادلي، نحصل على ﺃﺏ تربيع يساوي ﺃﺟ مضروبًا في ﺃﺩ.
نعلم أن ﺃﺏ مماس للدائرة. كما نعلم أنه عندما يكون ﺃﺏ مماسًّا، فإن قوة النقطة ﺃ بالنسبة إلى الدائرة ﻡ تساوي ﺃﺏ تربيع. بمساواة هذا التعريف بالمعادلة التي توصلنا إليها للتو، يمكننا القول إن ﻕﻡﺃ يساوي ﺃﺟ مضروبًا في ﺃﺩ. نتناول الآن تعريفًا آخر، وهو تعريف قوة النقطة وطول القاطع. نفترض أن لدينا الدائرة ﻡ، والنقطة ﺃ تقع خارجها. وﺃﺟﺩ قاطع للدائرة. إذن، ﻕﻡﺃ يساوي ﺃﺟ في ﺃﺩ. عندما تقع النقطة ﺃ خارج الدائرة، فإن قوة النقطة ﺃ بالنسبة إلى الدائرة تكون علاقة مع كل من مماس الدائرة وقاطعها.
وبناء على ذلك، يمكننا تكوين علاقة بين المماس والقاطع، عندما يمر كل منهما بالنقطة نفسها. ويعرف هذا بنظرية قوة النقطة. تتكون نظرية قوة النقطة من ثلاثة أجزاء مختلفة، ترتبط جميعها بقوة النقطة. لنبدأ بتناول نظرية قوة النقطة التي تربط مماسًّا وقاطعًا في الدائرة. نفترض أن لدينا الدائرة ﻡ والنقطة ﺃ تقع خارجها. وﺃﺏ مماس للدائرة، وﺃﺟﺩ قاطع لها. إذن، يمكننا القول إن ﺃﺏ تربيع يساوي ﺃﺟ مضروبًا في ﺃﺩ. دعونا الآن نتناول مثالًا نستخدم فيه هذه النظرية لإيجاد طول ضلع مجهول يتضمن مماسًّا وقاطعًا للدائرة.
دائرة لها المماس ﺃﺏ والقاطع ﺃﺩ الذي يقطع الدائرة عند ﺟ. إذا كان ﺃﺏ يساوي سبعة سنتيمترات، وﺃﺟ يساوي خمسة سنتيمترات، فأوجد طول ﺟﺩ. قرب إجابتك لأقرب جزء من مائة.
أول شيء نلاحظه في هذا السؤال هو أنه يطلب المماس والقاطع اللذين يمران بالنقطة ﺃ. ومن ثم، يمكننا استخدام نظرية قوة النقطة للمماس والقاطع. تنص هذه النظرية على أنه إذا كان لدينا المماس ﺃﺏ والقاطع ﺃﺟﺩ، كما هو الحال في هذا المثال، فإن ﺃﺏ تربيع يساوي ﺃﺟ مضروبًا في ﺃﺩ. علمنا من السؤال أن ﺃﺏ يساوي سبعة سنتيمترات، وﺃﺟ يساوي خمسة سنتيمترات. بالتعويض بهاتين القيمتين في الصيغة، نحصل على سبعة تربيع يساوي خمسة مضروبًا في ﺃﺩ.
بإعادة ترتيب المعادلة، يصبح لدينا ﺃﺩ يساوي سبعة تربيع على خمسة، أو ٤٩ على خمسة. وبكتابة هذا الكسر على صورة عدد، نجد أن طول ﺃﺩ يساوي ٩٫٨ سنتيمترات. لقد حصلنا على قيمة ﺃﺩ، لكننا لم نتوصل إلى الحل المطلوب بعد؛ لأن السؤال يطلب منا إيجاد طول ﺟﺩ. يمكننا استخدام حقيقة أن القاطع ﺃﺟﺩ هو قطعة مستقيمة. ومن ثم، فإن ﺃﺩ يساوي ﺃﺟ زائد ﺟﺩ. أوجدنا للتو طول ﺃﺩ، ولدينا طول ﺃﺟ معطى في السؤال. إذن ٩٫٨ يساوي خمسة زائد ﺟﺩ. بإعادة ترتيب المعادلة، نحصل على ﺟﺩ يساوي ٤٫٨. يجب ألا ننسى أنه مطلوب منا في السؤال تقريب الإجابة لأقرب جزء من مائة، وكتابتها بوحدة السنتيمتر. وعليه، فإن الحل هو ﺟﺩ يساوي ٤٫٨٠ سنتيمترات.
