نسخة الفيديو النصية
أوجد قا 𝜃، علمًا بأن 𝜃 في وضعها القياسي وضلعها النهائي يمر بالنقطة أربعة أخماس، ثلاثة أخماس.
لإجابة هذا السؤال، من المفيد أن تتذكر دائرة الوحدة. تذكر، نصف قطر هذه الدائرة يساوي واحدًا، ويمكننا إضافة القيم التالية للزاوية 𝜃 إلى التمثيل البياني من خلال التحرك في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة.
نبدأ من الصفر، ثم 𝜋 على اثنين راديان، ثم 𝜋 راديان، ثم ثلاثة 𝜋 على اثنين راديان، وفي النهاية توصلنا الدورة الكاملة إلى البداية، أي اثنين 𝜋 راديان. الضلع النهائي هو الضلع الذي يحدد قيمة الزاوية. وهو في حالة دائرة الوحدة، نصف قطر الدائرة.
بما أننا نعرف أن الضلع النهائي يمر بالنقطة أربعة أخماس، ثلاثة أخماس، إذن يمكننا إضافة 𝜃 إلى الرسم. الزوج المرتب أربعة أخماس، ثلاثة أخماس يقع في الربع الأول. إذن قيمة 𝜃 تقع بين الصفر و𝜋 على اثنين راديان.
هذا الزوج المرتب يخبرنا بأبعاد المثلث القائم الزاوية. بما أن قيمة ﺱ هي أربعة أخماس، فإن طول الضلع المجاور للزاوية 𝜃 يساوي أربعة أخماس. وبما أن قيمة ﺹ في الزوج المرتب هي ثلاثة أخماس، إذن طول الضلع المقابل للزاوية 𝜃 يساوي ثلاثة أخماس.
تذكر أنها دائرة وحدة. نصف قطر هذه الدائرة يساوي واحدًا، إذن طول الوتر يساوي واحدًا أيضًا. هذا مفيد للغاية بما أننا نحاول إيجاد قيم جا وجتا وظا للزاوية 𝜃 باستخدام حساب مثلثات للمثلث القائم الزاوية. لكن كيف يمكننا إيجاد قيمة قا 𝜃؟
قا 𝜃 يساوي واحدًا على جتا 𝜃، لذا أولًا علينا إيجاد قيمة جتا 𝜃. جتا 𝜃 يساوي طول الضلع المجاور على طول الوتر. يمكننا تسمية أضلاع المثلث القائم الزاوية بالنسبة إلى الزاوية 𝜃، لنجد أن طول الضلع المقابل ثلاثة أخماس وطول الضلع المجاور أربعة أخماس وطول الوتر واحد.
بالتعويض بهذه القيم في صيغة جتا 𝜃، يصبح لدينا جتا 𝜃 يساوي أربعة أخماس على واحد، أي أربعة أخماس فقط. بما أن قا 𝜃 يساوي واحدًا على جتا 𝜃، لقيمة 𝜃 التي لدينا، فإن قا 𝜃 يساوي واحدًا على أربعة أخماس أو واحدًا مقسومًا على أربعة أخماس.
للقسمة على كسر، نغير علامة القسمة إلى علامة ضرب ونوجد مقلوب الكسر الثاني. هذا يساوي واحدًا في خمسة على أربعة، أي خمسة على أربعة ببساطة. قا 𝜃 إذن يساوي خمسة على أربعة.
