فيديو الدرس: الخطوط المتوازية في المثلث

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد طولًا ناقصًا في مثلث يحتوي على خطين متوازيين أو ثلاثة خطوط متوازية باستخدام التناسب. لنبدأ بهذا المثلث. لنفترض أن هذا المثلث به ثلاث زوايا ذات قياسات مختلفة. وقطع بخط يوازي أحد أضلاعه. يمكننا تسمية هذا المثلث ﺃﺏﺟ. ونسمي القطعة المستقيمة الموازية القطعة ﺩﻫ.

لقد بدأنا بالمثلث الأكبر، وهو المثلث ﺃﺏﺟ. لكن نظرًا لوجود هذا الخط في المنتصف الآن، أصبح لدينا مثلث آخر، وهو المثلث الأصغر ﺃﺩﻫ. وإذا أردنا مقارنة المثلث ﺃﺏﺟ بالمثلث ﺃﺩﻫ، ينبغي أن نقول شيئًا ما عن أطوال أضلاعه أو زواياه.

لكي نفعل ذلك، سنمد الخطين المتوازيين والقطعة المستقيمة ﺃﺏ. ينبغي أن يذكرنا ذلك بأنه عند تقاطع خطين متوازيين مع خط قاطع، تكون الزاويتان المتناظرتان متساويتين في القياس. القطعة المستقيمة ﺩﻫ والقطعة المستقيمة ﺏﺟ متوازيتان، وهو ما يعني أن القطعة المستقيمة ﺃﺏ يمكن اعتبارها خطًا قاطعًا لهذين الخطين المتوازيين، ما يعني أن الزاوية ﺩ مناظرة للزاوية ﺏ. إذن هاتان الزاويتان متساويتان في القياس.

للأسباب نفسها، تكون الزاوية ﻫ مناظرة للزاوية ﺟ. وعليه، فإن هاتين الزاويتين متساويتان في القياس. ويشترك هذان المثلثان في الزاوية ﺃ. إذن يمكننا القول إن الزاوية ﺃ تطابق الزاوية ﺃ، والزاوية ﺏ تطابق الزاوية ﺩ، والزاوية ﺟ تطابق الزاوية ﻫ.

عندما يحتوي مثلثان على ثلاث زوايا متطابقة، يمكننا القول إن المثلثين متشابهان. وهذا يعني أن لهما الشكل نفسه، لكنهما ليسا بالأبعاد نفسها. في المثلثات المتشابهة، تكون دائمًا الأضلاع المتناظرة متناسبة. وهو ما يعني أن النسبة بين أطوالها واحدة.

لننظر إلى أطوال الأضلاع المتناظرة في هذين المثلثين. في المثلث الأكبر لدينا طول الضلع ﺃﺏ الذي يناظر طول الضلع ﺃﺩ في المثلث الأصغر. وتساوي هذه النسبة طول الضلع ﺃﺟ في المثلث الأكبر على طول الضلع ﺃﻫ في المثلث الأصغر. وبالنسبة للضلعين الأخيرين، فإن طول الضلع ﺏﺟ في المثلث الأكبر يناظر طول الضلع ﺩﻫ في المثلث الأصغر.

في هذه النسب، يمثل البسط طول أحد الأضلاع في المثلث الأكبر، ويمثل المقام طول الضلع المناظر له في المثلث الأصغر. وليظل هذا التناسب صحيحًا، علينا الحفاظ على هذا النمط في بقية النسب؛ بحيث يكون طول ضلع المثلث الأكبر في البسط، وطول ضلع المثلث الأصغر المناظر له في المقام.

لكن، ثمة طريقة أخرى لكتابة هذه النسب. إذا أخذنا طول الضلع الأكبر ﺃﺏ وطول الضلع الأكبر الآخر ﺏﺟ، فسيظل بإمكاننا تكوين نسبة. لكننا هذه المرة سنضع في بسط الطرف الآخر طول الضلع المناظر لـ ﺃﺏ، وهو ﺃﺩ. بعد ذلك في المقام، سنضع طول الضلع المناظر لـ ﺏﺟ، وهو في هذه الحالة ﺩﻫ. في هذه الحالة، النسبة بين طولي ضلعين في المثلث الأكبر تساوي النسبة بين طولي الضلعين المناظرين لهما في المثلث الأصغر. هذا يعني أنه يمكننا كتابة أطوال الأضلاع المتناظرة بهذه الطريقة أو بهذه الطريقة، ما دمنا نحافظ على اتساق كل من هذه الكسور.

