فيديو السؤال: تحديد إذا ما كان متجهان معطيان متعامدين أم لا الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

صواب أم خطأ: المتجهان ﺃ سالب ثلاثة، واحد؛ وﺏ سالب اثنين، سالب ستة متعامدان. الخيار (أ) صواب، أم الخيار (ب) خطأ؟

في هذا السؤال، لدينا متجهان بدلالة مركباتهما، وهما المتجه ﺃ والمتجه ﺏ. وعلينا أن نحدد إذا ما كان هذان المتجهان متعامدين أم لا. للإجابةعن هذا السؤال، دعونا نسترجع أولًا ما يعنيه أن يكون المتجهان متعامدين. نقول إن المتجهين متعامدان إذا كان حاصل الضرب القياسي لهذين المتجهين يساوي صفرًا. بعبارة أخرى، إذا كان حاصل الضرب القياسي لـ ﻉ في ﻕ يساوي صفرًا، فإن المتجهين ﻉ وﻕ متعامدان. هذا يعني أنه يمكننا التحقق مما إذا كان المتجهان ﺃ وﺏ متعامدين بإيجاد حاصل الضرب القياسي لهذين المتجهين. فإذا كان حاصل الضرب القياسي لهما يساوي صفرًا، فإن المتجهين متعامدان. وإذا لم يكن ذلك، يمكننا القول إنهما غير متعامدين. سنبدأ بالتعويض بالمقدارين المعطيين عن المتجهين ﺃ وﺏ في السؤال.

علينا إيجاد حاصل الضرب القياسي للمتجه سالب ثلاثة، واحد، والمتجه سالب اثنين، سالب ستة. تذكر أنه لإيجاد حاصل الضرب القياسي لمتجهين، علينا إيجاد مجموع حاصل ضرب المركبات المتناظرة لهذين المتجهين. يمكننا البدء بإيجاد حاصل ضرب قيمتي المركبة الأولى لكل من المتجهين. أي سالب ثلاثة في سالب اثنين. يمكننا أيضًا ضرب قيمتي المركبة الثانية لكل من المتجهين. أي واحد في سالب ستة. وحاصل الضرب القياسي يساوي مجموع هاتين القيمتين. يمكننا بعد ذلك إيجاد قيمة كل من هذين الحدين. سالب ثلاثة في سالب اثنين يساوي ستة، وواحد في سالب ستة يساوي سالب ستة. يعطينا هذا ستة زائد سالب ستة، أي ستة ناقص ستة، وهو ما يساوي صفرًا بالطبع.

وبذلك نكون قد أوضحنا أن حاصل الضرب القياسي للمتجه ﺃ في المتجه ﺏ يساوي صفرًا، ما يعني أن المتجهين متعامدان. ومن ثم، للإجابة عن السؤال «هل صواب أم خطأ أن المتجه ﺃ سالب ثلاثة، واحد، والمتجه ﺏ سالب اثنين، سالب ستة متعامدان؟» لقد أوضحنا أن هذا صواب. إنهما متعامدان بالفعل.