فيديو السؤال: حساب حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين موضحين على شبكة رسم ثلاثية الأبعاد الفيزياء

يوضح الشكل المتجهين، ‪𝐀‬‏، ‪𝐁‬‏ في فضاء ثلاثي الأبعاد. يقع كلا المتجهين في المستوى ‪𝑥𝑦‬‏. طول ضلع كل مربع في شبكة الرسم يساوي ‪1‬‏. احسب ‪𝐀 × 𝐁‬‏.

٠٥:٤٣

‏نسخة الفيديو النصية

يوضح الشكل المتجهين، ‪𝐀‬‏ و‪𝐁‬‏ في فضاء ثلاثي الأبعاد. يقع كلا المتجهين في المستوى ‪𝑥𝑦‬‏. طول ضلع كل مربع في شبكة الرسم يساوي واحدًا. احسب ‪𝐀‬‏ مضروبًا ضربًا اتجاهيًّا في ‪𝐁‬‏.

يتمحور السؤال حول حاصل الضرب الاتجاهي، ومطلوب منا تحديدًا حساب حاصل الضرب الاتجاهي لـ ‪𝐀‬‏ في ‪𝐁‬‏. المتجهان ‪𝐀‬‏ و‪𝐁‬‏ معطيان على صورة سهمين على الشكل، ونعلم من المعطيات أن المتجهين يقعان في المستوى ‪𝑥𝑦‬‏. سنبدأ بتذكر تعريف حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين. سنتناول متجهين عامين، سنسميهما ‪𝐂‬‏ و‪𝐃‬‏، وسنفترض أن هذين المتجهين يقعان في المستوى ‪𝑥𝑦‬‏. بعد ذلك، يمكننا كتابة هذين المتجهين في صورة مركبة على صورة مركبة ‪𝑥‬‏، سميناها ‪𝑥‬‏ مضروبة في ‪𝐢‬‏ هات؛ زائد مركبة ‪𝑦‬‏، سميناها ‪𝑦‬‏ مضروبة في ‪𝐣‬‏ هات.

تذكر أن ‪𝐢‬‏ هات هو متجه الوحدة في الاتجاه ‪𝑥‬‏، وأن ‪𝐣‬‏ هات هو متجه الوحدة في الاتجاه ‪𝑦‬‏. بعد ذلك يمكننا كتابة حاصل الضرب الاتجاهي لـ ‪𝐂‬‏ في ‪𝐃‬‏ على أنه يساوي المركبة ‪𝑥‬‏ للمتجه ‪𝐂‬‏ مضروبة في المركبة ‪𝑦‬‏ للمتجه ‪𝐃‬‏ ناقص المركبة ‪𝑦‬‏ للمتجه ‪𝐂‬‏ مضروبة في المركبة ‪𝑥‬‏ للمتجه ‪𝐃‬‏، الكل مضروب في ‪𝐤‬‏ هات وهو متجه الوحدة في الاتجاه ‪𝑧‬‏. بالنظر إلى هذا التعبير العام لحاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين يقعان في المستوى ‪𝑥𝑦‬‏، نلاحظ أنه إذا أردنا حساب حاصل الضرب الاتجاهي لـ ‪𝐀‬‏ في ‪𝐁‬‏، فعلينا معرفة المركبتين ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏ للمتجهين ‪𝐀‬‏ و‪𝐁‬‏.

المتجهان ‪𝐀‬‏ و‪𝐁‬‏ معطيان لنا في الشكل الموضح في السؤال. ونعلم من هذا السؤال أيضًا أن طول ضلع كل مربع في شبكة الرسم في هذا الشكل يساوي واحدًا. يعني هذا أن كل ما علينا فعله لإيجاد المركبتين ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏ للمتجهين ‪𝐀‬‏ و‪𝐁‬‏، هو إحصاء عدد المربعات التي يمتدها كل متجه في الاتجاه ‪𝑥‬‏ وفي الاتجاه ‪𝑦‬‏. وبما أن كل مربع يساوي وحدة طول واحدة، فإن عدد المربعات يعطينا مباشرة المركبتين ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏ للمتجهين.

