نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحدد التناسب العكسي، ونكتب معادلات تصف التغير العكسي لحل المسائل. لكن قبل أن نناقش التغير العكسي، دعونا نتذكر ما نعنيه بالتغير الطردي. وسنلقي نظرة أيضًا على بعض خواص المتغيرات التي تتناسب طرديًّا بعضها مع البعض.
يمكننا أن نقول إنه تربط بين متغيرين علاقة تغير طردي، أو تناسب طردي، إذا كانت النسبة بينهما ثابتة. على سبيل المثال، إذا كنا نتقاضى أجرًا بالساعة في وظيفة، فالعلاقة التي تربط المتغيرين المتمثلين في ساعات العمل والأجر هي علاقة تغير طردي. فكلما زادت ساعات العمل، زاد الأجر الذي نتقاضاه. إذا كان لدينا متغيران ﺹ وﺱ، فإننا نستخدم علامة التناسب لوصف العلاقة بين هذين المتغيرين. يمكننا وصف هذه العلاقة نصيًّا على النحو الآتي: يتغير ﺹ طرديًّا مع ﺱ أو يتناسب ﺹ طرديًّا مع ﺱ.
وبما أن النسبة بين ﺹ وﺱ ثابتة، يمكننا أن نكتب أن ﺹ يساوي ﻡﺱ، حيث ﻡ لا يساوي صفرًا. نسمي قيمة ﻡ هذه ثابت التغير أو ثابت التناسب. وقد نلاحظ أحيانًا استخدام الحرف ﻙ بدلًا منه. وهذه المرة يشير ﻙ إلى ثابت التغير.
عندما يتعلق الأمر برسم التمثيل البياني لتغير طردي، نحصل على خط مستقيم يمر بنقطة الأصل. لكن بالطبع هذا ليس النوع الوحيد لعلاقات التناسب. لنتناول، على سبيل المثال، العلاقة بين السرعة المتجهة لسيارة والزمن المستغرق للوصول إلى وجهة ما. يمكن تمثيل هذه العلاقة باستخدام الصيغة التي تنص على أن الزمن المستغرق يساوي المسافة مقسومة على السرعة المتجهة. لكننا نعلم أنه كلما زادت السرعة المتجهة، يقل الزمن المستغرق للوصول إلى الوجهة. وهذا مثال على التغير العكسي.
يمكننا تعريف هذا بقول إن علاقة تغير عكسي تربط بين المتغيرين ﺹ وﺱ إذا كان ﺹ يتغير طرديًّا مع مقلوب ﺱ. ونكتب ذلك باستخدام نفس علامة التناسب هكذا. عندما يتغير ﺹ طرديًّا مع واحد على ﺱ، فهذا يماثل القول إن ﺹ يتغير عكسيًّا مع ﺱ.
لذا عندما يكون لدينا علاقة تغير عكسي، على سبيل المثال، يتغير ﺃ عكسيًّا مع ﺏ ؛ فمن ثم نعلم أنه سيكون لدينا علامة تناسب مع مقلوب. وكما هو الحال في التغير الطردي، يمكننا كتابة التغير العكسي على صورة معادلة تتضمن ثابت تناسب. يمكننا أن نقول إن ﺹ يساوي ﻡ على ﺱ، حيث ﻡ لا يساوي صفرًا وﻡ هو ثابت التناسب. وعوضًا عن ذلك، يمكننا استخدام الحرف ﻙ ليمثل ثابت التناسب.
لنتناول الآن بعض الأمثلة على ذلك. وسنرى في المثال الأول كيف يمكننا تحديد ثابت التناسب.
ﺹ يتناسب عكسيًّا مع ﺱ. إذا كان ﺹ يساوي ثمانية عند ﺱ يساوي سبعة، فما ثابت التناسب؟
لنبدأ بتذكر أنه تربط بين المتغيرين ﺹ وﺱ علاقة تغير عكسي إذا كان ﺹ يتناسب طرديًّا أو يتغير طرديًّا مع مقلوب ﺱ. ونكتب علاقة التغير هذه على هذا النحو: ﺹ يتناسب مع واحد على ﺱ. وهذا يعني أنه يوجد ثابت غير صفري هو ﻡ؛ بحيث ﺹ يساوي ﻡ على ﺱ. وﻡ هو ثابت التناسب. لكن إجابة هذا السؤال ليست ببساطة ﻡ أو أي حرف آخر نستخدمه لتمثيل ثابت التناسب. ولكن ما علينا فعله هنا هو استخدام ما لدينا من معطيات عن قيمتي ﺹ وﺱ لإيجاد قيمة عددية لثابت التناسب.
