فيديو السؤال: أطوال أضلاع مثلث زواياه ٤٥ و٤٥ و٩٠

نسخة الفيديو النصية

أوجد، بدلالة ﺱ، طول وتر هذا المثلث.

من الشكل الذي أمامنا، يمكننا ملاحظة أن لدينا مثلثًا قائم الزاوية. الوتر في أي مثلث قائم الزاوية هو الضلع الأطول، إنه الضلع المقابل للزاوية القائمة. سنرمز لهذا الضلع بالوتر لنستخدمه أثناء الحل. الشيء الآخر الذي يمكننا ملاحظته في هذا المثلث القائم الزاوية هو أنه أيضًا مثلث متساوي الساقين لأن الضلعين القصيرين متساويان في الطول؛ طول كل منهما ﺱ من الوحدات.

والمطلوب هو إيجاد طول الوتر. هناك طريقتان للتعامل مع هذه المسألة. سنستخدم كلا الطريقتين. الطريقة الأولى هي أنه بما أن هذا المثلث قائم الزاوية، فسنطبق نظرية فيثاغورس.

نظرية فيثاغورس تنص على أنه في المثلث القائم الزاوية، فإن مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين. وفي هذا المثلث، هذا يعني أن الوتر تربيع يساوي ﺱ تربيع زائد ﺱ تربيع. ويمكن تبسيط ذلك إلى الوتر تربيع يساوي اثنين ﺱ تربيع.

لإيجاد مقدار يعبر عن قيمة الوتر، علينا أن نأخذ الجذر التربيعي لطرفي المعادلة. نجد أن الوتر يساوي الجذر التربيعي لاثنين ﺱ تربيع. تخبرنا قوانين الجذور الصماء بأنه يمكننا تقسيم الجذر التربيعي لحاصل ضرب عددين إلى حاصل ضرب الجذرين التربيعيين لكل منهما على حدة. إذن يمكننا التعبير عن الوتر بالجذر التربيعي لاثنين في الجذر التربيعي لـ ﺱ تربيع. الجذر التربيعي لـ ﺱ تربيع يساوي ﺱ.

إذن، لدينا الآن مقدار مبسط يعبر عن طول الوتر بدلالة ﺱ، وهو: الوتر يساوي ﺱ جذر اثنين. إذن هذه هي الطريقة الأولى لحل هذا السؤال، وهي تطبيق نظرية فيثاغورس.

والطريقة الثانية هي تطبيق بعض قوانين حساب المثلثات. بما أن هذا المثلث متساوي الساقين، فإن قياس كل زاوية من الزاويتين غير القائمتين يساوي ٤٥ درجة. والزاوية ٤٥ درجة زاوية خاصة، والنسب المثلثية الخاصة بها يمكن التعبير عنها بدلالة الجذور الصماء.

‏‏جا ٤٥ وجتا ٤٥ درجة متساويان. كلاهما يساوي جذر اثنين على اثنين. أما ظا ٤٥ درجة فيساوي واحدًا. تذكر أن هذه القيم تمثل النسب بين أطوال أزواج مختلفة من الأضلاع في المثلث. إذن، يمكننا استخدام هذه القيم لإيجاد قيمة الوتر.

لننظر إلى إحدى الزاويتين اللتين قياس كل منهما ٤٥ درجة. ولقد سميت أضلاع المثلث الثلاثة حسب علاقتها بهذه الزاوية. لدينا الضلع المقابل، والضلع المجاور، والوتر. دعونا نستخدم النسبة بين المقابل والوتر. وتخبرنا تعريفات النسب المثلثية الثلاث بأن هذه هي نسبة الجيب في هذا المثلث.

بمراجعة تعريف نسبة الجيب، وهي طول الضلع المقابل مقسومًا على طول الوتر، نرى أن جا ٤٥ درجة يساوي ﺱ على الوتر. تذكر أن جا ٤٥ درجة يساوي جذر اثنين على اثنين. لذا، يمكننا الآن التعويض بهذه القيم في النسبة. لدينا الآن جذر اثنين على اثنين يساوي ﺱ على الوتر. ونريد إعادة ترتيب هذه المعادلة لنحصل على قيمة الوتر بدلالة ﺱ.

الخطوة الأولى هي الضرب التبادلي. ينتج عن هذا التخلص من مقامي الكسرين لنجد أن الوتر جذر اثنين يساوي اثنين ﺱ. بعد ذلك، علينا قسمة طرفي المعادلة على جذر اثنين. وهذا يعطينا الوتر يساوي اثنين ﺱ على جذر اثنين.

والآن، يبدو هذا المقدار مختلفًا عن المقدار الذي أوجدناه في السابق. وذلك بسبب وجود جذر أصم في المقام، علينا إنطاقه. للقيام بذلك، نضرب في جذر اثنين على جذر اثنين، وهو كسر يساوي واحدًا. هذا يعطينا اثنين ﺱ جذر اثنين في البسط واثنين فقط في المقام. يمكننا حذف العامل المشترك اثنين من البسط والمقام، ليتبقى لدينا ﺱ جذر اثنين، وهي الإجابة نفسها التي أوجدناها من قبل.

إذن، فقد استخدمنا طريقتين مختلفتين: الأولى هي تطبيق نظرية فيثاغورس، والثانية هي تطبيق القيمة المثلثية لـ جا ٤٥ درجة، لنوضح أن طول الوتر يساوي ﺱ جذر اثنين.