تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: تقدير النهايات للدوال بيانيًّا وسلوك الدالة غير المحدَّد

سوزان فائق

يوضح الفيديو تقدير نهايات الدوال بيانيًّا، ومفهوم سلوك الدالة غير المحدد، والنهايات غير المحددة للدالة، ومفهوم تذبذب الدالة، وأسباب عدم وجود نهاية عند نقطة.

١٢:٢٧

‏نسخة الفيديو النصية

في الفيديو ده، هنتكلّم على تقدير النهايات للدوال بيانيًّا، والسلوك غير المحدّد.

هنشوف إزّاي الدالة بتبقى نهايتها مش موجودة وغير معرّفة. وإمتى الدالة بنقول عليها: سلوكها غير محدّد، ويعني إيه السلوك غير المحدّد. أول حاجة هنتكلّم عنها، النهاية عند نقطة. النهاية للدالة بيبقى مقصود بيها قيمة الدالة لمّا بتقترب س من قيمة معيّنة. وبنقول: عندنا نهاية عند نقطة، لمّا بتكون لِـ د س قيمة موجودة عندما تقترب س من ك، إذا، وإذا فقط، كانت النهايتين من اليمين واليسار موجودتين.

يعني كانت قيمة س لمّا تقترب من ناحية اليمين من قيمة ك لها قيمة، الدالة بيبقى لها قيمة. ولمّا س بتقترب من ناحية الـ ك من ناحية الشمال أو من اليسار بتبقى لها قيمة. والنهاية دي بنسمّيها نهاية دالة س لمّا الـ س تروح من الـ ك من اليمين، وبنعملها بالشكل ده. تساوي نهاية دالة س لمّا الـ س تروح للـ ك من ناحية اليسار بالشكل ده. تساوي ل، اللي هي قيمة الدالة. لو كانت القيمتين دول متساويتين، يبقى وقتها بنقول: إن فيه نهاية للدالة. يعني بتبقى النهاية موجودة عند نقطة لمّا بتكون النهاية من اليمين ومن اليسار نفس القيمة. وهي بتبقى دي قيمة الدالة. عكس كده بتبقى النهاية غير موجودة. لو النهايتين مش موجودين أو قيمهم مش متساوية، يبقى الدالة مالهاش نهاية.

طيب. فيه حالة كمان بيبقى الدالة مالهاش نهاية، اللي هي لمّا بتروح عند قيمة كبيرة جدًّا أو صغيّرة جدًّا، اللي هي بنسمّيها بالرمز ما لا نهاية، أو سالب ما لا نهاية. يبقى زيّ ما قُلنا، عدم المقدرة على إيجاد قيمة نهاية للدالة كعدد حقيقي عند الاقتراب من نقطة ثابتة ليس ناتجًا بالضرورة عن عدم تساوي النهايتين من اليمين واليسار. إذ من الممكن أن تزداد قيم دالة س بشكل غير محدّد عند اقتراب قيم س من ك. وفي هذه الحالة بنشير إلى النهاية بالرمز ما لا نهاية. أمَّا إذا تناقصت قيم الدالة، دالة س، بشكل غير محدّد عند اقتراب قيم س من ك، فإننا نشير لهذه النهاية بالرمز سالب ما لا نهاية.

نقلب الصفحة، ونشوف مثال على الكلام ده. قدّر، إن أمكن، نهاية ما يأتي باستخدام التمثيل البياني: نهاية الدالة واحد على س ناقص أربعة الكل تربيع لمّا الـ س تروح لموجب أربعة.

نرسم الدالة دي. هتبقى بالشكل ده. لمّا الـ س تساوي أربعة، اللي هي كُنّا بنقول عليها: القيمة ك، هيبقى فيه خطّ كده، اللي هو الخطّ تقارب؛ لأن الدالة عند الـ س تساوي أربعة بيبقى المقام قيمته صفر. فبالتالي القيمة بتبقى موجب ما لا نهاية. كده التحليل البياني بيوضّح التمثيل البياني للدالة د س يساوي واحد على، س ناقص أربعة الكل تربيع. نهاية الدالة لمّا الـ س بتقترب من الأربعة من ناحية اليمين، بيبقى قيمة الدالة بتساوي ما لا نهاية. ولمّا الـ س بتقترب مِ الأربعة من ناحية اليسار بتبقى قيمة الدالة ما لا نهاية. مش بتساوي ما لا نهاية. لأ، هي بتروح للما لا نهاية. بيبقى سلوكها رايح للما لا نهاية؛ لأن الما لا نهاية ليست عدد حقيقي، هي بتصف شكل الدالة. يبقى معنى كده إن كلّما اقتربت قيم س من العدد أربعة، ازدادت قيم دالة س بشكل غير محدود.

