فيديو السؤال: استخدام متطابقات الدوال الدورية لإيجاد قيمة تعبير يحتوي على دوال مثلثية تتضمن زوايا خاصة الرياضيات

احسب جا ٣١٥°جتا ٤٥° − جتا ١٢٠° جا ٣٣٠°.

٠٤:٣٢

‏نسخة الفيديو النصية

احسب جا ٣١٥ درجة مضروبًا في جتا ٤٥ درجة ناقص جتا ١٢٠ درجة مضروبًا في جا ٣٣٠ درجة.

قبل البدء في حل هذا السؤال، علينا أن نتذكر بعض خواص الزوايا الخاصة. ‏جا ٣٠ درجة يساوي نصفًا. و جا ٤٥ درجة يساوي واحدًا على جذر اثنين، ويكتب أيضًا على صورة جذر اثنين على اثنين. أما جا ٦٠ درجة فيساوي جذر ثلاثة على اثنين. يمكننا استخدام ذلك مع التمثيل البياني لدالة الجيب من صفر إلى ٣٦٠ درجة لحساب قيم الزوايا الخاصة الأخرى. في هذا السؤال، علينا حساب جا ٣١٥ درجة وجا ٣٣٠ درجة. منحنى دالة الجيب يكون على شكل موجة بخمس نقاط رئيسية. ‏‪جا‬‏ صفر يساوي صفرًا. ‏جا ٩٠ يساوي واحدًا. ‏جا ١٨٠ يساوي صفرًا. ‏جا ٢٧٠ يساوي سالب واحد. ‏جا٣٦٠ يساوي صفرًا.

ونحن نعلم أن جا ٣٠ درجة يساوي نصفًا. تبعد ٣٣٠ درجة عن ٣٦٠ درجة بمقدار ٣٠ درجة. وبما أن التمثيل البياني متماثل، يمكننا ملاحظة أن هذا سيساوي سالب نصف. إذن جا ٣٣٠ درجة يساوي سالب نصف. يمكننا استخدام الطريقة نفسها مع ٤٥ درجة و٣١٥ درجة؛ لأن ٣٦٠ ناقص ٤٥ يساوي ٣١٥. وعليه، جا ٣١٥ درجة يساوي سالب واحد على جذر اثنين.

يمكننا الآن تكرار هذه العملية لحساب جتا ٤٥ وجتا ١٢٠. والزوايا الثلاث الخاصة التي علينا معرفة قيمها بالنسبة إلى دالة جيب التمام هي جتا ٣٠ درجة يساوي جذر ثلاثة على اثنين، وجتا ٤٥ درجة يساوي واحدًا على جذر اثنين، وجتا ٦٠ درجة يساوي نصفًا. منحنى دالة جيب التمام يكون أيضًا متماثلًا وعلى شكل موجة. ولكنه يبدأ عند واحد بدلًا من صفر. و‪جتا‬‏ صفر يساوي واحدًا. إننا نعلم بالفعل أن جتا ٤٥ يساوي واحدًا على جذر اثنين. لذا، علينا استخدام التمثيل البياني لحساب جتا ١٢٠.

وبما أن جتا ٦٠ درجة يساوي نصفًا، يمكننا أن نلاحظ من التمثيل البياني أن جتا ١٢٠ درجة يساوي سالب نصف. والآن، أصبح لدينا أربع قيم لـ جا ٣١٥ درجة وجتا ٤٥ درجة وجتا ١٢٠ درجة وجا ٣٣٠ درجة. وهذه القيم هي: سالب واحد على جذر اثنين، وواحد على جذر اثنين، وسالب نصف، وسالب نصف على الترتيب. بالتعويض بهذه القيم في العملية الحسابية، نحصل على سالب واحد على جذر اثنين مضروبًا في واحد على جذر اثنين ناقص سالب نصف مضروبًا في سالب نصف. عند ضرب كسرين، نضرب البسطين معًا ونضرب المقامين معًا، كلًّا على حدة.

سالب واحد مضروبًا في واحد يساوي سالب واحد، لأن ضرب عدد سالب في عدد موجب يعطينا ناتجًا سالبًا. بضرب الجذر التربيعي لـ ﺃ في الجذر التربيعي لـ ﺃ، نحصل على ﺃ. وهذا يعني أن الجذر التربيعي لاثنين مضروبًا في الجذر التربيعي لاثنين يساوي اثنين. يمكننا أيضًا التفكير في ذلك على صورة الجذر التربيعي لأربعة؛ لأن اثنين مضروبًا في اثنين يساوي أربعة. ونحن نعلم أن الجذر التربيعي لأربعة يساوي اثنين. وهكذا، سالب واحد على جذر اثنين مضروبًا في واحد على جذر اثنين يساوي سالب نصف.

علينا أيضًا ضرب سالب نصف في سالب نصف. وهذا يساوي ربعًا، لأن نصفًا مضروبًا في نصف يساوي ربعًا، وضرب عددين سالبين يعطينا ناتجًا موجبًا. ويتبقى لدينا سالب نصف ناقص ربع.

لجمع الكسور أو طرحها، علينا التأكد من وجود مقام مشترك. سالب نصف يكافئ سالب ربعين. لقد ضربنا البسط والمقام في اثنين. علينا طرح ربع من سالب ربعين. وبما أن المقامين متساويان الآن، فعلينا فقط طرح البسطين. سالب اثنين ناقص واحد يساوي سالب ثلاثة. هذا يعني أن الإجابة النهائية هي سالب ثلاثة أرباع. ‏جا ٣١٥ درجة مضروبًا في جتا ٤٥ درجة ناقص جتا ١٢٠ درجة مضروبًا في جا ٣٣٠ درجة يساوي سالب ثلاثة أرباع.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.