فيديو السؤال: اشتقاق خارج قسمة دوال تتضمن دوال كثيرة الحدود ودوال جذرية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

عين المشتقة الأولى للدالة ﺹ يساوي سالب ثلاثة ﺱ تربيع ناقص اثنين ﺱ زائد ١٧ على الجذر التربيعي لـ ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.

لننظر جيدًا إلى ما نحاول اشتقاقه. يمكننا ملاحظة أنه خارج قسمة دالتين قابلتين للاشتقاق. ولذا، سنطبق قاعدة القسمة. تنص هذه القاعدة على أن مشتقة ﻉ على ﻕ تساوي ﻕ في ﺩﻉ على ﺩﺱ ناقص ﻉ في ﺩﻕ على ﺩﺱ الكل على ﻕ تربيع. إذن مهمتنا الأولى هي تعريف ﻉ وﻕ.

بما أن ﻉ هو بسط الكسر، فسنعرفه على أنه يساوي سالب ثلاثة ﺱ تربيع ناقص اثنين ﺱ زائد ١٧. وسنجعل ﻕ يساوي جذر ﺱ. في الحقيقة نعلم الآن أن الجذر التربيعي لـ ﺱ يمكن كتابته على الصورة: ﺱ أس نصف. هذا سيجعل الخطوة التالية أسهل.

علينا إيجاد ﺩﻉ على ﺩﺱ، وﺩﻕ على ﺩﺱ. نتذكر أنه لاشتقاق حد من دالة كثيرة الحدود، نضرب الحد بالكامل في الأس ثم نطرح واحدًا من هذا الأس. هذا يعني أن مشتقة سالب ثلاثة ﺱ تربيع تساوي اثنين في سالب ثلاثة ﺱ، وهو ما يساوي سالب ستة ﺱ. إذن مشتقة سالب اثنين ﺱ تساوي سالب اثنين. ونحن نعلم أنه عند اشتقاق ثابت، نحصل على صفر. عند اشتقاق ﺱ أس نصف، نحصل على نصف في ﺱ أس سالب نصف.

يمكننا الآن التعويض بكل ما نعرفه في صيغة قاعدة القسمة. وهي: ﻕ في ﺩﻉ على ﺩﺱ ناقص ﻉ في ﺩﻕ على ﺩﺱ الكل على ﻕ تربيع. لنبسط هذا الكسر. سنضرب أولًا كلًّا من البسط والمقام في اثنين ﺱ أس نصف. بعد ذلك يصبح الكسر لدينا: اثنان ﺱ مضروبًا في سالب ستة ﺱ ناقص اثنين ناقص سالب ثلاثة ﺱ تربيع ناقص اثنين ﺱ زائد ١٧. الكل على اثنين ﺱ أس نصف في ﺱ أس نصف تربيع.

نعيد كتابة المقام على الصورة: اثنان ﺱ أس نصف في ﺱ أس نصف في ﺱ أس نصف. ثم نتذكر أنه يمكننا جمع الأسس. نحصل إذن على: اثنان ﺱ أس ثلاثة على اثنين، وهو ما يمكن كتابته على صورة: اثنان ﺱ تكعيب أس نصف. وهو ما يساوي اثنين في الجذر التربيعي لـ ﺱ تكعيب. عن طريق توزيع القوس في البسط، نحصل على: سالب ١٢ﺱ تربيع ناقص أربعة ﺱ زائد ثلاثة ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ ناقص ١٧.

وأخيرًا نبسط. نلاحظ أن المشتقة الأولى للدالة بالنسبة إلى ﺱ هي: سالب تسعة ﺱ تربيع ناقص اثنين ﺱ ناقص ١٧ على اثنين في الجذر التربيعي لـ ﺱ تكعيب.