يمكن تلخيص ما شرحناه هنا في نظرية عن المثلثات. وهي نظرية التناسب في المثلث. وتنص على أنه إذا كان هناك خط مواز لأحد أضلاع المثلث ويقطع الضلعين الآخرين، فإن هذا الخط يقسم هذين الضلعين بشكل متناسب. وهذا صحيح لأن هذين الخطين المتوازيين يكونان مثلثين متشابهين. يتعين علينا أن نلاحظ أيضًا أن هذا الخط الموازي الذي يقطع الضلعين الآخرين يمكن أن يوجد في أي مكان بالمثلث، وبين أي ضلعين من أضلاعه، ما دام موازيًا للضلع الثالث. وبذلك، أصبحنا مستعدين الآن لإلقاء نظرة على بعض الأمثلة.

باستخدام الشكل، أي من التالي يساوي ﺃﺏ على ﺃﺩ؟ (أ) ﺃﺏ على ﺩﺏ، أم (ب) ﺃﺟ على ﺃﻫ، أم (ج) ﺃﺟ على ﻫﺟ، أم (د) ﺃﺩ على ﺩﺏ، أم (هـ) ﺃﻫ على ﻫﺟ؟

في هذا الشكل، القطعة المستقيمة ﻫﺩ توازي القطعة المستقيمة ﺟﺏ. ولهذا السبب، أصبح لدينا مثلثان متشابهان. يمكننا القول إن المثلث ﺃﻫﺩ يشبه المثلث ﺃﺟﺏ. وفي المثلثات المتشابهة، تكون أطوال الأضلاع المتناظرة متناسبة. ما يعنينا هنا هو النسبة ﺃﺏ على ﺃﺩ. يمثل ﺃﺏ طول الضلع الأكبر، وﺃﺩ طول الضلع الأصغر المناظر له. هذا يعني أننا نبحث عن النسبة بين طول الضلع الأكبر وطول الضلع الأصغر المناظر له.

يشير الخيار (أ) إلى أن ﺃﺏ يناظر ﺩﺏ. لكن ﺩﺏ ليس جزءًا من المثلث الأصغر، وهو ما يعني أن الخيار (أ) ليس صحيحًا. أما الخيار (ب)، فيتضمن طول الضلع ﺃﺟ، وهو جزء من المثلث الأكبر، ثم المسافة من ﺃ إلى ﻫ. وتمثل المسافة من ﺃ إلى ﻫ طول الضلع الأصغر المناظر لـ ﺃﺟ. وهذه نسبة مساوية للنسبة التي لدينا. لكن دعونا نتحقق من الخيارات الأخرى أيضًا للتأكد.

مرة أخرى، لدينا طول الضلع ﺃﺟ، لكن المقام هو ﻫﺟ. وﻫﺟ ليس جزءًا من المثلث الأصغر، وهو ما يجعل هذه النسبة غير صحيحة. ماذا عن الخيار (د)؟ ‏‏ﺃﺩ هو طول الضلع الأصغر، ثم لدينا ﺩﺏ الذي لا يمثل جزءًا من المثلثين المتشابهين. نلاحظ مرة أخرى أن ﺃﻫ جزء من المثلث الأصغر، لكن ﻫﺟ ليس جزءًا من المثلثين المتشابهين. إذن النسبة الوحيدة التي تساوي ﺃﺏ على ﺃﺩ في هذه القائمة هي ﺃﺟ على ﺃﻫ.

في المثال التالي سنفعل شيئًا مشابهًا للغاية، لكن هذه المرة علينا إيجاد قيمة طول ضلع ناقص.

أوجد قيمة ﺱ.

عندما ننظر إلى الشكل، نرى مثلثًا أكبر تقطعه القطعة المستقيمة ﺩﻫ. وهذه القطعة المستقيمة ﺩﻫ توازي الضلع ﺏﺟ. وعند قطع مثلث بقطعة مستقيمة توازي أحد أضلاعه، يتكون مثلثان متشابهان. إذن يمكننا القول إنه إذا عرفنا أن القطعة المستقيمة ﺩﻫ توازي ﺏﺟ، فإن المثلث الأصغر، المثلث ﺃﺩﻫ، سيتشابه مع المثلث الأكبر، المثلث ﺃﺏﺟ. يمكننا إذن القول إن ﺃﺩ على ﺃﺏ يساوي ﺩﻫ على ﺏﺟ. وهذا لأن أطوال الأضلاع المتناظرة في المثلثات المتشابهة تكون متناسبة.

