فيديو: حساب متسلسلة حسابية

احسب ‪∑_(𝑟 = 3)^(22) (3𝑟 + 4)‬‏.

٠٥:٠٥

‏نسخة الفيديو النصية

احسب مجموع الحدود من 𝑟 يساوي ثلاثة إلى 𝑟 يساوي 22 لثلاثة 𝑟 زائد أربعة.

إنني متشوق للبدء في شرح هذا النوع من المسائل. قد ينخدع الطلاب أحيانًا أمام هذا النوع من الرموز؛ إذ لا يكونون متيقنين تمامًا من معناه. ولكن الرمز الأول هنا 𝛴 يعني المجموع. والقيمة أسفل الرمز 𝛴 تحدد لنا أول قيمة سنستخدمها للمتغير؛ لذا في هذه الحالة أول قيمة لـ𝑟 تساوي ثلاثة. والعدد 22 أعلى الرمز 𝛴 يحدد لنا آخر قيمة سيكون عليها المتغير. رائع! إذن نحن الآن نعرف معنى ذلك، ويمكننا حل المسألة.

لحل هذه المسألة، علينا استخدام هذه الصيغة. لدينا مجموع 𝑛 من الحدود يساوي 𝑛 على اثنين في اثنين 𝑎 زائد 𝑛 ناقص واحد 𝑑. حسنًا، لنبحث في معنى هذه الحروف. لدينا 𝑎 وهو الحد الأول، و𝑑 وهو الفرق المشترك، أي الفرق بين كل حدين متتاليين، و𝑛، وهو عدد الحدود.

حسنًا، نعلم الآن الصيغة وما يعنيه كل متغير من المتغيرات، فلنبدأ بحل المسألة. كي نفعل ذلك، علينا أولًا حساب 𝑎 و𝑑 و𝑛. ولنبدأ بـ 𝑎. حسنًا، 𝑎 هو الحد الأول، فيمكننا القول: إن 𝑎 يساوي كذا عندما 𝑟 يساوي واحدًا. إذن يمكننا الآن حساب قيمة 𝑎 حيث عوضنا عن 𝑎 في ثلاثة 𝑟 زائد أربعة، ما يعطينا 𝑎 يساوي سبعة.

حسنًا، رائع! بذلك نكون قد أوجدنا 𝑎. والآن ننتقل لإيجاد 𝑑. ولإيجاد 𝑑، نعلم بالفعل أن 𝑎 واحد، وهو الحد الأول، يساوي سبعة. فما علينا فعله الآن هو إيجاد 𝑎 اثنين، أي الحد الثاني، ومن ثم يمكننا إيجاد الفرق المشترك بين الحدين. وعندما نفعل ذلك، فإننا في الواقع نعوض عن 𝑟 باثنين في الصيغة ثلاثة 𝑟 زائد أربعة، ما يعطينا قيمة 𝑎 اثنين، أي الحد الثاني، وهي 10. يمكننا الآن إيجاد الفرق المشترك بين الحدين، وهو 10 ناقص سبعة، ما يساوي ثلاثة.

حسنًا، رائع! إذن، فقد أوجدنا الفرق المشترك. وقد فعلنا ذلك بإيجاد الحد الثاني والحد الأول، ثم طرح الحد الأول من الحد الثاني، ولكن في الواقع كان يمكننا فعل هذا دون الحاجة إلى حل ذلك على الإطلاق؛ لأنه إذا نظرنا إلى المقدار ثلاثة 𝑟 زائد أربعة، نلاحظ أن معامل 𝑟 هو ثلاثة. وفي مثل هذه الحالة، معامل 𝑟 أو أيًا كان الحرف الذي نرمز به للمتغير، هو ما نعرف منه الفرق المشترك؛ لأن هذا هو العدد الذي سنضربه في ترتيب هذا الحد كل مرة.

إذن لنوجد مجموع أول 22 حدًا، فبالرجوع إلى المسألة، نجد بها 22 حدًا. لنلق نظرة على ذلك. نعلم الآن أن 𝑛 يساوي 22؛ لأننا نبحث عن مجموع أول 22 حدًا. ويمكننا التعويض بالقيم الأخرى. فلدينا مجموع أول 22 حدًا يساوي 22 على اثنين، ثم لدينا اثنان في سبعة؛ لأن 𝑎 يساوي سبعة، زائد 22 ناقص واحد؛ لأن 𝑛 يساوي 22، في ثلاثة؛ لأن 𝑑 يساوي ثلاثة. رائع! إذن يمكننا الآن حساب ذلك، ما يعطينا 11 في 77. ومن ثم فإن مجموع أول 22 حدًا يساوي 847.

رائع! حسنًا، الآن فرغنا من حل المسألة، أليس كذلك؟ في الحقيقة، لم نفرغ بعد من حلها، وهذا هو الخطأ الشائع الذي يقع فيه الكثيرون. فقد أوجدنا مجموع أول 22 حدًا، ولكن إذا عدنا إلى رأس المسألة، فسنجدها تطلب منا إيجاد مجموع الحدود من 𝑟 يساوي ثلاثة إلى 𝑟 يساوي 22. وبالتالي، فعلينا إيجاد الحدود من ثلاثة إلى 22. إذن نحتاج إلى خطوة إضافية؛ لأن مجموع الحدود من ثلاثة إلى 22 يساوي مجموع أول 22 حدًا ناقص مجموع أول حدين، حيث يعطينا ذلك مجموع الحدود من الحد الثالث إلى الحد 22.

ومن ثم، يمكننا القول: إن مجموع الحدود من 𝑟 يساوي ثلاثة إلى 𝑟 يساوي 22 لثلاثة 𝑟 زائد أربعة يساوي 847 ناقص 10 زائد سبعة، ونقول: 10 زائد سبعة؛ لأنه مجموع أول حدين. سبق وأوجدنا الحدين الأولين، إذ وجدنا أن الحد الأول يساوي سبعة والحد الثاني يساوي 10. فلنجمعهما لإيجاد المجموع، وهو ما يعطينا 847 ناقص 17.

كان بإمكانك كذلك إيجاد مجموع الحدين الأوليين باستخدام الصيغة السابقة والتعويض عن 𝑛 باثنين. والآن، أوجدنا حل المسألة؛ لأن 847 ناقص 17 يساوي 830. ومن ثم يمكننا القول: إن مجموع الحدود من ثلاثة إلى 22 لثلاثة 𝑟 زائد أربعة يساوي 830.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.