فيديو الدرس: تحديد المحال الهندسية في المستوى المركب باستخدام المقياس الرياضيات

في هذا الفيديو، سنتعلم كيفية رسم المحال الهندسية وتفسيرها في المستوى المركب بالتعبير عنها بدلالة المقياس.

١٩:٣١

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سنتعلم كيفية رسم المحال الهندسية وتفسيرها في المستوى المركب بالتعبير عنها بدلالة المقياس. سنبدأ بالنظر إلى الهندسة في المستوى المركب قبل تناول المحال الهندسية ومعادلات المحال الهندسية المختلفة. سيشمل ذلك المحال الهندسية الدائرية، والمنصفات العمودية، والمحال الهندسية للقطع الناقص.

نبدأ بتذكر بعض التعريفات. المحل الهندسي لنقطة معلومة في المستوى المركب هو مجموعة النقاط المعلومة كلها التي تحقق شرطًا معينًا. نعرف أيضًا أن مقياس أي عدد مركب هو المسافة بين النقطة التي تمثل هذا العدد المركب المحدد على مستوى أرجاند ونقطة الأصل. فيما يخص العدد المركب المكتوب بالصورة الجبرية ‪𝑧‬‏ يساوي ‪𝑎‬‏ زائد ‪𝑏𝑖‬‏، يساوي مقياسه الجذر التربيعي لـ ‪𝑎‬‏ تربيع زائد ‪𝑏‬‏ تربيع. في المثال الأول لدينا، سنتناول هندسة المستوى المركب.

العدد المركب ‪𝑤‬‏ يقع على مسافة خمسة جذر اثنين من ‪𝑧‬‏ واحد، الذي يساوي تسعة على اثنين زائد سبعة على اثنين ‪𝑖‬‏، وعلى مسافة أربعة جذر خمسة من ‪𝑧‬‏ اثنين، الذي يساوي سالب تسعة على اثنين ناقص سبعة على اثنين ‪𝑖‬‏. هل تقع النقطة ‪𝑤‬‏ على الدائرة التي مركزها نقطة الأصل التي تمر بالعددين ‪𝑧‬‏ واحد، و‪𝑧‬‏ اثنين؟

لحل هذه المسألة، نبدأ بالنظر في خصائص الدوائر. يمكن تحديد العددين المركبين ‪𝑧‬‏ واحد و‪𝑧‬‏ اثنين على مخطط أرجاند كما هو موضح. العدد ‪𝑧‬‏ واحد ممثل بالنقطة ذات الإحداثيين الكارتيزيين: تسعة على اثنين، وسبعة على اثنين. وبالمثل، للعدد ‪𝑧‬‏ اثنين الإحداثيان الكارتيزيان: تسعة على اثنين، وسالب سبعة على اثنين.

نلاحظ هنا أن ‪𝑧‬‏ واحد يساوي سالب ‪𝑧‬‏ اثنين. وبالتالي، فهما متقابلان قطريًّا. والقطعة المستقيمة التي تصل بين ‪𝑧‬‏ واحد و‪𝑧‬‏ اثنين يجب أن تشكل قطر الدائرة. يمكننا استخدام النظريات الخاصة بالدوائر لاستنتاج أن ذلك يعني وقوع العدد ‪𝑤‬‏ على الدائرة إذا كان المثلث الذي رؤوسه ‪𝑧‬‏ واحد، و‪𝑧‬‏ اثنان، و‪𝑤‬‏؛ مثلثًا قائم الزاوية.

للتأكد مما إذا كان هذا المثلث قائم الزاوية، يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس للتحقق مما إذا كانت أطوال أضلاع المثلث المشار إليها بالأحرف ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏ و‪𝑐‬‏ تحقق الصيغة: ‪𝑎‬‏ تربيع زائد ‪𝑏‬‏ تربيع يساوي ‪𝑐‬‏ تربيع؛ حيث ‪𝑐‬‏ هو الضلع الأطول، أي وتر المثلث.