سنعوض بـ ﺹ يساوي ثمانية وﺱ يساوي سبعة في المعادلة. فنحصل على ثمانية يساوي ﻡ على سبعة. يمكننا ضرب كلا طرفي هذه المعادلة في سبعة. وبما أن ثمانية في سبعة يساوي ٥٦، فإن ﻡ يساوي ٥٦. وبذلك نجد أن ثابت التناسب يساوي ٥٦.
ذكرنا سابقًا في هذا الفيديو أن التمثيل البياني للتغير الطردي هو خط مستقيم يمر بنقطة الأصل. لكن كيف سيبدو التمثيل البياني للتغير العكسي؟ لنتناول المتغيرين ﺹ وﺱ، حيث ﺹ يتغير عكسيًّا مع ﺱ. سيكون التمثيل البياني لهذا عبارة عن معادلة على الصورة ﺹ يساوي ﻡ على ﺱ. وسيكون هذا تمثيلًا بيانيًّا لدالة المقلوب، وسيبدو هكذا. لاحظ أنه كلما تزايدت قيمة ﺱ، تناقصت قيمة ﺹ. وبالمثل، كلما تناقصت قيمة ﺱ، تزايدت قيمة ﺹ. يمكننا استخدام هذه المعلومة في السؤال التالي لتحديد أي من التمثيلات البيانية العديدة المختلفة يمثل علاقة تغير عكسي.
أي التمثيلات البيانية الآتية يمثل علاقة تغير عكسي؟
يمكننا أن نتذكر أنه عند وجود علاقة تناسب عكسي بين متغيرين ﺹ وﺱ، فيمكن كتابة هذا بالطريقة التالية: ﺹ يتناسب مع واحد على ﺱ. هذا يعني أنه يمكننا القول أيضًا إنه يوجد ثابت تناسب ما، هو ﻡ؛ حيث ﺹ يساوي ﻡ على ﺱ. يمكننا أن نلاحظ أيضًا أنه كلما تزايدت قيمة ﺱ، يجب أن تتناقص قيمة ﺹ.
إذا نظرنا إلى التمثيلات البيانية للدوال المعطاة، فسنجد أن التمثيلات البيانية (ب) و(ج) و(د) لا ينطبق عليها هذا النمط. في الواقع، التمثيل البياني (ج) هو التمثيل البياني لتغير طردي. لكننا سنستبعد هذه الخيارات الثلاثة جميعًا. وعليه لم يتبق لنا كإجابة سوى التمثيل البياني (أ). ويمكننا أن نرى بالفعل أنه كلما تزايدت قيمة ﺱ، تناقصت قيمة ﺹ. وبالمثل، كلما تناقصت قيمة ﺱ، تزايدت قيمة ﺹ. ويمكننا التأكد أيضًا من أن الإجابة هي التمثيل البياني (أ)؛ لأن هذا هو التمثيل البياني لدالة المقلوب.
في المثال التالي، سنتناول مثالًا نموذجيًّا لسؤال عن التغير العكسي؛ حيث نوجد أولًا ثابت التناسب ثم نستخدم ذلك لحل مسألة ما.
تلقت مجموعة من الكشافة تبرعًا مقداره ١٠٠٠ دولار أمريكي لتمويل أعمال متعلقة بتجمع كشفي عالمي. يتناسب المبلغ الذي يتلقاه كل فرد من الكشافة من أجل رحلته عكسيًّا مع عدد الكشافة من المجموعة التي ستذهب إلى التجمع الكشفي. اكتب معادلة تعبر عن ﻡ، الذي يمثل المبلغ الذي يتلقاه كل فرد، بدلالة ﻥ، الذي يمثل عدد أفراد الكشافة من المجموعة التي ستذهب إلى التجمع الكشفي. إذا ذهب ٢٥ شخصًا إلى التجمع الكشفي، فما مقدار المال الذي يتلقاه كل فرد من التبرع؟
نلاحظ أن هذا السؤال يتمحور حول التغير العكسي. نعرف من المعطيات أن نصيب كل فرد من الكشافة يتغير تغيرًا عكسيًّا بتغير عدد من سيذهب منهم. وهذا يتوافق مع علاقة التغير العكسي. لنتخيل أنه لن يذهب سوى فرد واحد من الكشافة. هذا يعني إنه سيحصل على مبلغ الـ ١٠٠٠ دولار بأكمله. لكن كلما قرر عدد أكبر من أفراد الكشافة الذهاب إلى هذا التجمع الكشفي قل نصيب الفرد من المال مقابل تكلفة السفر.
