فيديو السؤال: الاتزان الاستاتيكي في وجود احتكاك الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

ارتكز جسم وزنه ٢٦٢٫٥ نيوتن على مستوى خشن يميل على الأفقي بزاوية ظلها ثلاثة أرباع، وكان على وشك الحركة. بعد ذلك وضع الجسم نفسه على سطح أفقي بنفس خشونة المستوى. أثرت قوة ﻕ على الجسم بسحبه لأعلى بزاوية ﻫ تميل على الأفقي؛ حيث جا ﻫ يساوي ثلاثة أخماس. إذا كان الجسم تحت تأثير هذه الظروف على وشك الحركة، فأوجد مقدار ﻕ ورد الفعل العمودي ﺭ.

دعونا نبدأ بتقسيم المعطيات الموجودة لدينا. وزن الجسم يساوي ٢٦٢٫٥ نيوتن. وبالطبع، يجب ألا نخلط بينه وبين كتلة الجسم. الوزن هو بالأساس القوة التي يؤثر بها الجسم لأسفل على المستوى. في البداية، كان الجسم يستقر على مستوى خشن، ما يخبرنا بأن علينا وضع قوة الاحتكاك في الاعتبار. وهذا المستوى يميل على الأفقي بزاوية ظلها ثلاثة أرباع. لنفترض أن هذه الزاوية تساوي ﻱ، إذن ظا ﻱ يساوي ثلاثة أرباع. ونحن نعلم في هذه المرحلة أن الجسم على وشك الحركة.

لذا، دعونا نضف الجسم إلى الشكل ونضف أي قوى إضافية تهمنا. لقد قلنا إن القوة المؤثرة نحو الأسفل التي يؤثر بها الجسم على المستوى تساوي ٢٦٢٫٥ نيوتن. إذن، لا بد أن تكون هناك قوة رد فعل عمودي يؤثر بها المستوى على الجسم. لنطلق عليها ﺭ. حسنًا، نحن نعلم أن الجسم على وشك الحركة. ولا توجد قوى أخرى مؤثرة، لذا نفترض أن الجسم على وشك الانزلاق على المنحدر. ما يحول دون انزلاق الجسم على المستوى هو قوة الاحتكاك. وهي تؤثر في عكس الاتجاه الذي يحاول الجسم التحرك نحوه. إذن، فهي تؤثر لأعلى في اتجاه مواز للمستوى كما هو موضح بالشكل. علمنا بعد ذلك أن الجسم وضع على سطح أفقي له نفس خشونة المستوى الأول.

كيف نقيس الخشونة إذن؟ مقدار الخشونة يساوي معامل الاحتكاك، والذي حددنا أنه ﻡﺱ. وهكذا، سنبدأ بالنظر إلى الحالة الأولى التي يرتكز فيها الجسم على المستوى المائل، ونرى إذا ما كان يمكننا إيجاد قيمة ﻡﺱ. ولفعل ذلك، علينا استخدام معادلة الاحتكاك. وهي تنص على أن الاحتكاك يساوي ﻡﺱﺭ، حيث ﺭ هو قوة رد الفعل العمودي ورأينا أن ﻡﺱ هو معامل الاحتكاك. وبما أن الجسم على وشك الحركة، يمكننا القول إن المجموع الاتجاهي للقوى لا بد أن يساوي صفرًا. لكن بعد ذلك يمكننا المتابعة وتقسيم هذه القوى إلى مركباتها المتوازية والمتعامدة عند تناول ذلك بالنسبة إلى المستوى.

لنبدأ بالتفكير في القوى المؤثرة عموديًّا على المستوى. عند التعامل مع الاحتكاك، ستكون هذه نقطة بداية منطقية بالفعل لأنها تساعدنا في إيجاد قيمة القوة ﺭ. لدينا القوة ﺭ تؤثر لأعلى وبعيدًا عن المستوى. لكن ما القوة التي تؤثر لأسفل وعموديًّا على المستوى؟ علينا التفكير في مركبة الوزن. لذا، نضيف مثلثًا قائم الزاوية، كما هو موضح. الزاوية المحصورة هنا هي ﻱ. إننا نريد إيجاد طول الضلع المجاور في هذا المثلث حيث إنه عمودي على المستوى. ونعلم الآن أن طول الوتر نفسه يساوي ٢٦٢٫٥ نيوتن. إذن سنستخدم نسبة جيب التمام. تذكر أنها تربط الزاوية بالضلع المجاور والوتر.

