نسخة الفيديو النصية
عبر عن جتا تكعيب 𝜃 بدلالة جيوب تمام مضاعفات 𝜃.
في هذا السؤال، نريد إيجاد مقدار لـ جتا تكعيب 𝜃 بدلالة جيوب تمام مضاعفات الزاوية 𝜃. إن أسهل طريقة للإجابة عن هذا السؤال هي استخدام نظرية ديموافر. تنص إحدى صور نظرية ديموافر على أنه لأي عدد صحيح ﻥ وعدد حقيقي 𝜃، فإن جتا 𝜃 زائد ﺕ جا 𝜃 الكل أس ﻥ يساوي جتا ﻥ𝜃 زائد ﺕ جا ﻥ𝜃. إذا أردنا استخدام ذلك للإجابة عن سؤالنا، فعلينا اختيار قيمة ﻥ التي تساوي ثلاثة، وبالتالي يصبح لدينا جتا تكعيب 𝜃 في هذا المقدار. لكن إذا فعلنا هذا، فعند التوزيع على القوس، سنحصل في النهاية على حدود بها جا 𝜃. ولكن السؤال يطلب منا فقط استخدام الحدود التي تتضمن جتا 𝜃، لذا سيتطلب الأمر استخدام نتيجة إضافية.
إذا افترضنا أن ﻉ هو المقدار الموجود داخل القوس في نظرية ديموافر، فستخبرنا نظرية ديموافر أن ﻉ أس ﻥ يساوي جتا ﻥ𝜃 زائد ﺕ جا ﻥ𝜃. بعد ذلك، يمكننا استخدام ذلك للحصول على نتيجتين مفيدتين جدًا. ﻉ أس ﻥ زائد واحد على ﻉ أس ﻥ يساوي اثنين جتا ﻥ𝜃، وﻉ أس ﻥ ناقص واحد على ﻉ أس ﻥ يساوي اثنين ﺕ جا ﻥ𝜃. ويمكننا إثبات هاتين النتيجتين بتذكر أن نظرية ديموافر تصلح لأي قيمة صحيحة لـ ﻥ، وواحد على ﻉ أس ﻥ يساوي ﻉ أس سالب ﻥ. هاتان النتيجتان مفيدتان للغاية وجدير بنا أن نتذكرهما جيدًا.
نريد استخدام هاتين النتيجتين لإيجاد مقدار لـ جتا تكعيب 𝜃، لذا سنستخدم المقدار الذي يتضمن جيب التمام. وسنبدأ بجعل قيمة ﻥ مساوية لواحد لأننا نريد إيجاد مقدار لـ جتا تكعيب 𝜃 فقط. وبمساواة ﻥ بواحد، نحصل على اثنين جتا 𝜃 يساوي ﻉ زائد واحد على ﻉ. إننا نريد مقدارًا لـ جتا تكعيب 𝜃، لذا علينا بعد ذلك تكعيب كلا طرفي المعادلة، ويمكننا تبسيط كل طرف على حدة. في الطرف الأيمن من المعادلة، علينا تكعيب كل عامل على حدة. وهذا يعطينا اثنين تكعيب، أي ثمانية، مضروبًا في جتا تكعيب 𝜃. وفي الطرف الأيسر من هذا المقدار، لدينا مجموع حدين مرفوع للقوة ثلاثة. هذا مقدار ذو حدين.
بالتالي، يمكننا فك الطرف الأيسر من هذا المقدار باستخدام نظرية ذات الحدين. تذكر أنها تنص على أنه لأي قيمة صحيحة موجبة ﻙ، فإن ﺃ زائد ﺏ الكل أس ﻙ يساوي المجموع من ﺭ يساوي صفرًا إلى ﻙ لـ ﻙ توافيق ﺭ في ﺃ أس ﺭ مضروبًا في ﺏ أس ﻙ ناقص ﺭ. إذن، باستخدام صيغة ذات الحدين، يمكننا فك الطرف الأيسر من المعادلة. وهكذا، نحصل على ثلاثة توافيق صفر في ﻉ تكعيب زائد ثلاثة توافيق واحد مضروبًا في ﻉ تربيع في واحد على ﻉ زائد ثلاثة توافيق اثنين في ﻉ مضروبًا في واحد على ﻉ الكل تربيع زائد ثلاثة توافيق ثلاثة في واحد على ﻉ الكل تكعيب.