لدينا هنا الحرفان اللذان سنرمز بهما لكل متغير. يرمز ﻡ لنصيب كل فرد من الكشافة وﻥ لعدد من سيذهب من أفراد الكشافة. إذا كان لدينا المتغيران ﻡ وﻥ اللذان تربطهما علاقة تغير عكسي، فيمكننا كتابة أن ﻡ يتناسب طرديًّا مع مقلوب ﻥ. ومن ثم يمكننا القول على الفور إنه يوجد ثابت للتناسب؛ ﻙ، وهو لا يساوي صفرًا، حيث ﻡ يساوي ﻙ على ﻥ. ويسمى ﻙ ثابت التناسب. ومن ثم علينا إيجاد قيمة ﻙ لكي نوجد معادلة لـ ﻡ بدلالة ﻥ.
في بعض الأحيان، في مثل هذه الأسئلة، يكون لدينا زوج محدد لقيمتي ﻥ وﻡ. أما هنا فنحن لا نعرف قيمتيهما ولكن يمكننا حسابهما. تذكر أننا لاحظنا من قبل أنه إذا لم يكن يوجد سوى طالب واحد، فإنه سيحصل على مبلغ الـ ١٠٠٠ دولار كاملًا. ويعنى وجود طالب واحد أن ﻥ يساوي واحدًا. ومقدار المبلغ ﻡ يساوي ١٠٠٠. إذن، يمكننا التعويض بهاتين القيمتين في معادلة التناسب. فنحصل على ١٠٠٠ يساوي ﻙ على واحد. ومن ثم، فإن قيمة ﻙ تساوي ١٠٠٠. يمكننا التعويض بعد ذلك بقيمة ﻙ هذه في معادلة التناسب. وبذلك نحصل على إجابة الجزء الأول من هذا السؤال: ﻡ يساوي ١٠٠٠ على ﻥ.
الآن سنستخدم المعادلة التي حصلنا عليها في الجزء الأول من السؤال لتساعدنا في حل الجزء الثاني. نعرف أن العلاقة هي أن نصيب كل فرد من أفراد الكشافة من المبلغ (ﻡ) يساوي ١٠٠٠ على عددهم. إذا كان عدد من سيذهب من الكشافة ٢٥ فردًا، فهذا يعني أن ﻥ يساوي ٢٥. وعلينا إيجاد قيمة ﻡ، أي نصيب كل فرد من أفراد الكشافة من المبلغ. بالتعويض عن ﻥبـ ٢٥ في هذه المعادلة، نحصل على ﻡ يساوي ١٠٠٠ على ٢٥ ؛ ومن ثم فإن ﻡ يساوي ٤٠. إذن، الإجابة هي أنه إذا ذهب ٢٥ فردًا من الكشافة إلى التجمع الكشفي، فنصيب كل فرد منهم سيكون ٤٠ دولارًا.
لنلق نظرة على مثال أخير.
يتناسب عدد الساعات ﻥ اللازمة لأداء عمل ما تناسبًا عكسيًّا مع عدد العمال الذين ينفذون هذا العمل. إذا نفذ العمل ٢٣ عاملًا في ٣٥ ساعة، فما الوقت الذي يلزم ١١٥ عاملًا لأداء هذا العمل؟
علينا أن نركز في هذه المسألة على العلاقة بين عدد الساعات التي يستغرقها العمال في أداء عمل ما، وعدد العمال الموكلين بأداء هذا العمل. نعلم من المعطيات أن هذين المتغيرين تربط بينهما علاقة تغير عكسي. قد يكون من المغري الاعتقاد بأنه كلما ازداد عدد العمال، ازداد الوقت المستغرق أيضًا. لكن هذا غير صحيح، ولكن في الواقع العكس هو الصحيح. كلما ازداد عدد العمال، قل الوقت المستغرق. ولهذا السبب هذه علاقة تغير عكسي. يمكننا وصف الوقت المستغرق أو عدد الساعات باستخدام المتغير ﻥ. ولنرمز إلى عدد العمال بالمتغير ﻉ.