لنبدأ في إجراء ذلك للمتجه ‪𝐀‬‏. من خلال التتبع من رأس المتجه ‪𝐀‬‏ نزولًا حتى أسفل المحور ‪𝑥‬‏ ثم عد المربعات، يمكننا ملاحظة أن المتجه ‪𝐀‬‏ يمتد بمقدار واحد، اثنين، ثلاثة، أربعة، خمسة مربعات في الاتجاه الموجب لـ ‪𝑥‬‏. ومن خلال التتبع من رأس المتجه ‪𝐀‬‏ إلى المحور ‪𝑦‬‏، يمكننا ملاحظة أن المتجه ‪𝐀‬‏ يمتد بمقدار واحد، اثنين، أي وحدتين في الاتجاه الموجب لـ ‪𝑦‬‏. لذا يمكننا كتابة المتجه ‪𝐀‬‏ في صورته المركبة على صورة المركبة ‪𝑥‬‏، التي تساوي خمسة، مضروبة في ‪𝐢‬‏ هات؛ زائد المركبة ‪𝑦‬‏، التي تساوي اثنين، مضروبة في ‪𝐣‬‏ هات.

والآن، لنفعل الأمر نفسه مع المتجه ‪𝐁‬‏. إذا تتبعنا من رأس المتجه ‪𝐁‬‏ نزولًا لأسفل المحور ‪𝑥‬‏، فسنلاحظ أن ‪𝐁‬‏ يمتد بمقدار مربع واحد في الاتجاه السالب لـ ‪𝑥‬‏. ومن خلال تتبع المحور ‪𝑦‬‏، يمكننا ملاحظة أن ‪𝐁‬‏ يمتد بمقدار واحد، اثنين، ثلاثة، أربعة، خمسة مربعات في الاتجاه الموجب لـ ‪𝑦‬‏. إذن، يمكننا كتابة ‪𝐁‬‏ في الصورة المركبة على صورة المركبة ‪𝑥‬‏، التي تساوي سالب واحد، مضروبة في ‪𝐢‬‏ هات؛ زائد المركبة ‪𝑦‬‏، التي تساوي خمسة، مضروبة في ‪𝐣‬‏ هات.

والآن بعد أن كتبنا كلا المتجهين ‪𝐀‬‏ و‪𝐁‬‏ في الصورة المركبة، أصبحنا مستعدين لاستخدام هذا التعبير هنا لحساب حاصل الضرب الاتجاهي لـ ‪𝐀‬‏ في ‪𝐁‬‏. بالنظر إلى التعبير العام لحاصل الضرب الاتجاهي، نلاحظ أن الحد الأول يعطى بواسطة المركبة ‪𝑥‬‏ للمتجه الأول في حاصل الضرب، مضروبة في المركبة ‪𝑦‬‏ للمتجه الثاني في حاصل الضرب. في هذه الحالة، المتجه الأول في حاصل الضرب هو ‪𝐀‬‏، والمتجه الثاني هو ‪𝐁‬‏.

إذن بالنسبة إلى الحد الأول، علينا ضرب المركبة ‪𝑥‬‏ للمتجه ‪𝐀‬‏، التي تساوي خمسة، في المركبة ‪𝑦‬‏ للمتجه ‪𝐁‬‏، التي تساوي خمسة أيضًا. بعد ذلك، سنطرح حدًّا ثانيًا من هذا الحد الأول. هذا الحد الثاني هو المركبة ‪𝑦‬‏ للمتجه الأول في حاصل الضرب، مضروبة في المركبة ‪𝑥‬‏ للمتجه الثاني في حاصل الضرب. إذن في هذه الحالة، هذا الحد هو المركبة ‪𝑦‬‏ للمتجه ‪𝐀‬‏، التي تساوي اثنين؛ مضروبة في المركبة ‪𝑥‬‏ للمتجه ‪𝐁‬‏، التي تساوي سالب واحد. وكما قلنا، سنطرح هذا الحد الثاني من الحد الأول. ثم نضرب هذا التعبير كله في متجه الوحدة ‪𝐤‬‏ هات.

الخطوة الأخيرة المتبقية هي إيجاد قيمة هذا التعبير هنا. الحد الأول، الذي يساوي خمسة مضروبًا في خمسة، يعطينا 25، بينما الحد الثاني، اثنان مضروبًا في سالب واحد، يعطينا سالب اثنين. ثم عندما نحسب 25 ناقص سالب اثنين، نحصل على 27. إذن، الإجابة هي أن حاصل الضرب الاتجاهي لـ ‪𝐀‬‏ في ‪𝐁‬‏ يساوي 27 𝐤 هات.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.