فيديو: حساب التكامل للدوال

سوزان فائق

يوضِّح الفيديو مفهوم التكامل المحدد والتكامل غير المحدد، والفرق بينهما، وكيفية حساب كلٍّ منهما، ومثالًا تطبيقيًّا.

٠٨:٥٨

‏نسخة الفيديو النصية

في الفيديو ده هنتكلم على حساب التكامل للدوال. هنعرف إيه أنواع التكاملات، والفرق ما بينهم، وإزاي نحسب قيمة كل منهم. فيه نوعين من التكاملات، اللي هو التكامل غير المحدد، والتكامل المحدد. التكامل غير المحدد بنرمز له بالرمز ده، اللي هو علامة التكامل ما بيبقاش عليها حدود تكامل للدالة د س في د س. التكامل المحدد بيبقى علامة التكامل، وبيبقى فيه حد أعلى للدالة وحد أدنى اللي هو نهاية الفترة وبداية الفترة د س د س.

في التكامل غير المحدد بنجيب المشتقة العكسية للدالة د س. وبيبقى فيه صورة عامة لها. يعني بتبقى ت س اللي هو المشتقة العكسية اللي بتبقى عكس التفاضل زائد عدد ثابت؛ علشان بيبقى عندنا عدد لا نهائي من الدوال اللي بتشترك مع التفاضل بتاع الدالة ت س، في حالة كل شوية نغير الثابت. لأن تفاضل الثابت بصفر فما بيظهرش عندنا في الدالة د س. لكن في التكامل المحدد بيبقى فيه قيمة للحد الأعلى وقيمة للحد الأدنى للدالة، اللي هي المشتقة العكسية للـ ت. بيبقى قيمتها ت ب ناقص الـ ت الـ أ. وده باستخدام النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل اللي بنحسب عندها المشتقة العكسية للدالة د س، ونعوّض بقيمة الحد الأعلى للتكامل والحد الأدنى للتكامل.

في حالة التكامل غير المحدد بينتج عندنا دالة عامة. لكن في حالة التكامل المحدّد بيبقى عندنا قيمة. يبقى قبل ما نحسب أي تكامل، لازم نحدّد إذا كان تكامل محدّد أو غير محدد.

ناخد مثال على الكلام ده: احسب كل تكامل مما يأتي.

أول واحدة: أ التكامل تسعة س ناقص س تكعيب د س. والتكامل التاني تكامل من اتنين إلى تلاتة تسعة س ناقص س تكعيب د س.

التكامل الأولاني ده ما فيش أرقام على حدود التكامل، يبقى ده تكامل غير محدّد. التكامل التاني فيه أرقام على حدود التكامل، يبقى تكامل محدد. في التكامل الغير محدد بنجيب بس المشتقة العكسية، وبيبقى فيها ثابت. التكامل المحدد باستخدام النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل.

هنحل رقم أ. يبقى التكامل تسعة س ناقص س تكعيب د س. هنجيب المشتقة العكسية للدالة تسعة س ناقص س تكعيب. هتبقى … التسعة س دي ثابت مضروب في دالة قوة. بنزود أُسّ دالة القوة واحد، وبنقسم عليه. يعني هتبقى التسعة س تربيع على الاتنين. ناقص س تكعيب. هنزود الأس واحد، يبقى أربعة، ونقسم عليه. زائد الثابت اللي بيدّيلنا الصورة العامة، اللي هو التكامل غير المحدد اللي ما بيبقاش دالة واحدة بس. بيبقى مجموعة من الدوال المشتركة في نفس العدد الثابت.

يبقى التكامل غير المحدّد هيبقى قيمته تسعة على اتنين س تربيع ناقص رُبع س أُس أربعة زائد الثابت.

