نسخة الفيديو النصية
كمية حركة الفوتون (فراغ) مع طوله الموجي و(فراغ) مع تردده. تتناسب عكسيًّا، تتناسب عكسيًّا؛ تتناسب طرديًّا، تتناسب طرديًّا؛ تتناسب عكسيًّا، تتناسب طرديًّا؛ تتناسب طرديًّا، تتناسب عكسيًّا؛ تتناسب عكسيًّا، تتساوى.
نحاول هنا تحديد العلاقة بين كمية حركة الفوتون وطوله الموجي، وكمية حركة الفوتون وتردده. كما نرى في خيارات الإجابة، فإن نوعي العلاقات اللذين علينا تحديدهما هما: علاقة التناسب العكسي أو علاقة التناسب الطردي.
في البداية: علينا أن نفهم كيف نحدد علاقة التناسب العكسي أو علاقة التناسب الطردي. علاقة التناسب الطردي، التي تسمى أحيانًا علاقة التناسب الطردي المباشر منعًا للالتباس، بين كميتين 𝐴 و𝐵 يمكن كتابتها دائمًا على الصورة: 𝐴 يساوي ثابتًا في 𝐵. نسمي هذه العلاقة علاقة تناسب طردي؛ لأن الطرف الأيمن عبارة عن حاصل ضرب. إذن عندما يزداد مقدار 𝐵، يزداد مقدار حاصل الضرب أيضًا؛ ومن ثم يزداد مقدار 𝐴. وبالمثل، كلما قل مقدار 𝐵، قل مقدار 𝐴 أيضًا. إذن مقدارا 𝐴 و𝐵 متناسبان طرديًّا.
أما عن علاقة التناسب العكسي، فهي عكس علاقة التناسب الطردي تمامًا. فبدلًا من أن يكون لدينا حاصل ضرب، سيكون لدينا كسر. وهذا يعني أن الكمية 𝐴 تساوي ثابتًا مقسومًا على الكمية 𝐵. وبما أن الكمية 𝐵 توجد في مقام الكسر، فهذا يعني أنه كلما زاد مقدار 𝐵، قلت قيمة الكسر. ومن ثم، يقل مقدار 𝐴 أيضًا. والعكس صحيح؛ أي إنه عندما يقل مقدار 𝐵، يزداد مقدار 𝐴. ومن ثم، فإن مقداري 𝐴 و𝐵 يتغيران عكسيًّا.
لاستخدام هذين التعريفين لتحديد العلاقة بين كميتين فيزيائيتين، يمكننا كتابة صيغة تتضمن كلتا الكميتين ثم مطابقة هذه الصيغة إما بصيغة علاقة التناسب الطردي وإما بصيغة علاقة التناسب العكسي. الكميات التي علينا كتابة صيغ لها هي: كمية الحركة والطول الموجي وكمية الحركة والتردد.
لنبدأ بكمية الحركة والطول الموجي لأن كمية حركة الفوتون تعرف في علاقة دي برولي بدلالة الطول الموجي للفوتون. تنص علاقة دي برولي على أن 𝑝، وهو كمية حركة الفوتون، يساوي ℎ، وهو ثابت بلانك، مقسومًا على 𝜆، وهو الطول الموجي للفوتون. 𝑝 و𝜆 هما الكميتان اللتان نرغب في إيجاد العلاقة بينهما، وثابت بلانك هو بالطبع قيمة ثابتة. إذن تأخذ هذه العلاقة الشكل: كمية معينة تساوي ثابتًا مقسومًا على كمية أخرى. وهذا هو شكل صيغة علاقة التناسب العكسي. إذن كمية حركة الفوتون تتناسب عكسيًّا مع طوله الموجي.
لإيجاد العلاقة بين كمية حركة الفوتون وتردده، يمكننا في الواقع تعديل علاقة دي برولي بالتعويض عن الطول الموجي بصيغة مناسبة تتضمن التردد. كل ما علينا فعله هو تذكر أن سرعة الضوء، وهي قيمة ثابتة، تساوي تردد الفوتون مضروبًا في طوله الموجي. إذا قسمنا طرفي هذه المعادلة على التردد، يمكننا كتابة الطول الموجي في طرف بمفرده؛ ومن ثم فإن الطول الموجي للفوتون يساوي سرعة الضوء مقسومة على تردد هذا الفوتون. وبالتعويض بهذه العلاقة في علاقة دي برولي، نحصل على 𝑝 يساوي ℎ مقسومًا على 𝑐 مقسومًا على 𝑓. لكن القسمة على كسر هي نفسها الضرب في مقلوب هذا الكسر. لذا يمكننا إعادة كتابة ذلك على صورة ثابت بلانك مضروبًا في تردد الفوتون مقسومًا على سرعة الضوء.
نعلم أن ثابت بلانك هو قيمة ثابتة وسرعة الضوء هي قيمة ثابتة أيضًا. ومن ثم، عند قسمة ثابت بلانك على سرعة الضوء، نحصل على ثابت. إذن لدينا الآن كمية الحركة تساوي ثابتًا مضروبًا في التردد. نعلم أنه إذا كانت كمية معينة تساوي ثابتًا مضروبًا في كمية أخرى، فإن هاتين الكميتين تتناسبان تناسبًا طرديًّا. وبهذا نكون قد وصلنا إلى إجابة الجزء الثاني من السؤال.
إذن باستخدام علاقة دي برولي التي تعرف كمية حركة الفوتون بدلالة طوله الموجي، ثم تعديل هذه العلاقة لنحصل على صيغة تربط بين كمية الحركة والتردد، وجدنا أن كمية حركة الفوتون تتناسب عكسيًّا مع طوله الموجي وتتناسب طرديًّا مع تردده.
