فيديو السؤال: إيجاد المسافة بين ثلاثة خطوط متوازية الرياضيات

أوجد المسافة بين المستقيمين المتوازيين ﺱ = ٦ + ﻥ‎، ﺹ = ٨ + ٢ﻥ، ﻉ = ٧ + ٣ﻥ، (ﺱ − ٢)‏/‏٣ = (ﺹ − ٣)‏/‏٦ = (ﻉ − ١)‏/‏٩ لأقرب جزء من مائة.

٠٨:٠٣

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد المسافة بين المستقيمين المتوازيين ﺱ يساوي ستة زائد ﻥ، ‏ ﺹ يساوي ثمانية زائد اثنين ﻥ، ‏ﻉ يساوي سبعة زائد ثلاثة ﻥ؛ و‏ﺱ ناقص اثنين على ثلاثة يساوي ﺹ ناقص ثلاثة على ستة يساوي ﻉ ناقص واحد على تسعة، لأقرب جزء من مائة.

لدينا هنا مستقيمان متوازيان، ودعونا نفترض أن هذا هو المستقيم رقم واحد وهذا هو المستقيم رقم اثنين. نريد إيجاد المسافة بين المستقيمين، أي أقصر مسافة ممكنة، أو البعد العمودي بينهما. وسنسميها ﺩ. لإيجاد هذه المسافة، علينا معرفة ثلاثة أشياء. نحتاج إلى معرفة إحداثيات نقطة ما على المستقيم رقم واحد. وسنسميها ﻡ واحد. نحتاج أيضًا إلى معرفة إحداثيات نقطة ما على المستقيم رقم اثنين. وسنسميها ﻡ اثنين. وأخيرًا، سنحتاج إلى معرفة مركبات المتجه الموازي لهذين المستقيمين. وسنسمي هذا المتجه ﻫ. إذا استطعنا إيجاد هذه المعلومات الثلاثة، يمكننا استخدام هذه العلاقة لحساب المسافة بين المستقيمين.

في هذه المعادلة، المتجه ﻫ هو بالفعل متجه مواز لكلا المستقيمين، وسيبدو المتجه ﻡ واحد ﻡ اثنين بهذا الشكل على الرسم. إنه يمتد من النقطة واحد إلى النقطة اثنين. دعونا نبدأ الآن بإيجاد المتجه ﻡ واحد ﻡ اثنين عن طريق إيجاد نقطة تقع على المستقيم رقم واحد ونقطة على المستقيم رقم اثنين. بالنظر أولًا إلى المستقيم رقم واحد، نلاحظ أنه معطى لنا على ما يسمى بالصورة البارامترية. لدينا معادلات منفصلة للإحداثيات ﺱ، ﺹ، ﻉ لكل نقطة على المستقيم رقم واحد. يمكن دمج هذه المعادلات الثلاث معًا فيما يسمى بالصورة المتجهة للخط المستقيم. وسنفعل ذلك بقول إن ﺱ، وﺹ، وﻉ هي مركبات متجه يساوي متجهًا آخر يبدأ من نقطة الأصل في إطار الإحداثيات ويمتد إلى النقطة ستة، ثمانية، سبعة، ثم يتجه لأعلى ولأسفل المستقيم في هذا الاتجاه مضروبًا في معامل القياس ﻥ.

لقد حصلنا على معلومتين مهمتين من هذه الصورة المتجهة لمعادلة المستقيم رقم واحد. أولًا، يمكننا القول إن المستقيم يمر بالنقطة ستة، ثمانية، سبعة. وبذلك، نكون قد أوجدنا النقطة ﻡ واحد. بالإضافة إلى ذلك، نعلم أن هذا المتجه الذي له المركبات واحد، اثنان، ثلاثة يوازي المستقيم رقم واحد. وهذا يعني أنه مواز للمستقيم رقم اثنين أيضًا. ومن ثم، يمكن أن يكون هذا هو المتجه ﻫ الذي له المركبات واحد، اثنان، ثلاثة. والآن، بعد أن عرفنا كل هذه المعلومات عن المستقيم رقم واحد، يمكننا إفراغ بعض المساحة والبدء في حل المعادلة المعطاة للمستقيم اثنين.