ويمكننا تبسيط الطرف الأيسر من هذه المعادلة. وسنفعل ذلك حدًا فحدًا. في الحد الأول، لدينا ثلاثة توافيق صفر يساوي واحدًا. إذن يمكن تبسيط الحد الأول ليصبح ﻉ تكعيب. وفي الحد الثاني، لدينا ثلاثة توافيق واحد يساوي ثلاثة وﻉ تربيع في واحد على ﻉ يساوي ﻉ تربيع على ﻉ، وهو ما يبسط إلى ﻉ. إذن، يمكن تبسيط الحد الثاني ليصبح ثلاثة ﻉ. وفي الحد الثالث، لدينا ثلاثة توافيق اثنين يساوي ثلاثة، وﻉ في واحد على ﻉ الكل تربيع يساوي ﻉ مقسومًا على ﻉ تربيع، وهو ما يبسط إلى واحد على ﻉ. إذن، يبسط الحد الثالث ليصبح ثلاثة على ﻉ. وفي الحد الرابع والأخير، لدينا ثلاثة توافيق ثلاثة يساوي واحدًا وواحدًا على ﻉ الكل تكعيب يساوي واحدًا على ﻉ تكعيب. إذن، الحد الرابع يساوي واحدًا على ﻉ تكعيب.
وبذلك نكون قد أوضحنا أن ثمانية جتا تكعيب 𝜃 يساوي ﻉ تكعيب زائد ثلاثة ﻉ زائد ثلاثة على ﻉ زائد واحد على ﻉ تكعيب. لكن لا يمكننا أن ننتهي هنا؛ تذكر أن المطلوب في السؤال هو إيجاد مقدار لـ جتا تكعيب 𝜃 فقط بدلالة جيوب تمام مضاعفات 𝜃. ولفعل ذلك، علينا أن نلاحظ شيئًا ما. في الطرف الأيسر من المعادلة، يمكننا بالفعل التبسيط. فعلى سبيل المثال، لدينا ﻉ تكعيب زائد واحد على ﻉ تكعيب، وهو ما يمكننا تبسيطه باستخدام نظرية ديموافر. ﻉ أس ﻥ زائد واحد على ﻉ أس ﻥ يساوي اثنين جتا ﻥ𝜃. إذن، ﻉ تكعيب زائد واحد على ﻉ تكعيب يساوي اثنين جتا ثلاثة 𝜃.
إذن، يمكننا تجميع هذين الحدين معًا في قوس واحد في الطرف الأيسر من المعادلة لدينا. ونلاحظ أنه يمكننا فعل ذلك أيضًا مع ثلاثة ﻉ زائد ثلاثة على ﻉ. في البداية، علينا إخراج العامل المشترك ثلاثة من هذين الحدين. وبهذا يتبقى لنا ﻉ زائد واحد على ﻉ داخل القوس. وﻉ زائد واحد على ﻉ هي هذه النتيجة نفسها تمامًا التي نحصل عليها عند وضع ﻥ يساوي واحدًا. وفقًا لنظرية ديموافر، فإن ﻉ زائد واحد على ﻉ يساوي اثنين جتا 𝜃، وﻉ تكعيب زائد واحد على ﻉ تكعيب يساوي اثنين جتا ثلاثة 𝜃. لذا يمكننا التعويض بهذين القيمتين في المقدار لدينا. وتذكر أنه علينا ضرب اثنين جتا 𝜃 في ثلاثة. هذا يعطينا اثنين جتا ثلاثة 𝜃 زائد ستة جتا 𝜃. تذكر أيضًا أن هذا كله يساوي ثمانية جتا تكعيب 𝜃.
الآن، يمكننا إيجاد مقدار لـ جتا تكعيب 𝜃 بدلالة جيوب تمام مضاعفات 𝜃 بقسمة كلا طرفي المعادلة على ثمانية. سنقسم كل حد على حدة في الطرف الأيسر على ثمانية. هذا سيعطينا جتا تكعيب 𝜃 يساوي اثنين جتا ثلاثة 𝜃 الكل على ثمانية زائد ستة جتا 𝜃 الكل على ثمانية. ويمكننا تبسيط الطرف الأيسر. يمكننا حذف العامل المشترك اثنين من بسط ومقام كلا الحدين، لنحصل على جتا ثلاثة 𝜃 الكل على أربعة زائد ثلاثة جتا 𝜃 الكل على أربعة. وسنبسط ذلك بإخراج العامل المشترك ربع. هذا يعطينا ربعًا مضروبًا في جتا ثلاثة 𝜃 زائد ثلاثة جتا 𝜃.
وآخر خطوة في التبسيط هي إعادة ترتيب الحدين داخل القوس. وهذا سيعطينا الإجابة النهائية، وهي ربع مضروب في ثلاثة جتا 𝜃 زائد جتا ثلاثة 𝜃. وهكذا، باستخدام نظرية ديموافر وعدد من النتائج التي حصلنا عليها من هذه النظرية، تمكنا من إيجاد مقدار لـ جتا تكعيب 𝜃 بدلالة جيوب تمام مضاعفات 𝜃. فقد تمكنا من أن نوضح أن جتا تكعيب 𝜃 يساوي ربعًا مضروبًا في ثلاثة جتا 𝜃 زائد جتا ثلاثة 𝜃.