نعرف بالفعل أن ‪𝑤‬‏ يقع على مسافة خمسة جذر وحدتين عن ‪𝑧‬‏ واحد، وعلى مسافة أربعة جذر خمسة من الوحدات عن ‪𝑧‬‏ اثنين. علينا إذن إيجاد طول الضلع الثالث من المثلث. وهو طول الضلع الذي يصل بين ‪𝑧‬‏ واحد و‪𝑧‬‏ اثنين. طول هذا الضلع يساوي مقياس الفرق بين هذين العددين المركبين. وهو مقياس ‪𝑧‬‏ واحد ناقص ‪𝑧‬‏ اثنين.

لإيجاد الفرق بينهما، نوجد الفرق بين جزأيهما الحقيقيين وجزأيهما التخيليين. بالنسبة للجزأين الحقيقيين، لدينا تسعة على اثنين ناقص سالب تسعة على اثنين. وبالنسبة للجزأين التخيليين، لدينا سبعة على اثنين ناقص سالب سبعة على اثنين. يعني ذلك أن الفرق بين ‪𝑧‬‏ واحد و‪𝑧‬‏ اثنين يساوي تسعة زائد سبعة ‪𝑖‬‏.

تذكر أننا نريد إيجاد مقياس الفرق بين هذين العددين. هذا يساوي إذن الجذر التربيعي لتسعة تربيع زائد سبعة تربيع، وهو ما يساوي الجذر التربيعي لـ 130.

الآن وبعد أن عرفنا أطوال الأضلاع الثلاثة، يمكننا التأكد مما إذا كانت تحقق نظرية فيثاغورس. جذر 130 أكبر من خمسة جذر اثنين، وأربعة جذر خمسة. سنحسب إذن مجموع مربعي طولي الضلعين الأقصرين. أربعة جذر خمسة الكل تربيع يساوي 50، وخمسة جذر اثنين الكل تربيع يساوي 80. ‏50 زائد 80 يساوي 130، وهو ما يساوي مربع جذر 130.

لقد رأينا أن هذه الأضلاع الثلاثة تحقق نظرية فيثاغورس، وبالتالي تشكل أضلاع مثلث قائم الزاوية. وهذا يعني بدوره أن الخط المستقيم الذي يربط بين ‪𝑧‬‏ واحد و‪𝑧‬‏ اثنين يشكل قطر دائرة يقع ‪𝑤‬‏ على محيطها كما هو مطلوب.

فلنعمم هذه الفكرة. عرفنا أن المسافة بين نقطتين تساوي مقياس الفرق بينهما. وبالتالي، يمكننا القول إنه بالنسبة للعدد المركب الثابت ‪𝑧‬‏ واحد، يكون المحل الهندسي للنقطة ‪𝑧‬‏ التي تحقق المعادلة: مقياس ‪𝑧‬‏ ناقص ‪𝑧‬‏ واحد يساوي ‪𝑟‬‏؛ هو دائرة يقع مركزها عند ‪𝑧‬‏ واحد، ونصف قطرها ‪𝑟‬‏. لنتناول الآن مثالًا لتطبيق هذا التعريف.

العدد المركب ‪𝑧‬‏ يحقق المعادلة: مقياس ‪𝑧‬‏ ناقص اثنين زائد ثلاثة ‪𝑖‬‏ يساوي اثنين. ‏‪(1)‬‏ صف محل ‪𝑧‬‏ الهندسي، واكتب معادلته الكارتيزية. ‏‪(2)‬‏ أوجد مدى سعة ‪𝑧‬‏ في الفترة من سالب ‪𝜋‬‏ إلى ‪𝜋‬‏. ‏‪(3)‬‏ أوجد مدى مقياس ‪𝑧‬‏.

