فيديو السؤال: إيجاد المشتقة العكسية لدالة كثيرة حدود الرياضيات

أوجد المشتقة العكسية للدالة ﺩ(ﺱ) = ٢ﺱ^٢ + ٣ﺱ + ٣.

٠٤:٥٥

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد المشتقة العكسية للدالة ﺩﺱ تساوي اثنين ﺱ تربيع زائد ثلاثة ﺱ زائد ثلاثة.

فلنسترجع أولًا كيفية إيجاد مشتقة دالة عامة تساوي المتغير ﺱ الذي معامله ﺃ ومرفوع للقوة ﻥ. أولًا، علينا الضرب في أس ﺱ، وهو ﻥ في هذه الحالة. الأمر الثاني هو تقليل أس ﺱ بمقدار واحد، لتصبح ﻥ ناقص واحد. ها نحن قد استرجعنا كيفية إيجاد مشتقة دالة عامة. لإيجاد المشتقة العكسية، علينا عكس هذه الخطوات.

إذا عكسنا الخطوة الأخيرة، فسنجد أنه لإيجاد المشتقة العكسية علينا أولًا زيادة أس ﺱ بمقدار واحد. ثم نقسم على أس ﺱ. الجدير بالذكر أنه عند محاولة إيجاد المشتقة، نضرب في الأس الأصلي لـ ﺱ قبل تقليله بمقدار واحد. ولعكس هذه الخطوة، علينا القسمة على الأس الجديد لـ ﺱ بعد زيادته بمقدار واحد. فلنستعرض بعض الأمثلة لنتأكد من أننا لم نغفل أيًا من الخطوات.

افترض أن لدينا الدالة ﺩﺱ تساوي ﺱ تكعيب. باستخدام القواعد، مشتقة هذه الدالة تساوي ثلاثة ﺱ تربيع. والآن تخيل أن هناك دالة أخرى: الدالة ﺩﺱ تساوي ﺱ تكعيب زائد واحد. باشتقاق هذه الدالة، نجد أن الإجابة هي أيضًا ثلاثة ﺱ تربيع. سيكون الأمر صحيحًا أيضًا عند إضافة أو طرح أي ثابت. يمكننا الإشارة إلى الثابت بالرمز ﺙ. وبما أن الثوابت لا تؤثر على مشتقة الدالة، يمكننا القول إنها تختفي بشكل ما.

علينا أن نكون حريصين أثناء التحرك في الاتجاه العكسي لإيجاد المشتقة العكسية؛ لأنه بهذا المنطق قد تعود الثوابت للظهور. يمكننا إذن إضافة خطوة أخيرة لعملية إيجاد المشتقة العكسية، وهي إضافة الثابت ﺙ. فلنحدد الآن الخطوات اللازمة لإيجاد المشتقة العكسية. نبدأ بمشتقة دالة في المتغير ﺱ تساوي ﺃﺱ أس ﻥ. إذن، المشتقة العكسية لهذه الدالة هي الدالة ﺩﺱ.

في الخطوة الأولى، نزيد أس ﺱ بمقدار واحد لنحصل على ﻥ زائد واحد. الخطوة الثانية هي القسمة على الأس الجديد ﻥ زائد واحد. وأخيرًا، نضيف الثابت ﺙ. بعد أن حددنا الخطوات، يمكننا الآن تطبيقها على الدالة المعطاة في السؤال. هذا الرمز، الذي قد يكون غير مألوف بالنسبة لك، يعني ببساطة أننا سنوجد المشتقة العكسية بالنسبة لـ ﺱ. فلنطبق هذه الخطوات خطوة بخطوة، ونبدأ باثنين ﺱ تربيع.

أولًا، نزيد أس ﺱ بمقدار واحد ليصبح لدينا اثنان ﺱ أس اثنين زائد واحد. وهذا بالطبع يساوي اثنين ﺱ تكعيب. ثم نقسم على الأس الجديد، لنحصل على اثنين ﺱ تكعيب على ثلاثة. ثم الخطوة النهائية، وهي إضافة الثابت ﺙ، وسنعود إليها لاحقًا. فلننتقل الآن إلى الحد الثاني في المعادلة: ثلاثة ﺱ. نزيد أس ﺱ بمقدار واحد، فيصبح لدينا ثلاثة ﺱ أس واحد زائد واحد. أي ثلاثة ﺱ تربيع. ثم نقسم على الأس الجديد، وهي اثنان، ليصبح لدينا ثلاثة ﺱ تربيع على اثنين.

وبالنظر إلى الحد الأخير، وهو ثلاثة، قد يكون مفيدًا أن نعرف أنه يمكن كتابة الثلاثة بالصورة ثلاثة ﺱ أس صفر. وذلك لأن ﺱ أس صفر يساوي واحدًا. وبالتالي فنحن نضرب ثلاثة في واحد، ما يساوي ثلاثة. باستخدام هذه الطريقة، نرى أن ﺱ أس صفر يمكن زيادة أسه بمقدار واحد ليصبح ثلاثة ﺱ أس صفر زائد واحد. وهذا بالطبع يساوي ثلاثة ﺱ أس واحد. بالقسمة على الأس الجديد، واحد، نحصل على الحد نفسه. إذن يمكننا كتابته بالصورة ثلاثة ﺱ.

وأخيرًا، ربما تكون قد لاحظت أنه في كل حد من الحدود الثلاثة، كنا نتجاوز الخطوة الثالثة ولا نضيف الثابت. كان بإمكاننا فعل ذلك مع كل حد، مع تمييز الثابت، واحد، واثنان، وثلاثة، أي ثابت لكل حد. وبما أن هذه الثوابت غير محددة، يمكننا اتباع طريقة أخرى لتنظيمها، وهي بتعيين الحرف ﺙ ليساوي ﺙ واحد زائد ﺙ اثنين زائد ﺙ ثلاثة. وهكذا يمكننا ببساطة إضافة ثابت واحد في نهاية المعادلة.

بهذا نكون قد أتممنا الخطوات. وقد وجدنا أن المشتقة العكسية للدالة المعطاة هي اثنان ﺱ تكعيب على ثلاثة زائد ثلاثة ﺱ تربيع على اثنين زائد ثلاثة ﺱ زائد ﺙ.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.