تذكر أنه إذا كان لدينا متغيران، ﻥ وﻉ، تربط بينهما علاقة تغير عكسي، فيمكننا كتابة هذا على الصورة: ﻥ يتناسب تناسبًا طرديًّا مع واحد على ﻉ. ومن ثم يمكننا القول إنه يوجد ثابت للتناسب هو ﻙ، حيث ﻥ يساوي ﻙ على ﻉ. ولكي نحسب قيمة ﻙ، لدينا المعطى الذي ينص على أن ٢٣ عاملًا يستغرقون ٣٥ ساعة لأداء هذا العمل. ومن ثم يمكننا التعويض بـ ﻥ يساوي ٣٥، وﻉ يساوي ٢٣ في هذه المعادلة. فنحصل على ٣٥ يساوي ﻙ على ٢٣. عندما نضرب كلا طرفي هذه المعادلة في ٢٣، يصبح لدينا ٣٥ في ٢٣ يساوي ﻙ. ومن ثم نعرف أن ﻙ يساوي ٨٠٥. ثم نعوض بقيمة ﻙ هذه في معادلة التناسب. فنجد أن ﻥ يساوي ٨٠٥ على ﻉ.
لدينا الآن معادلة تربط بين عدد الساعات ﻥ وعدد العمال ﻉ. يمكننا استخدام هذه المعادلة لحساب الوقت اللازم لأي عدد من العمال. ويمكننا الاستفادة منها هنا لحساب الوقت اللازم لـ ١١٥ عاملًا. قيمة ﻉ هي عدد العمال، وهذا يساوي ١١٥. وعلينا إيجاد قيمة ﻥ الذي يرمز إلى عدد الساعات. بالتعويض بهذا في المعادلة، يصبح لدينا ﻥ يساوي ٨٠٥ على ١١٥، وهو ما يبسط إلى سبعة. إذن، الإجابة هي أن الوقت الذي يستغرقه ١١٥ عاملًا لأداء هذا العمل هو سبع ساعات.
ولكن توجد طريقة بديلة يمكننا بها حل مسألة التغير العكسي هذه. وهذا عن طريق استخدام خاصية أنه إذا كان المتغيران يتناسبان عكسيًّا، يظل حاصل ضربهما قيمة ثابتة. وفي هذا السياق، نقول إن عدد الساعات ﻥ مضروبًا في عدد العمال ﻉ يساوي ثابتًا ما ﻙ. في الجزء الأول من هذه المسألة، عرفنا أن الزمن الذي يستغرقه ٢٣ عاملًا في أداء هذا العمل هو ٣٥ ساعة. وحاصل الضرب هذا يساوي نفس حاصل ضرب ١١٥ عاملًا في ﻥ الذي يرمز إلى عدد الساعات. ولإيجاد قيمة ﻥ، نقسم كلا الطرفين على ١١٥. وعندما نفعل ذلك، نحصل على قيمة ﻥ والتي تساوي سبعة. وبذلك نكون قد تأكدنا من صحة الإجابة السابقة وهي أن الوقت الذي يستغرقه ١١٥ عاملًا لأداء هذا العمل هو سبع ساعات.
يمكننا الآن أن نلخص النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الفيديو. يقال إن المتغيرين ﺹ وﺱ تربط بينهما علاقة تغير عكسي أو تناسب عكسي إذا كان ﺹ يتناسب مع واحد على ﺱ. هذا يعني أيضًا أن حاصل ضربهما يظل قيمة ثابتة. وإذا كانت تربط بين ﺹ وﺱ علاقة تغير عكسي، فهذا يعني أن ﺹ يساوي ﻡ على ﺱ حيث ﻡ عدد ثابت لا يساوي صفرًا. ونسمي ﻡ ثابت التناسب. وأخيرًا، عرفنا أيضًا أن التمثيل البياني للمتغيرين اللذين تربط بينهما علاقة تغير عكسي هو تمثيل بياني لدالة المقلوب.
