نسخة الفيديو النصية
أي المتجهات 𝐏، 𝐐، 𝐑، 𝐒، 𝐓 الموضحة في الشكل يساوي 𝐀 زائد 𝐁؟
التمثيل البياني المعطى لدينا هو هذه المجموعة من المحاور الكارتيزية، مع عدة متجهات ممثلة جميعها بأسهم. يطلب منا السؤال تحديد أي من هذه المتجهات يساوي مجموع المتجهين 𝐀 و𝐁 الموضحين هنا وهنا. لإيجاد مجموع 𝐀 و𝐁، علينا أن نتذكر كيفية إجراء جمع المتجهات بيانيًّا.
أولًا؛ دعونا نتذكر أن المتجه الممثل في صورة سهم يتكون من جزأين. يسمى طرف السهم المدبب «الرأس»، ويسمى الطرف المستقيم «الذيل». نريد الآن رسم مجموع المتجهين 𝐔 و𝐕. 𝐔 و𝐕 كلاهما ممثلان هنا في صورة سهمين، إذن لكل منهما ذيل ورأس. وطريقة جمع هذين المتجهين هي بمحاذاة ذيل أحد المتجهين مع رأس المتجه الآخر. لمحاذاة ذيل 𝐕 مع رأس 𝐔، فإننا عادة ما نرسم أولًا المتجه 𝐔، ثم بدءًا من رأس المتجه 𝐔، نرسم المتجه 𝐕. وهذه هي محاذاة ذيل 𝐕 مع رأس 𝐔.
علينا أن نلاحظ أنه سيكون صحيحًا أيضًا أن نحاذي ذيل 𝐔 مع رأس 𝐕، وسنحصل على الإجابة نفسها؛ لأن جمع المتجهات عملية إبدالية. على أي حال، المتجه الممثل بسهم هو خط مستقيم يصل الذيل بالرأس. وعلينا أن نلاحظ أنه في الصورة التي رسمناها، لدينا ذيل حر ورأس حر. عندما نرسم الخط المستقيم الذي يصل الذيل الحر بالرأس الحر، فإن المتجه الذي نرسمه يساوي تحديدًا المتجه 𝐔 زائد 𝐕. وهذه هي طريقة جمع المتجهات بيانيًّا.
حسنًا، لإيجاد قيمة 𝐀 زائد 𝐁، كل ما علينا فعله هو إعادة رسم المتجه 𝐀 بحيث يكون ذيله عند رأس المتجه 𝐁، أو العكس، أي نعيد رسم المتجه 𝐁 بحيث يكون ذيله عند رأس المتجه 𝐀. وبالنظر إلى الشكل، نجد أن المتجه 𝐀 يمتد من نقطة الأصل بمقدار وحدة واحدة إلى اليسار ووحدتين لأعلى. إذن، كل ما علينا فعله هو أن نرسم سهمًا يبدأ من رأس المتجه 𝐁، الذي يمتد بمقدار وحدة واحدة إلى اليسار ووحدتين لأعلى. وهو هذا السهم، ويمكننا أن نلاحظ أن رأسه يقع عند نفس موضع رأس المتجه 𝐓. وتلتقي كل ذيول المتجهات عند نقطة الأصل؛ لذا يقع ذيل 𝐓 عند ذيل 𝐁 ورأسه عند رأس 𝐀. إذن، يجب أن يكون المتجه 𝐓 يساوي المتجه 𝐀 زائد 𝐁.
دعونا نتحقق من إجابتنا برسم المتجه 𝐁، بدءًا من رأس المتجه 𝐀. السهم المناظر للمتجه 𝐁 يبدو بهذا الشكل. وكما نرى، فإن رأسه يقع عند رأس المتجه 𝐓، ويقع ذيله عند رأس المتجه 𝐀، ويقع ذيل المتجه 𝐀 عند ذيل المتجه 𝐓. إذن، مرة أخرى، 𝐀 زائد 𝐁 يساوي 𝐓.