تذكر أنه بالنسبة للعدد المركب الثابت ‪𝑧‬‏ واحد، يكون المحل الهندسي للنقطة ‪𝑧‬‏، التي تحقق المعادلة المعطاة؛ هو دائرة يقع مركزها عند ‪𝑧‬‏ واحد، ونصف قطرها ‪𝑟‬‏. للإجابة عن الجزء الأول من السؤال، سنعيد كتابة ‪𝑧‬‏ ناقص اثنين زائد ثلاثة ‪𝑖‬‏ بعض الشيء من خلال أخذ سالب واحد عاملًا مشتركًا. يصبح لدينا بذلك ‪𝑧‬‏ ناقص اثنين ناقص ثلاثة ‪𝑖‬‏. وهذا يعني أنه بما أن العدد المركب ‪𝑧‬‏ يحقق هذه المعادلة، فإن محله الهندسي هو دائرة نصف قطرها يساوي اثنين، ويقع مركزها عند اثنين ناقص ثلاثة ‪𝑖‬‏.

ثمة طريقتان يمكننا من خلالهما كتابة المعادلة الكارتيزية لذلك. فيمكننا التعويض بـ ‪𝑧‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏ زائد ‪𝑦𝑖‬‏ في المعادلة المعطاة. ويمكننا، بدلًا من ذلك، تذكر المعادلة الكارتيزية لدائرة يقع مركزها عند ‪𝑎 𝑏‬‏، ونصف قطرها ‪𝑟‬‏. وهي: ‪𝑥‬‏ ناقص ‪𝑎‬‏ الكل تربيع زائد ‪𝑦‬‏ ناقص ‪𝑏‬‏ الكل تربيع يساوي ‪𝑟‬‏ تربيع.

وباعتبار ‪𝑥‬‏ الجزء الحقيقي، و‪𝑦‬‏ الجزء التخيلي، نعلم أنه فيما يخص الدائرة التي لدينا، يكون نصف قطرها يساوي اثنين، و‪𝑎‬‏ يساوي اثنين، و‪𝑏‬‏ يساوي سالب ثلاثة. بالتعويض بهذه القيم في الصيغة، نحصل على: ‪𝑥‬‏ ناقص اثنين الكل تربيع زائد ‪𝑦‬‏ ناقص سالب ثلاثة الكل تربيع يساوي اثنين تربيع. نبسط المعادلة الكارتيزية إلى: ‪𝑥‬‏ ناقص اثنين الكل تربيع زائد ‪𝑦‬‏ زائد ثلاثة الكل تربيع يساوي أربعة.

نتناول الآن الجزء الثاني من السؤال. أوجد مدى سعة ‪𝑧‬‏ في الفترة من سالب ‪𝜋‬‏ إلى ‪𝜋‬‏.

نبدأ برسم المحل الهندسي المعطى على مخطط أرجاند. تذكر أنه دائرة يقع مركزها عند النقطة: اثنين، سالب ثلاثة. ونصف قطرها يساوي وحدتين. هذا يعني أن المحور التخيلي يجب أن يكون مماسًّا لهذه الدائرة. يتضح تمامًا بعد ذلك أن أصغر قيمة ممكنة للسعة يجب أن تكون سالب ‪𝜋‬‏ على اثنين راديان. لكن ماذا عن أكبر قيمة لها؟

دعونا نسم ذلك ‪𝜃‬‏ ناقص ‪𝜋‬‏ على اثنين. وسنضيف مماسًّا آخر للدائرة. سنضيفه عند النقطة ‪𝐵‬‏. نعلم أن المثلثين ‪𝑂𝐵𝐶‬‏ و‪𝑂𝐴𝐶‬‏ متطابقان. فهما مثلثان قائما الزاوية، لهما وتران متساويا الطول. ويمثل نصف قطر الدائرة أحد الأضلاع في كل منهما. لذا، لا بد أنهما متطابقان. وهذا يعني أن هاتين الزاويتين الحادتين عند ‪𝑂‬‏ لا بد أن تكونا متساويتين. سنرمز لهما بـ ‪𝜃‬‏ على اثنين.