وبما أن جتا ﻫ يساوي طول الضلع المجاور على طول الوتر، يمكننا القول في هذه الحالة إن جتا ﻱ يساوي الضلع المجهول مقسومًا على ٢٦٢٫٥. لكن ما قيمة جتا ﻱ؟ إننا نعرف أن ظا ﻱ يساوي ثلاثة أرباع. وبالطبع، نسبة الظل تساوي طول الضلع المقابل مقسومًا على طول الضلع المجاور. ومن ثم، يمكننا أن نرسم مثلثًا قائم الزاوية بزاوية محصورة قياسها ﻱ، وضلع مقابل طوله ثلاث وحدات، وضلع مجاور طوله أربع وحدات. إذن، طبقًا لثلاثية فيثاغورس، لا بد أن يساوي طول الضلع الآخر خمس وحدات. ومن ثم، يمكننا التعويض عن جتا ﻱ بأربعة أخماس. دعونا أيضًا نطلق على ضلع المثلث الذي نحاول إيجاده ﺱ. والآن، سنحل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺱ. للقيام بذلك، ضربنا طرفي هذه المعادلة في ٢٦٢٫٥. وبذلك حصلنا على ﺱ يساوي ٢١٠ أو ٢١٠ نيوتن.

بحساب القوى العمودية على المستوى وبتحديد أن الاتجاه الذي تؤثر فيه قوة رد الفعل هو الاتجاه الموجب، فإن محصلة القوى المؤثرة عموديًّا على المستوى تساوي ﺭ ناقص ٢١٠. وبالطبع، نعرف أن هذا يساوي صفرًا. إذا أضفنا ٢١٠ إلى كلا الطرفين، نحصل على ﺭ يساوي ٢١٠ أو ٢١٠ نيوتن. علينا الآن أن ننتبه إلى أن قوة رد الفعل العمودي ﺭ ستتغير عندما يكون الجسم على سطح أفقي. هذه مجرد خطوة وسيطة. ما علينا فعله الآن هو إيجاد القوى التي تؤثر في اتجاه مواز للمستوى لإيجاد قيمة ﻡﺱ. لدينا احتكاك يؤثر لأعلى المستوى، ومن ثم، علينا التفكير في مركبة الوزن التي تؤثر في اتجاه مواز للمستوى. هذا هو الضلع المقابل في المثلث القائم الزاوية الذي رسمناه. وأطلقنا عليه ﺹ.

وبما أن ﺹ هو الضلع المقابل، فسنستخدم هذه المرة نسبة الجيب. جيب الزاوية يساوي طول الضلع المقابل على طول الوتر. إذن، جا ﻱ في هذه الحالة يساوي ﺹ على ٢٦٢٫٥. لكن مرة أخرى، يمكننا استخدام هذا المثلث القائم الزاوية للتعويض عن جا ﻱ. هذه المرة، إذا نظرنا إلى هذا المثلث الذي رسمناه، فسنجد أن جا ﻱ يساوي ثلاثة أخماس. أصبحت المعادلة الآن ثلاثة أخماس تساوي ﺹ على ٢٦٢٫٥. سنضرب الآن طرفي المعادلة في ٢٦٢٫٥. وبفعل ذلك، نحصل على ﺹ يساوي ٢٦٢٫٥ في ثلاثة أخماس، وهو ما يساوي ١٥٧٫٥ نيوتن. تؤثر هذه القوة في عكس اتجاه الاحتكاك. ومن ثم، فإن محصلة القوى الموازية للمستوى تساوي قوة الاحتكاك ناقص ١٥٧٫٥. وهذا يساوي صفرًا بالطبع.

لكن تذكر أننا قلنا إن الاحتكاك يساوي ﻡﺱﺭ. كما حسبنا للتو أن قوة رد الفعل العمودي هنا تساوي ٢١٠. ومن ثم يمكننا التعويض عن الاحتكاك بـ ﻡﺱ في ٢١٠، أو ٢١٠ﻡﺱ. وبذلك نحصل على ٢١٠ﻡﺱ ناقص ١٥٧٫٥ يساوي صفرًا. لنحل المعادلة، نبدأ بإضافة ١٥٧٫٥ إلى كلا طرفيها. وأخيرًا، نقسم على ٢١٠. ‏١٥٧٫٥ مقسومًا على ٢١٠ يساوي ثلاثة أرباع. وبهذا، نجد أن معامل احتكاك المستوى يساوي ثلاثة أرباع. وهذا جيد لأننا نتوقع بوجه عام أن تقع قيمة ﻡﺱ ما بين صفر وواحد. والآن، بعد أن عرفنا مقدار خشونة المستوى، سنفرغ بعض المساحة ونفكر في الجزء الثاني من هذا السؤال.

هذه المرة، الجسم موضوع على سطح أفقي. لكن تبقى قوة الوزن المؤثرة على المستوى نحو الأسفل كما هي. لدينا الآن قوة ﻕ تؤثر على الجسم، وتسحبه لأعلى بزاوية ﻫ. وعرفنا أن جا ﻫ يساوي ثلاثة أخماس. ورأينا سابقًا أنه عندما يكون الأمر كذلك، فإن جتا ﻫ يساوي أربعة أخماس. وهذا سيفيدنا بعد قليل. لنعد إذن إلى الجسم الموضوع على المستوى. ثمة قوة أخرى علينا وضعها في اعتبارنا. مرة أخرى، هذه هي قوة رد الفعل العمودي ﺭ. حسنًا، لقد استخدمنا الحرف ﺭ نفسه. ولكن يجب عدم الخلط بين هذه القوة وقوة رد الفعل التي رأيناها سابقًا. والآن سنحدد مرة أخرى القوى العمودية على المستوى.