لقد عرفنا كيف يمكننا حل مسألة تتضمن مماسًّا وقاطعًا. بعد ذلك، سنتناول مثالًا يوضح ما يحدث عندما يكون لدينا قاطعان. لدينا هنا دائرة تحتوي على قاطعين، وهما ﺃﺏﺟ وﺃﺩﻫ. تنص الخاصية العامة لقوة النقطة للقواطع على أنه بالنسبة للقاطع ﺃﺟﺩ، فإن ﻕﻡﺃ يساوي ﺃﺟ في ﺃﺩ. في هذا الشكل، لدينا القاطعان ﺃﺏﺟ وﺃﺩﻫ. إذن، بتطبيق هذه الخاصية على القاطعين، نجد أن ﻕﻡﺃ يساوي ﺃﺏ في ﺃﺟ، وﻕﻡﺃ يساوي ﺃﺩ في ﺃﻫ. وبمساواة الطرف الأيسر في كل من هاتين المعادلتين، نتوصل إلى نظرية قوة النقطة للقاطع.
نفترض أن لدينا الدائرة ﻡ، والنقطة ﺃ تقع خارجها. وﺃﺏﺟ وﺃﺩﻫ قاطعان للدائرة. إذن، ﺃﺏ في ﺃﺟ يساوي ﺃﺩ في ﺃﻫ. سنتناول الآن مثالًا على كيفية استخدام هذه النظرية.
دائرة فيها القاطعان ﺃﺏ وﺃﺩ، تقاطعا عند ﺃ. إذا كان ﺃﻫ يساوي ثلاثة سنتيمترات، وﻫﺩ يساوي خمسة سنتيمترات، وﺃﺏ يساوي تسعة سنتيمترات، فأوجد طول ﺏﺟ، لأقرب جزء من عشرة.
في البداية، نلاحظ أن هناك قاطعين في الدائرة يتقاطعان خارجها عند النقطة ﺃ. وتنص نظرية قوة النقطة على أن ﺃﺟ في ﺃﺏ يساوي ﺃﻫ في ﺃﺩ. لدينا في السؤال أطوال ﺃﻫ وﻫﺩ وﺃﺏ. وبما أن ﺃﻫﺩ قطعة مستقيمة، فإن ﺃﺩ يساوي ﺃﻫ زائد ﻫﺩ. يمكننا التعويض بالقيمتين ثم التبسيط، لنجد أن ﺃﺩ يساوي ثمانية سنتيمترات. والآن، يمكننا التعويض بقيم ﺃﺏ وﺃﻫ وﺃﺩ في المعادلة المترتبة على نظرية قوة النقطة. بعد ذلك، نقسم كلا الطرفين على تسعة ونحذف العامل ثلاثة. وهذا يعطينا ﺃﺟ يساوي ثمانية على ثلاثة سنتيمتر.
لإيجاد طول ﺏﺟ، يمكننا استخدام حقيقة أن ﺃﺟﺏ قطعة مستقيمة لكي نستنتج أن ﺃﺏ يساوي ﺃﺟ زائد ﺏﺟ. إذن، تسعة يساوي ثمانية على ثلاثة زائد ﺏﺟ. وبإعادة الترتيب ثم التبسيط، نجد أن ﺏﺟ يساوي ١٩ على ثلاثة سنتيمترات. بتقريب هذا الناتج لأقرب جزء من عشرة، نحصل على الحل، وهو ﺏﺟ يساوي ٦٫٣ سنتيمترات.
في الجزء الأخير من نظرية قوة النقطة، سنتناول دائرة تحتوي على وترين. لنبدأ بافتراض أن أحد هذين الوترين هو في الواقع قطر. لدينا هنا الوتر ﺏﺟ يتقاطع مع القطر ﺩﻫ. وسنفترض أن المثلث ﺃﺏﺩ يشبه المثلث ﺃﺟﻫ. نلاحظ على الفور أن الزاويتين ﺟﺃﻫ وﺩﺃﺏ متقابلتان. ومن ثم، فهما متساويتان في القياس. ولإثبات التشابه بين المثلثين، علينا فقط إثبات أن هناك زاويتين أخريين في المثلثين متساويتين في القياس. إذا نظرنا إلى القوس ﺩﺟ، فسنجد أن الزاويتين ﺩﺏﺟ وﺩﻫﺟ محاطتان بهذا القوس. ومن ثم، فهما متساويتان في القياس. وهكذا، نكون قد أثبتنا افتراضنا بأن هذين المثلثين متشابهان.