باستخدام مثلث قائم الزاوية، يمكننا ملاحظة أن ‪tan 𝜃‬‏ مقسومًا على اثنين يجب أن يساوي ‪𝐴𝐶‬‏ مقسومًا على ‪𝐴𝑂‬‏. ‏‪𝐴𝐶‬‏ يساوي وحدتين، و‪𝐴𝑂‬‏ يساوي ثلاث وحدات. إذن، ‪𝜃‬‏ على اثنين يجب أن يساوي دالة ‪tan‬‏ العكسية لثلثين. وبالتالي، يمكننا القول إن ‪𝜃‬‏ تساوي اثنين في دالة ‪tan‬‏ العكسية لثلثين. أكبر قيمة إذن هي اثنان في دالة ‪tan‬‏ العكسية لثلثين ناقص ‪𝜋‬‏ على اثنين. وبذلك نكون قد حصلنا على مدى السعة.

لننظر إلى الجزء الثالث من السؤال. أوجد مدى مقياس ‪𝑧‬‏.

نعرف أن أصغر قيمة لـ ‪𝑧‬‏ تقع عند النقطة ‪𝐷‬‏. وتقع أكبر قيمة عند النقطة ‪𝐸‬‏. وذلك لأن المقياس هو المسافة بين النقطة التي تمثل العدد المركب على مخطط أرجاند ونقطة الأصل. ونعلم بالفعل نصف قطر الدائرة. لذلك، يمكننا تحديد أصغر قيمة على أنها طول ‪𝑂𝐶‬‏ ناقص طول نصف القطر، وأكبر قيمة على أنها طول ‪𝑂𝐶‬‏ زائد طول نصف القطر.

ولقد عرفنا أن نصف القطر يساوي اثنين. إذن، أصغر قيمة هي ‪𝑂𝐶‬‏ ناقص اثنين، وأكبر قيمة هي طول ‪𝑂𝐶‬‏ زائد اثنين. ويمكننا استخدام صيغة المسافة أو تعريف المقياس لإيجاد طول ‪𝑂𝐶‬‏. تقع ‪𝐶‬‏ عند النقطة: اثنين، سالب ثلاثة. وبالتالي، فإن طول ‪𝑂𝐶‬‏ يساوي الجذر التربيعي لاثنين تربيع زائد سالب ثلاثة تربيع، وهو ما يساوي جذر 13. ويمكننا ملاحظة أن مدى مقياس ‪𝑧‬‏ هو القيم الموجودة بين جذر 13 ناقص اثنين وجذر 13 زائد اثنين. يمكننا أيضًا عكس هذه العملية وتطبيق الهندسة المستوية القياسية لنتمكن من وصف محل هندسي معطى في صورة معادلة بدلالة المقياس.

دعونا نر كيف يبدو ذلك.

يوضح الشكل محلًّا هندسيًّا للنقطة ‪𝑧‬‏ في المستوى المركب. اكتب معادلة للمحل الهندسي على الصورة: مقياس ‪𝑧‬‏ ناقص ‪𝑎‬‏ يساوي ‪𝑏‬‏؛ حيث ‪𝑎‬‏ عدد مركب، و‪𝑏‬‏ أكبر من صفر، وهما ثابتان مطلوب إيجاد قيمتيهما.

تذكر أن المحل الهندسي للنقطة ‪𝑧‬‏، التي تحقق المعادلة: مقياس ‪𝑧‬‏ ناقص ‪𝑧‬‏ واحد يساوي ‪𝑟‬‏؛ هو دائرة مركزها يقع عند ‪𝑧‬‏ واحد، ونصف قطرها ‪𝑟‬‏. علينا إيجاد مركز الدائرة ونصف قطرها الممثلين على المخطط.

نلاحظ أن محيط الدائرة يمر بثلاث نقاط. وهي النقاط التي تمثل الأعداد المركبة: صفر، وأربعة ‪𝑖‬‏، وسالب 10. نلاحظ أن الرأس الموجود عند ‪𝑧‬‏ واحد هو رأس زاوية قائمة. وبالتالي، نعرف أن الخط المستقيم الذي يربط بين ‪𝑧‬‏ واحد و‪𝑧‬‏ اثنين يمر بمركز الدائرة. فهو قطر الدائرة.

يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس لحساب طوله. ومن ثم، سنتمكن من إيجاد نصف القطر. نشير إلى القطر بالرمز ‪𝑑‬‏، ونجد أن ‪𝑑‬‏ يساوي الجذر التربيعي لـ 10 تربيع زائد أربعة تربيع. وهو ما يساوي اثنين جذر 29. نصف القطر يساوي نصف هذه القيمة. وبالتالي، طول نصف قطر الدائرة هو جذر 29 وحدة.

نعرف أيضًا أن مركز الدائرة يجب أن يقع عند نقطة منتصف القطر. يمكننا استخدام الهندسة المستوية القياسية هنا. ويمكننا، بدلًا من ذلك، تذكر حقيقة أن نقطة المنتصف بين عددين مركبين تساوي نصف مجموعهما. نلاحظ أن مركز الدائرة يقع عند النقطة التي تمثل عددًا مركبًا يساوي نصفًا في سالب 10 زائد أربعة ‪𝑖‬‏. وهو ما يساوي سالب خمسة زائد اثنين ‪𝑖‬‏. إذن، لدينا دائرة نصف قطرها يساوي جذر 29، ومركزها يقع عند سالب خمسة زائد اثنين ‪𝑖‬‏. يعني ذلك أن معادلة الدائرة، وبالتالي معادلة المحل الهندسي المعطى، هي: مقياس ‪𝑧‬‏ ناقص سالب خمسة زائد اثنين ‪𝑖‬‏ يساوي جذر 29.

في المثال التالي، نستخدم حقيقة أن المعادلة المعطاة في صورة: مقياس ‪𝑧‬‏ ناقص ‪𝑧‬‏ واحد يساوي مقياس ‪𝑧‬‏ ناقص ‪𝑧‬‏ اثنين تمثل منصفًا عموديًّا للقطعة المستقيمة التي تصل النقطة ‪𝑧‬‏ واحد بالنقطة ‪𝑧‬‏ اثنين. على سبيل المثال، مقياس ‪𝑧‬‏ يساوي مقياس ‪𝑧‬‏ ناقص ستة ‪𝑖‬‏ يمثل المحل الهندسي لجميع النقاط متساوية البعد من النقطتين: صفر، صفر؛ وصفر، ستة. لنتناول مثالًا أكثر تعقيدًا قليلًا.

العدد المركب ‪𝑧‬‏ يحقق معادلة: مقياس ‪𝑧‬‏ زائد واحد زائد ‪𝑖‬‏ يساوي مقياس ‪𝑧‬‏ ناقص اثنين ناقص ستة ‪𝑖‬‏. صف محل ‪𝑧‬‏ الهندسي، واكتب معادلته الكارتيزية. نبدأ بفصل الحدود إلى عوامل داخل كل مقياس للتأكد من أن هذا المحل الهندسي يبدو مثل الصيغة العامة.

وهي: مقياس ‪𝑧‬‏ ناقص ‪𝑧‬‏ واحد يساوي مقياس ‪𝑧‬‏ ناقص ‪𝑧‬‏ اثنين. وهو ما يعني أن مقياس ‪𝑧‬‏ ناقص سالب واحد ناقص ‪𝑖‬‏ يساوي مقياس ‪𝑧‬‏ ناقص اثنين زائد ستة ‪𝑖‬‏. يعني ذلك أن محل ‪𝑧‬‏ الهندسي معطى بكل النقاط متساوية البعد من سالب واحد ناقص ‪𝑖‬‏، واثنين زائد ستة ‪𝑖‬‏. وهو المنصف العمودي للقطعة المستقيمة بين النقطتين على مستوى أرجاند.

ويمكننا إيجاد معادلته الكارتيزية مثلما نوجد المعادلة الكارتيزية لأي خط مستقيم، أي من خلال إيجاد الميل أولًا. ميل القطعة المستقيمة بين هاتين النقطتين اللتين تمثلان العددين المركبين يساوي ستة ناقص سالب واحد على اثنين ناقص سالب واحد، وهو ما يساوي سبعة أثلاث. وبما أن المحل الهندسي للنقاط التي تمثل ‪𝑧‬‏ يشكل المنصف العمودي لهذه القطعة المستقيمة، نوجد الميل باستخدام حقيقة أن حاصل ضرب ميلي خطين مستقيمين متعامدين يساوي سالب واحد. وبالتالي، فإن الانحدار يساوي سالب ثلاثة أسباع.

