فيديو السؤال: إيجاد مركبات متجه معطى في الصورة القطبية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

إذا كان ﻭﺃ الذي يساوي سبعة، ٦٠ درجة، متجه الموضع في الصورة القطبية للنقطة ﺃ بالنسبة إلى نقطة الأصل ﻭ، فأوجد إحداثيات ﺱ و𝑦 للنقطة ﺃ.

أولًا، لنتذكر ما يعنيه أن يكون متجه الموضع معطى في الصورة القطبية. الصورة القطبية للمتجه ﻝ، 𝜃 تعني أن ﻝ هو مقدار المتجه، و𝜃 هي الزاوية التي يصنعها ذلك المتجه مع الجزء الموجب من المحور ﺱ. وبما أن الزاوية التي يصنعها المتجه ﻭﺃ مع الجزء الموجب من المحور ﺱ تساوي ٦٠ درجة، فهذا يعني أن هذا المتجه يقع في الربع الأول. وبالتالي، فإنه يبدو هكذا.

إن المطلوب في المسألة هو إيجاد الإحداثيين ﺱ وﺹ للنقطة ﺃ. ولفعل ذلك، سنرسم مثلثًا قائم الزاوية تحت المتجه ﻭﺃ. وفي هذا المثلث القائم الزاوية، نعرف قياس زاوية من الزاويتين الأخريين، وهو ٦٠ درجة، ونعرف طول أحد الأضلاع. في الحقيقة، إنه وتر المثلث. وطول ﻭﺃ سبع وحدات.

إن طولي ضلعي المثلث الآخرين يحددان قيمتي ﺱ وﺹ. إذ يحدد الضلع الأفقي للمثلث الإحداثي ﺱ للنقطة ﺃ. ويحدد الضلع الرأسي الإحداثي ﺹ للنقطة ﺃ. وبما أن المثلث قائم الزاوية، فيمكننا استخدام حساب المثلثات لحساب قيمة ﺱ وﺹ.

سنبدأ بتسمية أضلاع المثلث الثلاثة بالنسبة إلى الزاوية ٦٠ درجة. ‏‏ﺹ هو الضلع المقابل في المثلث. وﺱ هو الضلع المجاور. وسبعة هو الوتر. والآن، لنتذكر تعريف اثنتين من النسب المثلثية في المثلث القائم الزاوية.

أولًا، نعلم أن نسبة الجيب في المثلث القائم الزاوية، جا 𝜃، تساوي الضلع المقابل على الوتر. وبالتعويض بقيم هذا المثلث، فهذا يعني أن جا ٦٠ درجة يساوي ﺹ على سبعة. وهكذا، يصبح لدينا معادلة يمكننا حلها لإيجاد قيمة ﺹ.

أولًا، نحتاج إلى ضرب كلا طرفي المعادلة في سبعة. والآن، لقد عكسنا مكان طرفي المعادلة. وبذلك، يصبح لدينا ﺹ يساوي سبعة جا ٦٠ درجة. وسنعود إلى هذا بعد قليل.

هناك نسبة مثلثية أخرى في المثلث القائم الزاوية وهي نسبة جيب التمام. وهذا يعني أن جتا 𝜃 يساوي الضلع المجاور على الوتر. وبالتعويض بقيم هذا المثلث، فهذا يعني أن جتا ٦٠ درجة يساوي ﺱ على سبعة. وهكذا، يصبح لدينا معادلة يمكننا حلها لإيجاد ﺱ، بالطريقة نفسها التي أوجدنا بها ﺹ. إذ نحتاج إلى ضرب كلا الطرفين في سبعة. وسيصبح لدينا ﺱ يساوي سبعة جتا ٦٠ درجة.

لا نحتاج الآن إلى آلة حاسبة للوصول للإجابة النهائية لهذه المسألة، لأن الزاوية ٦٠ درجة زاوية خاصة، والنسب المثلثية الخاصة بها يمكن التعبير عنها بقيم ثابتة. وعلينا أن نتذكر ما هي. هيا لنتذكر. ‏‏‏جا ٦٠ درجة يساوي بالضبط الجذر التربيعي لثلاثة على اثنين. وجتا ٦٠ درجة يساوي بالضبط الكسر البسيط نصفًا.

ويمكننا التعويض بقيمتي جا ٦٠ درجة وجتا ٦٠ درجة في معادلتي ﺹ وﺱ. إذن، ﺹ يساوي سبعة في جذر ثلاثة على اثنين. وﺱ يساوي سبعة في نصف. والآن، إذا كتبت قيمتي ﺱ وﺹ على صورة زوج إحداثي، بحيث يكون ﺱ أولًا وﺹ ثانيًا، فإن الإحداثيين ﺱ وﺹ للنقطة ﺃ هما سبعة على اثنين، سبعة جذر ثلاثة على اثنين.