الجزئية التانية في المثال. تكامل المحدد من اتنين إلى تلاتة تسعة س ناقص س تكعيب د س. هنستخدم النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل، اللي بتقول لنا إن إحنا ناخد المشتقة العكسية، ونعوّض بالقيمتين تلاتة واتنين. يعني نجيب المشتقة العكسية تسعة س ناقص س تكعيب زي ما حسبناها دلوقتي، اللي هي تسعة على اتنين س تربيع ناقص رُبع س أُس أربعة. ونعوّض مرة بالتلاتة ومرة بالاتنين. ونطرحهم من بعض. يعني تسعة على اتنين س تربيع هنحطها، يبقى تلاتة تربيع ناقص رُبع س أُس أربعة، اللي هي تلاتة أُس أربعة. ده التعويض عن التلاتة ناقص التعويض عن الاتنين. يبقى تسعة على اتنين. اتنين تربيع ناقص رُبع في اتنين أُس أربعة. وما ننساش إن إحنا هناخدهم في قوس لوحدهم؛ علشان بعد كده الإشارة دي هتضّرب في القوس، وهتغير إشارة الحد التاني اللي جوه.

لمّا هنبسّط هتطلع القيمة تساوي ستة ورُبع. في الجزئية الأولانية التكامل غير المحدد طلع لنا دالة. لكن التكامل المحدد طلع لنا قيمة.

نقلب الصفحة. يبقى بنلاحظ إن التكامل غير المحدّد بيعطي المشتقة العكسية للدالة. في حين لا يُعطي التكامل المحدد المشتقة العكسية للدالة بصورة صريحة. بل هو الفرق بين قيمتَيْ المشتقة العكسية عند الحد الأدنى والحد الأعلى. أي أن التكامل غير المحدّد بيعطي دالة، وهي المشتقة العكسية. ويمكن استخدامها لإيجاد مساحة المنطقة تحت منحنى الدالة بين أي حدّين أعلى وأدنى؛ ليصبح التكامل محدّد. يعني نجيب المساحة بالصورة العامة، وبعد كده نعرف بداية المنطقة ونهاية المنطقة اللي همّ الحدّين الأعلى والأدنى. يبقى كده حوّلناه لتكامل محدد.

نقلب الصفحة وناخد مثال كمان.

يعطى الشغل اللازم لشد نابض ما مسافة نص متر من موضعه الطبيعي بالتكامل من صفر إلى نص لتلتمية وستين س د س. فما قيمة الشغل اللازم لشد نابض بوحدة الجول؟

يعني عايزين نحسب قيمة التكامل المحدد ده. يبقى من صفر إلى نص تلتمية وستين س د س. باستخدام قاعدة ضرب دالة القوة في عدد ثابت علشان نعرف نحسب المشتقة العكسية للتلتمية وستين س. وبعد كده نستخدم النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل، اللي بيبقى فيها التعويض بالحد الأدنى والحد الأعلى لحدود التكامل في المشتقة العكسية وإيجاد القيمة. يبقى هنحسب المشتقة العكسية للتلتمية وستين س، اللي هي هتساوي … الثابت هنسيبه زي ما هو، والـ س هنزوّد الأس واحد، يبقى س تربيع ونقسم عليه. وهنعوض بحدود التكامل من الصفر إلى النص. يبقى هتساوي تلتمية وستين على الاتنين. مرة س تربيع هنعوّض بالنص. ومرة التانية هنعوّض بالـ صفر. يبقى هيساوي خمسة وأربعين جول. وده قيمة الشغل اللازم لشَدّ النابض.

هنا لمّا كنا بنحسب التكامل المحدد، أهملنا وجود الثابت بتاع المشتقة العكسية للدالة. لكن في التكامل غير المحدد، لازم ناخد بالنا إن إحنا نحط الثابت في الدالة اللي هي بتمثل المشتقة العكسية؛ لأنه يمكن تجاهل الثابت عند حساب التكامل المحدد. إلا أنه يجب أخذه في الاعتبار عند حساب التكامل غير المحدد؛ لأنه جزء من المشتقة العكسية.

في الفيديو ده عرفنا الفرق ما بين التكامل المحدد والتكامل غير المحدد. وإزاي بنحسب قيمهم. في التكامل المحدد بنستخدم النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل. التكامل غير المحدّد بنستخدم قواعد المشتقات العكسية. والمشتقات العكسية اللي هي عكس التفاضل، اللي هو تكامل الدالة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.