نعرف أيضًا أن هذا الخط المستقيم يمر بنقطة المنتصف بين النقطتين اللتين تمثلان العددين المركبين. نقطة المنتصف هذه تساوي نصف مجموع هذين العددين المركبين. فهي تساوي نصفًا في سالب واحد ناقص ‪𝑖‬‏ زائد اثنين زائد ستة ‪𝑖‬‏. وهو ما يساوي نصفًا زائد خمسة على اثنين ‪𝑖‬‏. باستخدام الصيغة: ‪𝑦‬‏ ناقص ‪𝑦‬‏ واحد يساوي ‪𝑚‬‏ في ‪𝑥‬‏ ناقص ‪𝑥‬‏ واحد، وبمعلومية الإحداثيين الكارتيزيين: نصف، وخمسة على اثنين؛ نحصل على: ‪𝑦‬‏ ناقص خمسة على اثنين يساوي سالب ثلاثة أسباع في ‪𝑥‬‏ ناقص نصف.

ويمكننا إعادة ترتيب ذلك. فنجد أن معادلة الخط المستقيم هي: ‪𝑦‬‏ يساوي سالب ثلاثة أسباع ‪𝑥‬‏ زائد 19 على سبعة. في آخر مثالين بهذا الفيديو، سنتناول المحل الهندسي للنقطة ‪𝑧‬‏ التي تشكل دائرة مختلفة عن الدائرة المذكورة في المثال الأول، وتشكل قطعًا ناقصًا. التعريف الأول الذي علينا معرفته هنا هو أن المحل الهندسي للنقطة ‪𝑧‬‏، التي تحقق المعادلة: مقياس ‪𝑧‬‏ ناقص ‪𝑧‬‏ واحد يساوي ‪𝑘‬‏ في مقياس ‪𝑧‬‏ ناقص ‪𝑧‬‏ اثنين؛ عندما تكون قيمة ‪𝑘‬‏ أكبر من صفر ولا تساوي واحدًا، هو دائرة. علينا أيضًا معرفة أن المحل الهندسي للنقطة ‪𝑧‬‏، التي تحقق المعادلة: مقياس ‪𝑧‬‏ ناقص ‪𝑧‬‏ واحد زائد مقياس ‪𝑧‬‏ ناقص ‪𝑧‬‏ اثنين يساوي ‪𝑎‬‏؛ حيث مقياس ‪𝑧‬‏ واحد ناقص ‪𝑧‬‏ اثنين أصغر من ‪𝑎‬‏، هو قطع ناقص بؤرتاه هما: ‪𝑧‬‏ واحد، و‪𝑧‬‏ اثنان، وطول محوره الأكبر هو ‪𝑏‬‏.

العدد المركب ‪𝑧‬‏ يحقق المعادلة: مقياس ‪𝑧‬‏ زائد واحد ناقص 13𝑖 يساوي ثلاثة في مقياس ‪𝑧‬‏ ناقص سبعة ناقص خمسة ‪𝑖‬‏. أوجد المعادلة الكارتيزية لمحل ‪𝑧‬‏ الهندسي.

نعلم أن المحل الهندسي لنقاط ‪𝑧‬‏، التي تحقق هذه المعادلة، يشكل دائرة. يمكننا إيجاد مركز الدائرة ونصف قطرها من خلال التعويض بالصورة الجبرية العامة للعدد المركب في هذه المعادلة. نجعل ‪𝑧‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏ زائد ‪𝑦𝑖‬‏. في الطرف الأيسر، نحصل على ‪𝑥‬‏ زائد ‪𝑦𝑖‬‏ زائد واحد ناقص 13𝑖. وفي الطرف الأيمن، يصبح لدينا ‪𝑥‬‏ زائد ‪𝑦𝑖‬‏ ناقص سبعة ناقص خمسة ‪𝑖‬‏. يمكننا تجميع الأجزاء الحقيقية والأجزاء التخيلية.

