فيديو السؤال: تحديد دوال أسية متساوية ذات أساسات مختلفة باستخدام تمثيل بياني الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أي الدوال الآتية لا تصف التمثيل البياني الموضح؟ أهي أ: ﻥ يساوي ١٥ في أربعة أس ﺕ في ثلاثة أس سالب ﺕ؟ أم ب: ﻥ يساوي ١٥ في تسعة على ١٦ أس ﺕ على اثنين؟ أم ج: ﻥ يساوي ١٥ في ١٦ على تسعة أس ﺕ على اثنين؟ أم د: ﻥ يساوي ١٥ في أربعة أثلاث أس ﺕ؟ أم هـ: ﻥ يساوي ١٥ في ثلاثة أرباع أس سالب ﺕ.

يوجد العديد من الطرق لحل هذه المسألة؛ حيث لدينا خمسة خيارات للإجابة. إحدى الطرق هي التعويض عن إحداثيات التمثيل البياني في كل دالة من الدوال. ومن ثم، يمكننا معرفة أي من الدوال لـ ﻥ لا تصف التمثيل البياني الموضح. وبدلًا من ذلك، يمكننا محاولة حل المسألة جبريًّا، وهو ما سنفعله أولًا. سنفعل ذلك عن طريق تبسيط الدوال الخمس لـ ﻥ ثم تحديد أي منها يختلف عن الدوال الأربع الأخرى.

تبدأ الدوال الخمس لـ ﻥ كلها بالثابت ١٥. هذا يعني أننا سنركز على الأجزاء الأخرى في الدوال. لنبدأ بالخيار أ. لدينا أربعة أس ﺕ في ثلاثة أس سالب ﺕ. تنص إحدى قواعد الأسس على أن ﺱ أس سالب ﻡ يساوي واحدًا على ﺱ أس ﻡ. يمكننا إذن إعادة كتابة الدالة على الصورة: أربعة أس ﺕ في واحد على ثلاثة أس ﺕ، وهو ما يساوي بدوره أربعة أس ﺕ على ثلاثة أس ﺕ.

بعد ذلك، نتذكر أن خارج قسمة قيمتين مرفوعتين إلى القوة نفسها يساوي خارج قسمة القيمتين مرفوعًا إلى هذه القوة. إذن، أربعة أس ﺕ مقسومًا على ثلاثة أس ﺕ يساوي أربعة أثلاث أس ﺕ. وهذا يعني أن الدالة ﻥ في الخيار أ هي نفسها الدالة ﻥ في الخيار د.

لنتناول الآن الجزء الثاني من الدالة ﻥ في الخيار هـ. لدينا ثلاثة أرباع أس سالب ﺕ. من قاعدة الأسس السالبة، نعرف أن ﺃ على ﺏ أس سالب ﻡ يساوي ﺏ على ﺃ أس ﻡ. بما أن مقلوب ثلاثة أرباع هو أربعة أثلاث، فإن ثلاثة أرباع أس سالب ﺕ يساوي أربعة أثلاث أس ﺕ. وهذا يعني أن الخيار هـ دالة مكافئة للخيارين أ، د.

أخيرًا، علينا أن نتناول الخيارين ب، ج؛ حيث يوجد كسر مرفوع للقوة ﺕ على اثنين. لتبسيط هذين الحدين، نتذكر أن ﺱ أس ﺃ على ﺏ يساوي الجذر ﺏ لـ ﺱ الكل مرفوع للقوة ﺃ. إذن، تسعة على ١٦ أس ﺕ على اثنين يساوي الجذر التربيعي لتسعة على ١٦ مرفوعًا للقوة ﺕ. يمكننا إيجاد الجذر التربيعي لبسط الكسر ومقامه كل على حدة. إذن، لدينا الجذر التربيعي لتسعة على الجذر التربيعي لـ ١٦ أس ﺕ. وبما أن الجذر التربيعي لتسعة يساوي ثلاثة، والجذر التربيعي لـ ١٦ يساوي أربعة؛ فإنه يمكن تبسيط ذلك إلى ثلاثة أرباع أس ﺕ.

نلاحظ أن هذه الدالة مختلفة عن الخيارات أ، د، هـ. ما حصلنا عليه هو ثلاثة أرباع مرفوعة للقوة ﺕ لا أربعة أثلاث مرفوعة للقوة ﺕ. هذا يشير إلى أن هذه هي الإجابة المختلفة؛ ومن ثم لن تصف التمثيل البياني الموضح. من ناحية أخرى، يتطابق الخيار ج مع الدوال الموجودة في الخيارات أ، د، هـ. ‏١٦ على تسعة أس ﺕ على اثنين يساوي أربعة أثلاث أس ﺕ.

سنتحقق الآن من أن الخيار ب لا يصف التمثيل البياني باختيار نقطة تقع عليه. على الرغم من أننا يمكننا اختيار أي نقطة تقع على التمثيل البياني، فإنه من المنطقي أن نختار نقطة ذات إحداثيات صحيحة. وعليه، سنختار النقطة: واحد، ٢٠. بالتعويض عن ﺕ بواحد في دالة ﻥ، يصبح لدينا ١٥ في تسعة على ١٦ أس نصف. كما ذكرنا من قبل، رفع الكسر إلى الأس نصف هو نفسه أخذ الجذر التربيعي لهذا الكسر. بحساب الجذر التربيعي للبسط والمقام كل على حدة، يصبح لدينا ﻥ يساوي ١٥ في ثلاثة أرباع. هذا يساوي ١١٫٢٥، وهو ما لا يساوي ٢٠. إذن، ﻥ يساوي ١٥ في تسعة على ١٦ أس ﺕ على اثنين لا يمر بالنقطة: واحد، ٢٠. وهذا يؤكد أن الدالة لا تصف التمثيل البياني الموضح. والإجابة الصحيحة هي الخيار ب.

من الجدير بالذكر هنا أننا إذا عوضنا بـ ﺕ يساوي واحدًا في الخيارات أ، ج، د، هـ، فسنحصل على قيمة ﻥ يساوي ٢٠. وهذا يعني أن هذه الدوال الأربع تمر بالفعل بالنقطة التي إحداثياتها: واحد، ٢٠. ومعادلة التمثيل البياني الموضح هي: ﻥ يساوي ١٥ في أربعة أثلاث أس ﺕ، أو أي صورة مكافئة.