فيديو السؤال: إيجاد أقصى ارتفاع تصل إليه كرة سقطت رأسيًّا بعد ارتدادها عن الأرض الرياضيات

سقطت كرة كتلتها ١٠٠ جم رأسيًّا من ارتفاع ٧ م على قطعة أرض أفقية. اصطدمت الكرة بالأرض وارتدت ارتدادًا رأسيًّا لأعلى. كان الفقد في طاقة حركتها بفعل التصادم مع الأرض ١٥٦٨ جول. أوجد أقصى ارتفاع وصلت إليه الكرة بعد الارتداد الأول. عجلة الجاذبية الأرضية ﺩ = ٩٫٨ م‏/‏ث^٢.

٠٦:١٣

‏نسخة الفيديو النصية

سقطت كرة كتلتها ١٠٠ جرام رأسيًّا من ارتفاع ٧ أمتار على قطعة أرض أفقية. اصطدمت الكرة بالأرض وارتدت ارتدادًا رأسيًّا لأعلى. كان الفقد في طاقة حركتها بفعل التصادم‎‎ مع الأرض ١٫٥٦٨ جول. أوجد أقصى ارتفاع وصلت إليه الكرة بعد الارتداد الأول. عجلة الجاذبية الأرضية ﺩ تساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة.

في هذا السؤال، علينا التفكير في طاقة حركة الكرة. نحن نعلم أن طاقة الحركة تساوي نصف ﻙﻉ تربيع؛ حيث ﻙ الكتلة وﻉ السرعة المتجهة أو السرعة. عندما تقاس الكتلة بالكيلوجرام والسرعة المتجهة بالمتر لكل ثانية، فإن الوحدة الناتجة لقياس الطاقة هي الجول. علمنا أن كتلة الكرة تساوي ١٠٠ جرام. وبما أن الكيلوجرام الواحد يساوي ١٠٠٠ جرام، فإن هذا يساوي ٠٫١ كيلوجرام.

إذا رسمنا مخططًا يوضح السؤال، فسنلاحظ أن الكرة سقطت من ارتفاع سبعة أمتار. وسرعتها الابتدائية ﻉ صفر تساوي صفرًا متر لكل ثانية. وعجلة الجاذبية الأرضية تساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة. سنسمي السرعة التي تصطدم بها الكرة بالأرض ﻉ واحدًا، وسرعة ارتدادها ﻉ اثنين. وسنسمي أقصى ارتفاع ﻑ، وهذا ما نريد إيجاده. لإيجاد بعض هذه القيم المجهولة، سنستخدم معادلات الحركة؛ حيث يشير الحرف ﻑ إلى الإزاحة أو المسافة، ويشير ﻉ صفر إلى السرعة الابتدائية، ويشير ﻉ إلى السرعة النهائية، ويشير ﺟ إلى العجلة، ويشير ﻥ إلى الزمن.

لنتناول أولًا حركة الكرة عند سقوطها. إذا جعلنا الاتجاه الموجب هو الاتجاه لأسفل، فسنجد أن ﻑ يساوي سبعة أمتار، وﻉ صفر يساوي صفرًا متر لكل ثانية، وﻉ يساوي ﻉ واحدًا؛ أي السرعة عند الاصطدام، وﺟ يساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة. يمكننا استخدام المعادلة ﻉ تربيع يساوي ﻉ صفر تربيع زائد اثنين ﺟﻑ لحساب ﻉ واحد. بالتعويض بالقيم لدينا، نحصل على ﻉ واحد تربيع يساوي صفرًا تربيع زائد اثنين مضروبًا في ٩٫٨ مضروبًا في سبعة.

يبسط الطرف الأيسر إلى ١٣٧٫٢. يمكننا بعد ذلك أخذ الجذر التربيعي لطرفي هذه المعادلة فنجد أن ﻉ واحدًا يساوي سبعة جذر ٧٠ على خمسة. إذن، السرعة التي يصطدم بها الجسم بالأرض تساوي سبعة جذر ٧٠ على خمسة أمتار لكل ثانية. يمكننا الآن حساب طاقة الحركة عند هذه النقطة. طاقة الحركة تساوي نصفًا مضروبًا في ٠٫١ مضروبًا في سبعة جذر ٧٠ على خمسة تربيع. وهذا يساوي ٦٫٨٦ جول.

علمنا من السؤال أنه نتيجة للاصطدام، كان الفقد في طاقة الحركة ١٫٥٦٨ جول. ذلك يعني أنه يمكننا حساب طاقة الحركة بعد الاصطدام بطرح هذا من ٦٫٨٦. وهو ما يعطينا ٥٫٢٩٢ جول. يمكننا الآن التعويض بهذه القيمة في معادلة طاقة الحركة لحساب قيمة ﻉ اثنين؛ أي سرعة الكرة بعد الاصطدام. ٥٫٢٩٢ يساوي نصفًا مضروبًا في ٠٫١ مضروبًا في ﻉ اثنين تربيع. يمكننا ضرب طرفي هذه المعادلة في اثنين ثم القسمة على ٠٫١ ؛ بحيث يكون ﻉ اثنان تربيع يساوي ١٠٥٫٨٤. نأخذ الجذر التربيعي لطرفي هذه المعادلة، فنحصل على ﻉ اثنين يساوي ٢١ جذر ستة على خمسة. إذن، سرعة الكرة بعد الاصطدام تساوي ٢١ جذر ستة على خمسة أمتار لكل ثانية.

يمكننا الآن استخدام معادلات الحركة مرة أخرى لحساب قيمة ﻑ. نتيجة للاصطدام، ترتد الكرة لأعلى. نجعل هذا الاتجاه هو الاتجاه الموجب. السرعة الابتدائية هنا تساوي ٢١ جذر ستة على خمسة أمتار لكل ثانية. ونعلم أن السرعة عند أقصى ارتفاع ستساوي صفرًا متر لكل ثانية. وعليه، فإن ﻉ يساوي صفرًا. وبما أن الجاذبية الأرضية تؤثر عكس اتجاه الحركة، فإن ﺟ يساوي سالب ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة.

نحن نريد إيجاد الارتفاع ﻑ. إذن، بالتعويض بهذه القيم في ﻉ تربيع يساوي ﻉ صفر تربيع زائد اثنين ﺟﻑ، نحصل على صفر تربيع يساوي ٢١ جذر ستة على خمسة تربيع زائد اثنين مضروبًا في سالب ٩٫٨ مضروبًا في ﻑ. يمكن تبسيط هذا إلى صفر يساوي ١٠٥٫٨٤ ناقص ١٩٫٦ﻑ. يمكننا إضافة ١٩٫٦ﻑ إلى كلا الطرفين. وبقسمة طرفي هذه المعادلة على ١٩٫٦ ، نحصل على ﻑ يساوي ٥٫٤.

وعليه، فإن أقصى ارتفاع وصلت إليه الكرة بعد الارتداد الأول هو ٥٫٤ أمتار.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.