وننظر بعد ذلك إلى تعريف المقياس. مقياس أي عدد مركب هو الجذر التربيعي لمجموع مربعي الجزأين الحقيقي والتخيلي. في هذه المسألة، يكون المقياس كما هو موضح. نقوم بتربيع كلا طرفي المعادلة. ونفك بعد ذلك الأقواس، ونجمع الحدود كلها. يمكننا حينئذ قسمة الكل على ثمانية. فيصبح لدينا: ‪𝑥‬‏ تربيع ناقص 16𝑥 زائد ‪𝑦‬‏ تربيع ناقص ثمانية ‪𝑦‬‏ زائد 62 يساوي صفرًا.

يمكننا بعد ذلك إكمال المربع. نلاحظ أن ذلك يبسط إلى ‪𝑥‬‏ ناقص ثمانية الكل تربيع زائد ‪𝑦‬‏ ناقص أربعة الكل تربيع يساوي 18. بذلك نكون قد وجدنا المعادلة الكارتيزية لمحل ‪𝑧‬‏ الهندسي. في الحقيقة، يمكننا وصف هذا المحل الهندسي بأنه دائرة، كما ذكرنا مسبقًا. لكننا نعرف الآن أن مركز هذه الدائرة يقع عند النقطة ذات الإحداثيين الكارتيزيين: ثمانية، وأربعة. ونصف قطرها يساوي جذر 18، وهو ما يمكن تبسيطه إلى ثلاثة جذر وحدتين.

العدد المركب ‪𝑧‬‏ يحقق العلاقة: مقياس ‪𝑧‬‏ زائد مقياس ‪𝑧‬‏ ناقص خمسة ناقص ثلاثة ‪𝑖‬‏ يساوي ثمانية. صف المحل الهندسي للعدد ‪𝑧‬‏.

تذكر أن المحل الهندسي للنقطة ‪𝑧‬‏، التي تحقق مقياس ‪𝑧‬‏ ناقص ‪𝑧‬‏ واحد زائد مقياس ‪𝑧‬‏ ناقص ‪𝑧‬‏ اثنين يساوي ‪𝑎‬‏؛ حيث مقياس ‪𝑧‬‏ واحد ناقص ‪𝑧‬‏ اثنين أصغر من ‪𝑎‬‏، يمثل قطعًا ناقصًا تقع بؤرتاه عند ‪𝑧‬‏ واحد و‪𝑧‬‏ اثنين، وطول محوره الأكبر هو ‪𝑏‬‏. يمكننا إعادة كتابة المعادلة بطريقة ما لتكون: مقياس ‪𝑧‬‏ ناقص صفر زائد مقياس ‪𝑧‬‏ ناقص خمسة زائد ثلاثة ‪𝑖‬‏ يساوي ثمانية. هذا يعني أن محل ‪𝑧‬‏ الهندسي يمثل قطعًا ناقصًا. تقع بؤرتاه عند نقطة الأصل، وخمسة زائد ثلاثة ‪𝑖‬‏. وطول محوره الأكبر يساوي ثماني وحدات.

في هذا الدرس، رأينا أنه يمكننا استخدام معرفتنا بالهندسة وهندسة المستوى المركب لتفسير المحال الهندسية للنقاط التي تحقق معادلات معينة. وعرفنا أن المحل الهندسي للنقطة ‪𝑧‬‏، التي تحقق هذه المعادلة، يشكل دائرة نصف قطرها ‪𝑟‬‏. المحل الهندسي للنقاط التي تحقق هذه المعادلات يشكل منصفًا عموديًّا للقطعة المستقيمة التي تصل بين ‪𝑧‬‏ واحد و‪𝑧‬‏ اثنين. عرفنا أيضًا الصورة البديلة للمحل الهندسي للنقاط التي تشكل دائرة، بالإضافة إلى المحل الهندسي للنقاط التي تشكل قطعًا ناقصًا.

Nagwa uses cookies to ensure you get the best experience on our website. Learn more about our Privacy Policy.