وبما أن كلا النهايتين من اليسار ومن اليمين قيمتهم ما لا نهاية. تمام. يبقى الدالة نفسها سلوكها بيروح للما لا نهاية. يبقى كلما اقتربت قيم س من العدد أربعة، ازدادت قيم دالة س بشكل غير محدود. ولا يوجد قيمة محدّدة للنهاية من الجهتين. وبالتالي نهاية دالة واحد على س ناقص أربعة الكل التربيع لمّا الـ س بتقترب مِ الأربعة غير موجودة. ولكن بسبب كون كلتا النهايتين ما لا نهاية، فإننا نصف سلوك دالة س عند العدد أربعة بكتابته. إن نهاية الدالة د س لمّا الـ س بتئول للأربعة بتساوي ما لا نهاية. نوضّح الكلام ده بالجدول. هنستخدم قيم قريبة مِ الأربعة من كلا الجهتين؛ أقلّ مِ الأربعة وأكبر مِ الأربعة. هنلاقي إن الدالة لمّا بتيجي تقترب من القيمة أربعة بتسلك سلوك غير محدّد، اللي هو بتطلع قيمتها لقيمة كبيرة جدًّا. والعكس، لمّا بيحصل إن القيمة بتصغر جدًّا، بنقول برضو: إنها لها سلوك غير محدّد.

نقلب الصفحة، وناخد مثال كمان على النوع التاني من السلوك غير المحدّد. نهاية واحد على س لمّا الـ س بتئول للصفر، قدّر هذه القيمة إن أمكن بيانيًّا.

الشكل اللي قدامنا ده بيوضّح الرسم البياني للدالة واحد على س. عايزين نجيب قيمة النهاية لمّا الـ س بتقترب من الصفر. من الرسم اللي قدامنا، هنلاقي إن من ناحية اليمين قيمة الدالة بتكبر جدًّا جدًّا جدًّا، لغاية ما تروح للما لا نهاية. ومن ناحية اليسار، الدالة بتصغر جدًّا جدًّا، وبتروح السالب الما لا نهاية من ناحية اليسار للنقطة صفر. التمثيل البياني بيوضّح إن نهاية الدالة لمّا س تقترب من الصفر من ناحية اليسار، بيبقى الدالة بتاخد قيمة سالب ما لا نهاية. ولمّا الدالة فيها س بتقترب من الصفر من ناحية اليمين، بتبقى قيمتها ما لا نهاية. هنكتب الكلام ده. هنقول: فكلّما اقتربت قيم س من العدد صفر من اليسار قلّت قيم د س بشكل غير محدود. في حين تزداد قيم د س كلّما اقتربت قيم س من العدد صفر من اليمين.

وبسبب سلوك الدالة المختلف عن يمين ويسار العدد س يساوي صفر. لذا فإن نهاية واحد على س لمّا الـ س بتقترب من الصفر غير موجودة؛ لذا لا يمكننا وصف سلوك الدالة عند الـ س تساوي صفر بعبارة واحدة، زيّ ما عملنا في المثال اللي فات. بمعنى إن نكتب إن نهاية واحد على س تساوي الما لا نهاية، وذلك بسبب سلوك الدالة غير المحدود من اليمين واليسار.

نشوف الكلام ده عدديًّا باستخدام جدول القيم. باستخدام جدول القيم، إن إحنا بناخد قيم قريبة من الصفر من كلا الجهتين؛ أكبر من الصفر وأصغر من الصفر. ونقرّب ونشوف قيم دالة س هتبقى شكلها عامل إزّاي. هنلاقي إن هنا سالب ألف وموجب ألف، رغم إنها كانت مية وسالب مية، الرقم بيكبر بسرعة أو بيصغر بسرعة. لأنها بتروح للسالب ما لا نهاية أو موجب ما لا نهاية لمّا بتقترب من الصفر من ناحية اليمين ومن اليسار.

هنقلب الصفحة، ونتكلّم على المفهومين اللي قُلناهم على المثالين. أول حاجة السلوك غير المحدّد للدالة بيعني زيادة أو نُقصان د س بصورة غير محدّدة عندما س تئول إلى قيمة ك. وده باختيار قيمة لِـ س قريبة من ك بالقدر الذي نريد. فإنه يمكننا الحصول على قيمة كبيرة للقيمة المطلقة لِـ د س بالقدر الذي نريد. وكلما كانت س قريبة من ك، كانت د س القيمة المطلقة لها أكبر. يعني لمّا الـ س بتروح للـ ك، بنلاقي إن الدالة بتاخد قيمة كبيرة جدًّا جدًّا. وده اللي بنسمّيه السلوك غير المحدّد.

