فيديو السؤال: اشتقاق الدوال التي تتضمن نسبًا مثلثية باستخدام قاعدة السلسلة الرياضيات

إذا كان ﺹ = ٨ قا^٢ ٥ﺱ − ٦، فأوجد ﺩﺹ‏/‏ﺩﺱ.

٠٦:٣٥

‏نسخة الفيديو النصية

إذا كان ﺹ يساوي ثمانية في قا تربيع خمسة ﺱ ناقص ستة، فأوجد ﺩﺹ على ﺩﺱ.

علينا هنا إيجاد مقدار يعبر عن مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ، علمًا بأن ﺹ يساوي ثمانية في قا تربيع خمسة ﺱ ناقص ستة. وهناك عدة طرق لفعل ذلك. على سبيل المثال، يمكننا إعادة كتابة ثمانية في قا تربيع خمسة ﺱ في صورة ثمانية في قا خمسة ﺱ مضروبًا في قا خمسة ﺱ. يمكننا بعد ذلك إيجاد قيمة هذه المشتقة باستخدام قاعدة الضرب. وبالمثل، بما أن قا تربيع خمسة ﺱ هو تركيب دالتين، فإننا نأخذ قا خمسة ﺱ، ثم نقوم بتربيع هذا المقدار بالكامل. يمكننا إيجاد قيمة ذلك باستخدام قاعدة السلسلة، وهذا يمكن فعله أيضًا. لكننا سنوجد قيمة ذلك باستخدام قاعدة القوة.

إننا نعلم أن قاعدة القوة تنص على أنه لأي ثابت ﻥ ودالة قابلة للاشتقاق ﺭﺱ، أو مشتقة ﺭﺱ، الكل مرفوع للقوة ﻥ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﻥ في ﺭ شرطة ﺱ مضروبًا في ﺭﺱ الكل مرفوع للقوة ﻥ ناقص واحد. في الواقع، هذا مجرد تطبيق لقاعدة السلسلة. لاستخدام قاعدة القوة، علينا أن نلاحظ أن قا تربيع خمسة ﺱ يساوي قا خمسة ﺱ الكل تربيع.

وتجدر الإشارة إلى أن هذه هي المشتقة الوحيدة التي علينا حسابها. هذا لأننا نعلم أنه يمكننا إيجاد قيمة مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ حدًّا تلو الآخر، ومشتقة الثابت سالب ستة تساوي صفرًا. وبالطبع، يمكننا إخراج العامل الثابت ثمانية خارج المشتقة. إذن لتطبيق قاعدة القوة على قا خمسة ﺱ الكل تربيع، سنجعل ﺭﺱ هي الدالة الداخلية، أي قا خمسة ﺱ، ونجعل ﻥ يساوي الأس اثنين. وبالطبع، لتطبيق قاعدة القوة، علينا إيجاد مقدار يعبر عن ﺭ شرطة ﺱ. وهي مشتقة قا خمسة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.

هناك طرق مختلفة لإيجاد قيمة هذه المشتقة. على سبيل المثال، يمكننا إعادة كتابة قا خمسة ﺱ في صورة واحد على جتا خمسة ﺱ، ثم نطبق قاعدة القوة أو قاعدة القسمة. لكن الأسهل هو تذكر إحدى النتائج القياسية لمشتقة الدالة المثلثية. لأي ثابت ﺃ، مشتقة قا ﺃﺱ بالنسبة لـ ﺱ تساوي ﺃ في ظل ﺃﺱ مضروبًا في قا ﺃﺱ. وفي المثال لدينا، قيمة ﺃ تساوي خمسة. إذن، لدينا ﺭ شرطة ﺱ يساوي خمسة في ظا خمسة ﺱ مضروبًا في قا خمسة ﺱ.

نحن الآن جاهزون لإيجاد مقدار لمشتقة قا تربيع خمسة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ باستخدام قاعدة القوة. إنه يساوي ﻥ في ﺭ شرطة ﺱ مضروبًا في ﺭﺱ، الكل مرفوع للقوة ﻥ ناقص واحد. بالتعويض بقيم ﻥ وﺭﺱ وﺭ شرطة ﺱ، نحصل على قيمة هذه المشتقة وهي اثنان في خمسة ظا خمسة ﺱ في قا خمسة ﺱ مضروبًا في قا خمسة ﺱ أس اثنين ناقص واحد. ويمكننا التبسيط بالطبع. لدينا هنا الأس اثنان ناقص واحد ويمكننا تبسيطه ليعطينا واحدًا، ونحن نعلم أن رفع قيمة ما للقوة واحد لا يغير تلك القيمة.

لدينا بعد ذلك قا خمسة ﺱ مضروبًا في قا خمسة ﺱ. إذن يمكننا تبسيط ذلك لنحصل على قا تربيع خمسة ﺱ. ويمكننا أيضًا تبسيط اثنين في خمسة لنحصل على ١٠. سنبسط ذلك ليصبح لدينا ١٠ في ظا خمسة ﺱ مضروبًا في قا تربيع خمسة ﺱ. لكننا لم ننته بعد. تذكر أننا اشتققنا قا تربيع خمسة ﺱ فقط. علينا أيضًا اشتقاق المقدار الذي يعبر عن ﺹ، إذن علينا إيجاد مقدار يعبر عن ﺩﺹ على ﺩﺱ. وهو مشتقة ثمانية في قا تربيع خمسة ﺱ ناقص ستة بالنسبة إلى ﺱ.

أولًا، سنوجد قيمة هذه المشتقة حدًّا تلو الآخر. وهي مشتقة ثمانية في قا تربيع خمسة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ ناقص مشتقة ستة بالنسبة إلى ﺱ. العدد ستة هو عدد ثابت بالطبع، ومن ثم فإن مشتقته بالنسبة إلى ﺱ تساوي صفرًا. بعد ذلك، سنستخدم قوانين المشتقات لإخراج العامل الثابت ثمانية خارج المشتقة. وقد وجدنا بالفعل مقدارًا يعبر عن مشتقة قا تربيع خمسة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. إنه يساوي ١٠ ظا خمسة ﺱ في قا تربيع خمسة ﺱ.

إذا عوضنا بذلك في المقدار لدينا، فسنحصل على ثمانية في ١٠ ظا خمسة ﺱ مضروبًا في قا تربيع خمسة ﺱ. وأخيرًا، يمكننا تبسيط ثمانية في ١٠ لنحصل على ٨٠. ومن ثم، باستخدام قاعدة القوة، استطعنا توضيح ما إذا كان ﺹ يساوي ثمانية في قا تربيع خمسة ﺱ ناقص ستة، وبالتالي فإن مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ٨٠ مضروبًا في ظا خمسة ﺱ مضروبًا في قا تربيع خمسة ﺱ.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.