طول الضلع ﺃﺩ يساوي ١٠، لكن ماذا عن ﺃﺏ؟ يجب أن ننتبه جيدًا هنا. طول الضلع ﺃﺏ لا يساوي ١١. طول الضلع ﺃﺏ هو المسافة الكاملة من الرأس ﺃ إلى الرأس ﺏ، أي ٢١. إذن ﺃﺩ على ﺃﺏ يساوي ١٠ على ٢١. ونعرف أن طول الضلع ﺩﻫ يساوي ١٠ أيضًا. بذلك أصبح لدينا الآن النسبة ١٠ على ٢١ تساوي ١٠ على ﺏﺟ. وهذا يعني أن ﺏﺟ لا بد أن يساوي ٢١ لكي تظل أطوال الأضلاع هذه متناسبة. بما أن طول الضلع ﺏﺟ يساوي ٢١، فإن قيمة ﺱ الناقصة تساوي ٢١.

المثال التالي هو حالة أخرى علينا فيها إيجاد طول ناقص في مثلث.

في الشكل، القطعتان ﺱﺹ وﺏﺟ متوازيتان. إذا كان ﺃﺱ يساوي ١٨، وﺱﺏ يساوي ٢٤، وﺃﺹ يساوي ٢٧، فما طول القطعة المستقيمة ﺹﺟ؟

أول ما يمكننا فعله هنا هو كتابة معطيات السؤال على الشكل. نعلم أن ﺃﺱ يساوي ١٨، وﺱﺏ يساوي ٢٤، وﺃﺹ يساوي ٢٧. والطول الناقص هو المسافة من ﺹ إلى ﺟ، هنا. وسنسميها ﻡ. قبل أن نبدأ بإيجاد قيمة ﻡ، هيا نراجع ما نعرفه في الشكل. القطعة المستقيمة ﺱﺹ تقطع المثلث ﺃﺏﺟ وتوازي القطعة المستقيمة ﺏﺟ. نعلم أنه إذا كان هناك خط يوازي ضلعًا في المثلث ويقطع الضلعين الآخرين، فإنه يقسم هذين الضلعين بشكل متناسب. ويعني هذا أنه يكون مثلثين متشابهين. يمكننا إذن أن نبدأ الحل بقول إن المثلث الأصغر، المثلث ﺃﺱﺹ، يتشابه مع المثلث الأكبر، المثلث ﺃﺏﺟ. وبما أن هذا صحيح، فستكون أطوال الأضلاع المتناظرة متناسبة. وإذا عبرنا عن أطوال أضلاع المثلث الأصغر بنسبة، فيمكننا القول إن ﺃﺱ على ﺃﺹ يساوي ﺃﺏ على ﺃﺟ.

لإيجاد الطول الناقص، علينا التعويض بالمعلومات التي نعرفها في هذه النسبة على نحو دقيق. أولًا، ﺃﺱ يساوي ١٨ وﺃﺹ يساوي ٢٧. لكن علينا أن ننتبه إلى ﺃﺏ. لإيجاد قيمة ﺃﺏ، علينا جمع ١٨ و٢٤، وهو ما يعطينا ٤٢. لكن ماذا عن طول الضلع ﺃﺟ؟ حسنًا، ﺃﺟ يتكون من الطولين ﺃﺹ وﺹﺟ. طول ﺃﺹ يساوي ٢٧، وطول ﺹﺟ يساوي ﻡ، وهي القيمة الناقصة. إذن نعوض بـ ٢٧ زائد ﻡ، وهي القيمة الناقصة، عن طول القطعة المستقيمة ﺃﺟ.

