نسخة الفيديو النصية
أوجد المشتقة الأولى للدالة ﺹ يساوي تسعة ﺱ تربيع ناقص سبعة مضروبًا في الجذر التربيعي لاثنين ﺱ زائد واحد عند ﺱ يساوي صفرًا.
يطلب منا السؤال إيجاد المشتقة الأولى للدالة ﺹﺱ عند النقطة التي عندها ﺱ يساوي صفرًا. نلاحظ أن الدالة ﺹﺱ هي حاصل ضرب دالتين. إنها حاصل ضرب تسعة ﺱ تربيع ناقص سبعة والجذر التربيعي لاثنين ﺱ زائد واحد. ولإيجاد مشتقة حاصل ضرب دالتين، سنستخدم قاعدة الضرب.
تنص قاعدة الضرب على أنه إذا كان لدينا دالتان ﻉ وﻕ، فإن مشتقة حاصل ضرب ﻉ في ﻕ تساوي ﻕ في ﻉ شرطة زائد ﻉ في ﻕ شرطة. إذن، سنجعل الدالة ﻉﺱ تساوي تسعة ﺱ تربيع ناقص سبعة، وسنجعل الدالة ﻕﺱ تساوي الجذر التربيعي لاثنين ﺱ زائد واحد. إذن، لاستخدام قاعدة الضرب، علينا إيجاد تعبيرات لـ ﻉ شرطة وﻕ شرطة. هيا نبدأ بإيجاد تعبير لـ ﻉ شرطة ﺱ.
ﻉ شرطة ﺱ هي مشتقة تسعة ﺱ تربيع ناقص سبعة بالنسبة إلى ﺱ. يمكننا حساب ذلك باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق. وهذا يعطينا ﻉ شرطة ﺱ يساوي ١٨ﺱ. نريد الآن إيجاد تعبير لـ ﻕ شرطة ﺱ؛ ومع ذلك، لا يمكننا فعل ذلك مباشرة. نلاحظ أن الدالة ﻕﺱ هي تركيب دالتين. فهي الجذر التربيعي لدالة خطية. ما يعني أنه لحساب هذه المشتقة، علينا استخدام قاعدة السلسلة.
نتذكر أن قاعدة السلسلة تنص على أنه إذا كان لدينا دالتان ﺩ وﺭ، فإن مشتقة ﺩ تركيب ﺭﺱ تساوي ﺭ شرطة ﺱ في ﺩ شرطة لـ ﺭﺱ. إذن، لكي نستخدم قاعدة السلسلة، علينا أن نجعل الدالة ﺭﺱ هي الدالة الداخلية. أي الدالة الخطية اثنين ﺱ زائد واحد. ثم باستخدام تعريف ﺭﺱ هذا، نجد أن ﻕﺱ تساوي الجذر التربيعي لـ ﺭﺱ. سنأخذ الجذر التربيعي لـ ﺭ. ونجعل الدالة الخارجية ﺩﺭ لتكون الجذر التربيعي لـ ﺭ. وباستخدام هذين التعريفين لكل من ﺩ وﺭ، أعدنا كتابة ﻕﺱ بحيث تساوي ﺩ تركيب ﺭﺱ.
نحن الآن مستعدون لتطبيق قاعدة السلسلة. تنص قاعدة السلسلة على أن ﻕ شرطة ﺱ تساوي ﺭ شرطة ﺱ مضروبًا في ﺩ شرطة لـ ﺭﺱ. علينا الآن إيجاد تعبيرين لـ ﺩ شرطة ﺱ وﺭ شرطة ﺱ. لنبدأ بـ ﺭ شرطة ﺱ. ﺭﺱ هي دالة خطية. إذن، مشتقة ﺭﺱ تساوي معامل ﺱ، وهو اثنان. نريد الآن إيجاد ﺩ شرطة ﺭ. وهي مشتقة ﺩﺭ بالنسبة إلى ﺭ.
للقيام بذلك، سنستخدم قوانين الأسس لإعادة كتابة الجذر التربيعي لـ ﺭ على صورة ﺭ أس نصف. يمكننا إذن إيجاد ﺩ شرطة ﺭ باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق. نضرب في أس الأساس ﺭ، أي نصف، ثم نطرح واحدًا من هذا الأس. مرة أخرى، باستخدام قوانين الأسس يمكننا إعادة كتابة نصف ﺭ أس سالب نصف بحيث يساوي واحدًا مقسومًا على اثنين جذر ﺭ.
بالتعويض بهذه التعبيرات في قاعدة السلسلة، أوضحنا أن ﻕ شرطة ﺱ يساوي اثنين في واحد مقسومًا على اثنين في الجذر التربيعي لاثنين ﺱ زائد واحد. وتذكر أننا أخذنا الجذر التربيعي لاثنين ﺱ زائد واحد لأننا نحسب ﺩ شرطة ﺭ عند ﺭﺱ. وﺭﺱ تساوي اثنين ﺱ زائد واحد. ويمكننا تبسيط هذا التعبير قليلًا. سنحذف العامل المشترك اثنين في البسط والمقام. فنحصل على ﻕ شرطة ﺱ تساوي واحدًا مقسومًا على الجذر التربيعي لاثنين ﺱ زائد واحد.
لدينا الآن جميع المعلومات اللازمة لتطبيق قاعدة الضرب على الدالة ﺹﺱ. وهذا يخبرنا أن ﺹ شرطة ﺱ تساوي ﻕﺱ في ﻉ شرطة ﺱ زائد ﻉﺱ في ﻕ شرطة ﺱ. بالتعويض بتعبيرات ﻉﺱ، وﻕﺱ، وﻉ شرطة ﺱ، وﻕ شرطة ﺱ، نحصل على ﺹ شرطة ﺱ تساوي الجذر التربيعي لاثنين ﺱ زائد واحد في ١٨ﺱ زائد تسعة ﺱ تربيع ناقص سبعة مضروبًا في واحد مقسومًا على الجذر التربيعي لاثنين ﺱ زائد واحد. ربما نرغب في البدء في التبسيط عند هذه المرحلة. لكن تذكر أن السؤال يطلب منا فقط إيجاد قيمة المشتقة عندما يكون ﺱ يساوي صفرًا. لذا، بدلًا من ذلك، يمكننا التعويض بـ ﺱ يساوي صفرًا في تعبير ﺹ شرطة ﺱ.
بالتعويض بـ ﺱ يساوي صفرًا، نحصل على ﺹ شرطة لصفر تساوي الجذر التربيعي لاثنين في صفر زائد واحد مضروبًا في ١٨ في صفر زائد تسعة في صفر تربيع ناقص سبعة مضروبًا في واحد مقسومًا على الجذر التربيعي لاثنين في صفر زائد واحد. ويمكننا الآن حساب هذا التعبير. نضرب في صفر في الحد الأول، فنحصل على الحد الأول يساوي صفرًا. بعد ذلك، نعلم أن تسعة في صفر تربيع، واثنين في صفر يساويان صفرًا. يبسط هذا الحد ليصبح سالب سبعة مضروبًا في واحد، وهو ما يساوي سالب سبعة.
وبذلك نكون قد أوضحنا أن قيمة المشتقة الأولى للدالة ﺹ يساوي تسعة ﺱ تربيع ناقص سبعة مضروبًا في الجذر التربيعي لاثنين ﺱ زائد واحد عند ﺱ يساوي صفرًا تساوي سالب سبعة.