تاني حاجة مهمة لازم ناخد بالنا منها النهايات غير المحدّدة للدالة. لمّا نقول: إن نهاية د س تساوي سالب ما لا نهاية لمّا الـ س بتقترب من الصفر من ناحية اليسار. أو نهاية د س لمّا الـ س بتقترب من الصفر من ناحية اليمين تساوي ما لا نهاية. هما فقط وصف للحالة التي بسببها النهاية غير موجودة، اللي هي نهاية د س لمّا الـ س بتقترب من النقطة صفر. حيث أن الما لا نهاية والسالب ما لا نهاية لا يمثّلان عددين حقيقيّين.

يبقى كده عرفنا نوعين إمتى النهاية بتكون غير موجودة. أول واحدة: لمّا بتكون عند النقطة يمين ويسار النقطة قيمة الدالة مش متساوية. ده بيبقى النهاية غير موجودة. والحالة التانية: إن الدالة بتسلك سلوك غير محدّد عن يمين ويسار النقطة، مختلف. وبالتالي بنقول عليه: القيمة مش موجودة، قيمة النهاية مش موجودة.

طيب فيه حالة تالتة كمان. نقلب الصفحة، ونتكلّم عنها. لا تكون الدالة موجودة أيضًا عندما تتذبذب قيم دالة س بين قيمتين مختلفتين، باقتراب قيم س من العدد ك. ناخد مثال على الكلام ده. قدّر إن أمكن نهاية جتا واحد على س لمّا الـ س بتقترب من الصفر، باستخدام التمثيل البياني للدالة.

هنرسم الدالة جتا واحد على س. ده شكل الدالة جتا واحد على س. نلاحظ إن د س بتتذبذب بشكل مستمرّ بين العددين سالب واحد وواحد. كل شويّة تطلع لواحد، وتنزل للسالب واحد. تطلع لواحد، وتنزل لسالب واحد، كل امّا بنقترب من العدد صفر. ده معناه إن إحنا لو عندنا أيّ قيمة قريبة جدًّا، س واحد مثلًا قريبة من الصفر، بحيث د س واحد بتساوي واحد. يمكن إيجاد قيمة قريبة جدًّا برضو من الصفر، مثل س اتنين، بحيث د س اتنين بتساوي سالب واحد. وبالمثل أيّ قيمة قريبة من الصفر، س تلاتة مثلًا، بحيث د س تلاتة هتساوي سالب واحد، يمكن إيجاد قيمة مثل س أربعة، قريبة جدًّا من الصفر. بحيث د س أربعة هتساوي واحد.

يعني معنى كده إن نهاية الدالة جتا واحد على س لمّا الـ س بتقترب من الصفر غير موجودة. وده اللي بنسمّيه السلوك التذبذبي للدالة، اللي مش بيبقى له نهاية. إن الدالة كل شويّة رايحة لقيمة مختلفة؛ مرة واحد، مرة سالب واحد. فبالتالي ما بيبقاش لها نهاية؛ لأن تعريف النهاية إن قيمة الدالة لمّا نقترب من النقطة.

نقلب الصفحة، ونلخّص الأسباب اللي اتكلّمنا عنها، اللي بتخلّي النهاية للدالة غير موجودة. دي أسباب عدم وجود نهاية عند نقطة. بتكون نهاية د س غير موجودة لمّا الـ س بتقترب من الـ ك في الحالات الآتية. أول حالة: عندما تقترب قيم د س من قيمتين مختلفتين. عند اقتراب قيم س من العدد ك من اليسار ومن اليمين. يعني قيمة الدالة من اليمين غير قيمتها من اليسار لنفس النقطة ك. تاني حالة: عندما تزداد قيم د س بشكل غير محدود عند الاقتراب من قيم س من العدد ك من اليسار. وتتناقص قيمها بشكل غير محدود عند اقتراب س من العدد ك من اليمين، أو العكس. يعني التصرف غير المحدود للدالة عند النقطة لمّا س بتساوي العدد ك. تالت حالة: عندما تتذبذب قيم د س بين قيمتين عند اقتراب س من الـ ك.

في الفيديو ده، اتكلّمنا عن تقدير النهايات للدوال بيانيًّا. وإمتى بتبقى النهاية غير موجودة. ويعني إيه السلوك غير المحدّد للدالة.