بمجرد أن نصل إلى هذه المرحلة، يمكننا استخدام الضرب التبادلي لإيجاد المتغير الناقص. ‏‏١٨ في ٢٧ زائد ﻡ يساوي ٢٧ في ٤٢. و٢٧ في ٤٢ يساوي ١١٣٤. يمكننا هنا قسمة كلا الطرفين على ١٨، وهو ما يعطينا ٢٧ زائد ﻡ يساوي ٦٣. وبطرح ٢٧ من الطرفين، نجد أن الطول الناقص ﻡ يساوي ٣٦. إذا عوضنا بهذه القيمة في الشكل مرة أخرى، فسنقول إن ﺹﺟ يساوي ٣٦.

في المثال الأخير، سنلقي نظرة على شكل يتضمن متوازي أضلاع ومثلثًا.

‏‏ﻑﺩﻫﺟ متوازي أضلاع، حيث ﻑ وﺩ نقطتان تنصفان القطعة المستقيمة ﺃﺏ والقطعة المستقيمة ﺃﺟ على الترتيب، وﺟﻫ يساوي ستة سنتيمترات. أوجد طول ﺏﺟ.

هيا نوضح المعطيات التي لدينا على الشكل. إذا كان ﻑﺩﻫﺟ متوازي أضلاع، فإن الأضلاع المتقابلة تكون متوازية، بمعنى أن ﻑﺩ يوازي ﺟﻫ وﻑﺟ يوازي ﺩﻫ. نعرف أيضًا أن طول ﺟﻫ يساوي ستة سنتيمترات. وعلى أساس خواص متوازي الأضلاع، نعلم أيضًا أن أطوال الأضلاع المتقابلة متساوية. وهذا يعني أن طول ﺩﻑ لا بد أن يساوي ستة سنتيمترات أيضًا.

الطول الناقص هنا هو ﺏﺟ. ولذلك، علينا قول شيء آخر هنا. إذا كان ﺟﻫ يوازي ﻑﺩ، يمكننا القول إن ﺏﻫ يوازي ﻑﺩ أيضًا. وإذا كانت القطعة المستقيمة ﺏﺟ توازي القطعة المستقيمة ﻑﺩ، فسيكون لدينا خط يوازي أحد أضلاع المثلث. ويقطع هذا الخط الضلعين الآخرين، ما يعني أن القطعة المستقيمة ﻑﺩ تكون مثلثين متشابهين. المثلث الأصغر، ﺃﺩﻑ، يكون مشابهًا للمثلث الأكبر، ﺃﺟﺏ. وفي المثلثات المتشابهة، تكون أطوال الأضلاع المتناظرة متناسبة. إذن طول الضلع ﺃﺩ في المثلث الأصغر يناظر طول الضلع ﺃﺟ في المثلث الأكبر. وعليه، فإن هذا يجب أن يساوي طول القطعة المستقيمة ﻑﺩ في المثلث الأصغر على طول القطعة المستقيمة ﺏﺟ في المثلث الأكبر.

إذا عوضنا بالمعلومات التي نعرفها، فلن يكون لدينا إلا طول ﻑﺩ الذي يساوي ستة سنتيمترات. لكن يمكننا التفكير مليًا في نقطة المنتصف هذه، ﺩ. نقطة المنتصف ﺩ تقسم القطعة المستقيمة ﺃﺟ إلى نصفين. وبذلك، يمكننا القول إن ﺃﺟ يساوي اثنين في ﺃﺩ. ما نقوله هنا هو أن نسبة المثلث الأصغر إلى المثلث الأكبر تساوي نصفًا، لأن المثلث الأكبر أبعاده ضعف أبعاد المثلث الأصغر. وإذا كانت أطوال أضلاع المثلث الأكبر تساوي ضعف أطوال أضلاع المثلث الأصغر، وكان ﻑﺩ يساوي ستة سنتيمترات، فإن طول ﺏﺟ لا بد أن يساوي ١٢ سنتيمترًا، حيث إن ١٢ هو ضعف ستة.

في النهاية، دعونا نستعرض بعض النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الفيديو. إذا كان هناك خط مواز لأحد أضلاع المثلث ويقطع الضلعين الآخرين، فسينتج عن هذا الخط مثلثان متشابهان. وفي المثلثات المتشابهة، تكون أطوال الأضلاع المتناظرة متناسبة. في هذا المثال، يتشابه المثلث ﺃﺩﻑ مع المثلث ﺃﺏﺟ. وعليه، فإن طول الضلع ﺃﺩ على طول الضلع ﺃﺏ يساوي طول الضلع ﺃﻑ على طول الضلع ﺃﺟ.