بعد أن أوجدنا ﻡ واحد وكذلك المتجه ﻫ، كل ما علينا فعله هو إيجاد نقطة تقع على المستقيم رقم اثنين. معادلة هذا المستقيم مكتوبة على الصورة الإحداثية. هذا يعني أن المستقيم الذي لدينا تعبر عنه مجموعة من المتباينات. كل هذه المتباينات صحيحة لأن هذه الكسور الثلاثة جميعها تساوي معامل القياس نفسه الذي يمكننا تسميته ﻥ اثنين. ومن ثم، فإن ﺱ ناقص اثنين على ثلاثة يساوي ﻥ اثنين، وكذلك ﺹ ناقص ثلاثة على ستة، وكذلك ﻉ ناقص واحد على تسعة. بهذا، يمكننا إعادة كتابة معادلة المستقيم رقم اثنين على الصورة البارامترية. على سبيل المثال، بما أن ﺱ ناقص اثنين على ثلاثة يساوي ﻥ اثنين، فيصح أيضًا أن ﺱ يساوي ثلاثة مضروبًا في ﻥ اثنين زائد اثنين. وبالمثل، ﺹ يساوي ستة مضروبًا في ﻥ اثنين زائد ثلاثة، وﻉ يساوي تسعة مضروبًا في ﻥ اثنين زائد واحد. لقد أعدنا كتابة المستقيم رقم اثنين على الصورة البارامترية؛ لأنه بهذه الطريقة يصبح من السهل تحديد النقطة التي يمر بها هذا المستقيم.

إذا فكرنا مرة أخرى في دمج هذه المعادلات الثلاث في معادلة متجهة واحدة، ففي الطرف الأيمن، سيكون لدينا متجه مركباته ﺱ، ﺹ، ﻉ، وفي الطرف الأيسر نضرب معامل القياس ﻥ اثنين في متجه مواز للمستقيم الذي له المركبات ثلاثة، ستة، تسعة. ثم نضيف متجهًا يمتد من نقطة الأصل للنظام الإحداثي إلى نقطة على المستقيم. بعبارة أخرى، النقطة التي إحداثياتها اثنان، ثلاثة، واحد تقع على المستقيم رقم اثنين.

والآن بعد أن عرفنا كل هذا، يمكننا حساب المتجه ﻡ واحد ﻡ اثنين. هذا المتجه يساوي النقطة ﻡ واحد ناقص النقطة ﻡ اثنين. وبالتعويض بقيمتي ﻡ واحد وﻡ اثنين، نجد أن هذا المتجه مركباته هي سالب أربعة، سالب خمسة، سالب ستة. نحن الآن جاهزون لحساب حاصل الضرب الاتجاهي لـ ﻡ واحد ﻡ اثنين والمتجه ﻫ. وهو يساوي محدد هذه المصفوفة. في الصف العلوي هنا، لدينا متجهات الوحدة ﺱ، ﺹ، ﻉ، وبالأسفل، لدينا المركبات ﺱ، وﺹ، وﻉ المناظرة لـ ﻡ واحد ﻡ اثنين، والمركبات ﺱ، وﺹ، وﻉ للمتجه ﻫ.

المركبة ﺱ لهذا المتجه تساوي محدد هذه المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين. سالب خمسة مضروبًا في ثلاثة ناقص سالب ستة مضروبًا في اثنين يساوي سالب ثلاثة. أما المركبة سالب ﺹ فتساوي محدد هذه المصفوفة. أي إنها تساوي سالب أربعة مضروبًا في ثلاثة ناقص سالب ستة مضروبًا في واحد، وهو ما يساوي سالب ستة. وأخيرًا، المركبة ﻉ لحاصل الضرب الاتجاهي تساوي محدد هذه المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين. أي إنها تساوي سالب أربعة في اثنين ناقص سالب خمسة في واحد، وهو ما يساوي سالب ثلاثة. هذا هو حاصل الضرب الاتجاهي، ويمكننا بدلًا من ذلك كتابته على الصورة المتجهة باستخدام المركبات سالب ثلاثة، ستة، سالب ثلاثة.

الآن، بعد أن عرفنا حاصل الضرب الاتجاهي لـ ﻡ واحد ﻡ اثنين وﻫ، صرنا مستعدين لإيجاد قيمة ﺩ، وذلك عن طريق حساب مقدار حاصل الضرب الاتجاهي هذا وقسمته على مقدار ﻫ. بكتابة كل ذلك، نجد أن مقدار ﻡ واحد ﻡ اثنين ضرب اتجاهي ﻫ يساوي الجذر التربيعي لسالب ثلاثة تربيع زائد ستة تربيع زائد سالب ثلاثة تربيع، ومقدار المتجه ﻫ يساوي الجذر التربيعي لواحد تربيع زائد اثنين تربيع زائد ثلاثة تربيع. بإدخال هذا الكسر على الآلة الحاسبة، لأقرب جزء من مائة، تكون الإجابة هي ١٫٩٦. هذه هي أقصر مسافة بين هذين المستقيمين المتوازيين.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.