باستخدام هذا التشابه، يمكننا تكوين علاقة بين أطوال الأضلاع المتناظرة. ﺃﺏ على ﺩﺃ يساوي ﺃﻫ على ﺃﺟ. وبإجراء ضرب تبادلي، نحصل على ﺃﺏ في ﺃﺟ يساوي ﺃﻫ في ﺩﺃ. يمكننا الآن ربط هذه المعادلة بقوة النقطة. بما أن النقطة تقع داخل الدائرة، نعلم أن قوة النقطة ستكون سالبة. إذن، للاحتفاظ بالقيم موجبة، سنضرب طرفي هذه المعادلة في سالب واحد. يمكننا الآن تحليل الطرف الأيسر من المعادلة. نلاحظ من الشكل أن ﺩﻡ يساوي نق. كما نلاحظ أيضًا أن ﺩﺃ يساوي ﺩﻡ ناقص ﺃﻡ، وهو ما يساوي أيضًا نق ناقص ﺃﻡ. وبالمثل، فإن ﻡﻫ يساوي نق. وﺃﻫ يساوي ﻡﻫ زائد ﺃﻡ، وهو ما يساوي أيضًا نق زائد ﺃﻡ.
وبما أن ﺩﺃ يساوي نق ناقص ﺃﻡ، وﺃﻫ يساوي نق زائد ﺃﻡ، فيمكننا القول إن سالب ﻕﻡﺃ يساوي ﺩﺃ في ﺃﻫ. ومن ثم، يمكننا ربط قوة النقطة بالوتر ﺏﺃﺟ. يمكننا القول إنه عندما تقع النقطة ﺃ داخل الدائرة، فإن سالب ﻕﻡﺃ يساوي ﺃﺏ في ﺃﺟ. لنتناول الآن دائرة تحتوي على وترين. لدينا هنا الوتران ﺏﺃﺟ وﺩﺃﻫ. بالنسبة للوتر ﺏﺃﺟ، يمكننا القول إن سالب ﻕﻡﺃ يساوي ﺃﺏ في ﺃﺟ. وبالنسبة للوتر ﺩﺃﻫ، يمكننا القول إن سالب ﻕﻡﺃ يساوي ﺃﺩ في ﺃﻫ. بمساواة هاتين المعادلتين، نتوصل إلى نظرية قوة النقطة الثالثة.
نفترض أن لدينا الدائرة ﻡ، والنقطة ﺃ تقع داخلها. وﺏﺃﺟ وﺩﺃﻫ وتران في الدائرة. إذن، ﺃﺏ في ﺃﺟ يساوي ﺃﺩ في ﺃﻫ. لنتناول الآن مثالًا يوضح كيفية استخدام هذه النظرية.
دائرة فيها وتران، ﺃﺟ وﺏﺩ، يتقاطعان عند ﻫ. إذا كان ﺃﻫ إلى ﺏﻫ يساوي واحدًا إلى ثلاثة وﺟﻫ يساوي ستة سنتيمترات، فأوجد طول ﺩﻫ.
تنص نظرية قوة النقطة لوترين على أن ﺃﻫ في ﺟﻫ يساوي ﺩﻫ في ﺏﻫ. وعلمنا أن ﺟﻫ يساوي ستة، وﺃﻫ إلى ﺏﻫ يساوي واحدًا إلى ثلاثة. إذا افترضنا أن ﺃﻫ يساوي ﺱ سنتيمتر، فيمكننا القول إن ﺏﻫ يساوي ثلاثة ﺱ سنتيمتر. والآن، يمكننا التعويض بالقيم لدينا في الصيغة. لدينا ﺱ في ستة يساوي ﺩﻫ في ثلاثة ﺱ. وبإعادة ترتيب المعادلة لإيجاد قيمة ﺩﻫ، نجد أن ﺩﻫ يساوي سنتيمترين.
لقد تناولنا مجموعة متنوعة من الأمثلة. دعونا الآن نلخص بعض النقاط الرئيسية في الفيديو.
النقاط الرئيسية
إذا كانت لدينا دائرة نصف قطرها نق، ومركزها ﻡ وبها النقطة ﺃ، فإن قوة النقطة ﺃ بالنسبة إلى الدائرة تعطى بالعلاقة ﻕﻡﺃ يساوي ﺃﻡ تربيع ناقص نق تربيع. إذا كان ﻕﻡﺃ أكبر من صفر، فإن النقطة ﺃ تقع خارج الدائرة. وإذا كان ﻕﻡﺃ يساوي صفرًا، فإن النقطة ﺃ تقع على الدائرة. وإذا كان ﻕﻡﺃ أقل من صفر، فإن النقطة ﺃ تقع داخل الدائرة. تتكون نظرية قوة النقطة من ثلاثة أجزاء. إذا كان لدينا مماس وقاطع، فإن ﺃﺏ تربيع يساوي ﺃﺟ في ﺃﺩ. وإذا كان لدينا قاطعان، فإن ﺃﺏ في ﺃﺟ يساوي ﺃﺩ في ﺃﻫ. وأخيرًا، إذا كان لدينا وتران، فإن ﺃﺏ في ﺃﺟ يساوي ﺃﺩ في ﺃﻫ.