لدينا قوة رد الفعل التي تؤثر لأعلى. لنفترض أن هذا هو الاتجاه الموجب. وبعد ذلك، لدينا في الاتجاه المعاكس قوة مقدارها ٢٦٢٫٥ نيوتن. لذا، سنطرح القوتين. سنحتاج إلى النظر إلى مركبة ﻕ التي تؤثر عموديًّا على المستوى. لنضف إذن هذا المثلث القائم الزاوية. إننا نريد إيجاد طول الضلع المقابل، لنطلق عليه ﺱ. ولدينا بالفعل تعبير رياضي لإيجاد طول الوتر على الأقل. لذا، سنستخدم نسبة الجيب. هذه المرة، نحصل على جا ﻫ يساوي ﺱ على ﻕ. لكننا نعرف بالطبع أن جا ﻫ يساوي ثلاثة أخماس. ومن ثم، نحصل على ثلاثة أخماس تساوي ﺱ على ﻕ، ما يعني أن مركبة القوة ﻕ التي تؤثر عموديًّا على المستوى هي ثلاثة أخماس ﻕ.

سنضيف ذلك إلى التعبير الرياضي لأننا قلنا إن هذا هو الاتجاه الموجب. كما نعلم أن الجسم على وشك الحركة. إذن، المجموع الاتجاهي لهذه القوى يساوي صفرًا. يمكننا أن نعيد ترتيب المعادلة لنجعل ﺭ في طرف بمفرده. كان بإمكاننا ترك المعادلة كما هي، لكننا سنرى فائدة ذلك بعد قليل. سنتناول الآن القوى الموازية للمستوى. لدينا ﻕ، أي القوة المؤثرة على الجسم والتي تسحبه لأعلى، تؤثر في اتجاه واحد. لكن بالطبع نحن نعلم أن هذا مستوى خشن. وهذا يعني أن لدينا قوة احتكاك، وهي ﻡﺱﺭ. لنوجد إذن الضلع المجاور من هذا المثلث لإيجاد مركبة ﻕ الموازية للمستوى. وبما أن لدينا طول الضلع المجاور ولدينا تعبيرًا رياضيًّا لإيجاد طول الوتر، فسنستخدم نسبة جيب التمام.

نحصل على جتا ﻫ يساوي ﺹ على ﻕ، ثم نعوض عن جتا ﻫ بأربعة أخماس. وإذا ضربنا طرفي هذه المعادلة في ﻕ، فسنجد أن مركبة هذه القوة التي تؤثر في اتجاه مواز للمستوى هي أربعة أخماس ﻕ. لنفترض أنه الاتجاه الموجب، ومن ثم سنطرح قوة الاحتكاك. وبالطبع، هذا يساوي صفرًا. والآن، سنحاول إيجاد مقدار القوة ﻕ وقوة رد الفعل العمودي ﺭ. ما سنفعله إذن هو أننا سنعوض عن قيمة ﺭ في المعادلة الجديدة بالتعبير ٢٦٢٫٥ ناقص ثلاثة أخماس ﻕ. هذا سيعطينا معادلة بدلالة ﻕ فقط.

في الوقت نفسه، نعوض عن ﻡﺱ بثلاثة أرباع، وهو معامل الاحتكاك الذي حسبناه سابقًا، وتصبح المعادلة أربعة أخماس ﻕ ناقص ثلاثة أرباع في ٢٦٢٫٥ ناقص ثلاثة أخماس ﻕ يساوي صفرًا. عند فك الأقواس، يبسط ذلك إلى خمسة أرباع ﻕ ناقص ١٩٦٫٨٧٥ يساوي صفرًا. وبذلك نضيف ١٩٦٫٨٧٥ إلى كلا الطرفين. وأخيرًا، نقسم على خمسة أرباع. وهذا يعطينا ١٥٧٫٥ أو ١٥٧٫٥ نيوتن.

هذا رائع. نحن الآن نعرف مقدار القوة ﻕ، وبالتالي يمكننا استخدامها لإيجاد قوة رد الفعل العمودي ﺭ. سنعوض بهذه القيمة في المعادلة السابقة. عندما نفعل ذلك، نحصل على ﺭ يساوي ٢٦٢٫٥ ناقص ثلاثة أخماس في ١٥٧٫٥، وهو ما يساوي ١٦٨ أو ١٦٨ نيوتن. وبذلك نكون قد انتهينا. لقد توصلنا إلى أن مقدار القوة ﻕ يساوي ١٥٧٫٥ نيوتن، ومقدار قوة رد الفعل العمودي ﺭ يساوي ١٦٨ نيوتن.