فيديو السؤال: إيجاد مواضع القيم العظمى والصغرى المحلية لدالة كثيرة الحدود الرياضيات

أوجد أين تقع القيم العظمى والصغرى المحلية للدالة ﺩ(ﺱ) = ﺱ^٤‏/‏٤ − ٢ﺱ^٢ + ٥.

٠٧:٥٤

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد أين تقع القيم العظمى والصغرى المحلية لـ ﺩﺱ يساوي ﺱ أس أربعة على أربعة ناقص اثنين ﺱ تربيع زائد خمسة.

أول ما علينا فعله هو فهم ما هي القيم العظمى المحلية والقيم الصغرى المحلية. لذا رسمت هنا شكلًا. ونلاحظ في هذا الشكل أن لدينا ثلاث نقاط. لدينا اثنتان من القيم الصغرى المحلية وقيمة عظمى محلية واحدة. وكما نرى هنا، هذه هي النقاط الموجودة على الدالة التي عندها الميل يساوي صفرًا. لذا إذا عرفنا أن الميل سيساوي صفرًا عند هذه النقاط، فأول ما علينا فعله هو إيجاد دالة الميل للدالة التي لدينا. ويمكننا إيجاد دالة الميل من خلال اشتقاق الدالة المعطاة. سنشتق إذن الدالة ﺩﺱ يساوي ﺱ أس أربعة على أربعة ناقص اثنين ﺱ تربيع زائد خمسة.

حسنًا، عندما نبدأ في الاشتقاق، نجد أن الحد الأول سيكون ﺱ تكعيب. ونحصل على تلك القيمة لنذكر أنفسنا بكيفية الاشتقاق بضرب الأس في المعامل. لذا في هذه الحالة، سنضرب أربعة في ربع لأن لدينا ﺱ أس أربعة على أربعة. وهذا يعطينا واحدًا. إذن لدينا قيمة ﺱ مفردة. ثم نطرح واحدًا من الأس. أي أربعة ناقص واحد، وهو ما يساوي ثلاثة. وهكذا، يصبح لدينا ﺱ تكعيب. بعد ذلك يكون لدينا سالب أربعة ﺱ، وذلك لأننا ضربنا اثنين في اثنين، ما يساوي أربعة. ثم طرحنا واحدًا من اثنين، فنحصل على واحد. ويصبح لدينا ﺱ أو ﺱ أس واحد. وفي حالة اشتقاق موجب خمسة، نحصل على صفر؛ لأن اشتقاق ثابت يعطينا صفرًا.

والآن، ما سنفعله هو استخدام المعطيات التي لدينا. وهي أن الميل يساوي صفرًا عند نقاط القيمة العظمى والصغرى المحلية. ولهذا، سنجعل دالة الميل تساوي صفرًا. ويرجع السبب في ذلك إلى أنه يمكننا إيجاد قيم ﺱ التي تقع عندها نقاط القيم العظمى والصغرى المحلية. لدينا إذن، ﺱ تكعيب ناقص أربعة ﺱ يساوي صفرًا. وما سنفعله الآن هو إيجاد قيم ﺱ.

لذا أول ما سنفعله هو التحليل. يمكننا التحليل هنا لأن لدينا الحد ﺱ في كلا الحدين. لذا يمكننا أخذ ﺱ عاملًا مشتركًا خارج القوسين. من ثم يصبح لدينا ﺱ مضروبًا في ﺱ تربيع ناقص أربعة يساوي صفرًا. إذا ألقينا نظرة على هذا، فسنلاحظ أن ﺱ تربيع ناقص أربعة هو فرق بين مربعين. لذا نعرف كيفية تحليل ذلك. بعد التحليل، يصبح لدينا ﺱ مضروبًا في ﺱ زائد اثنين مضروبًا في ﺱ ناقص اثنين يساوي صفرًا.

ومن ثم يصبح لدينا ثلاث قيم مضروبة بعضها في بعض. إذن ﺱ وﺱ زائد اثنين وﺱ ناقص اثنين يساوي صفرًا. وإذا ضربنا القيم الثلاث بعضها في بعض، كما ذكرنا، فسوف تساوي صفرًا. إذن لا بد أن إحدى هذه القيم على الأقل تساوي صفرًا. لذا، لا بد أن ﺱ، أو ﺱ زائد اثنين، أو ﺱ ناقص اثنين يساوي صفرًا. ومن ثم، فالقيمة الأولى الممكنة لـ ﺱ هي ﺱ يساوي صفرًا؛ لأن ذلك سينتج صفرًا مضروبًا في باقي القيم. وبذلك سيكون الناتج صفرًا. ثم لدينا ﺱ زائد اثنين يساوي صفرًا. أي إننا نعلم أن هذه القيمة لا بد أن تساوي صفرًا. إذن لتحقيق ذلك، ما قيمة ﺱ؟

حسنًا ﺱ يجب أن يساوي سالب اثنين. ولدينا أخيرًا ﺱ ناقص اثنين يساوي صفرًا. فما قيمة ﺱ لتحقيق ذلك؟ القيمة الممكنة الأخرى لـ ﺱ هي موجب اثنين. وبذلك، يكون لدينا الآن ثلاث قيم ممكنة لـ ﺱ وهي ﺱ يساوي صفرًا، وﺱ يساوي سالب اثنين، وﺱ يساوي اثنين. هذه إذن هي قيم ﺱ الثلاثة التي تقع عندها نقاط القيم العظمى والصغرى المحلية. حسنًا، ما نريد فعله الآن هو تصنيف هذه النقاط إلى قيم صغرى محلية أو قيم عظمى محلية.

لفعل ذلك، سنستخدم اختبار المشتقة الثانية. أولًا، علينا اشتقاق المشتقة الأولى، أي اشتقاق ﺱ تكعيب ناقص أربعة ﺱ. وعندما نفعل ذلك، نحصل على ثلاثة ﺱ تربيع ناقص أربعة، باستخدام الطريقة نفسها التي استخدمناها سابقًا. إذن الحد الأول سيكون ثلاثة مضروبًا في واحد؛ أي الأس مضروبًا في المعامل. ثم نطرح واحدًا من الأس. والآن، نحن نعرف قيمة المشتقة الثانية.

ماذا نفعل الآن؟ سنعوض الآن بقيم ﺱ. ‏ﺱ يساوي صفرًا. ‏ﺱ يساوي سالب اثنين. وﺱ يساوي اثنين. وذلك لأن اختبار المشتقة الثانية يخبرنا بأنه عند التعويض بقيم ﺱ، إذا كانت قيمة المشتقة الثانية أكبر من صفر، فستكون قيمة صغرى محلية. أما إذا كانت قيمة المشتقة الثانية أصغر من صفر، فستكون قيمة عظمى محلية. سنبدأ إذن بـ ﺱ يساوي صفرًا.

نحصل بعد التعويض على ثلاثة مضروبًا في صفر تربيع ناقص أربعة. ومن ثم، نجد أن قيمة المشتقة الثانية هي سالب أربعة؛ وهذا الناتج أصغر من صفر. ولهذا، ستكون قيمة عظمى محلية. وإذا عوضنا بـ ﺱ يساوي سالب اثنين، نجد أن المشتقة الثانية تساوي ثلاثة مضروبًا في سالب اثنين الكل تربيع ناقص أربعة. وهذا يعطينا الناتج ثمانية. وبما أن هذه القيمة أكبر من صفر، فستكون قيمة صغرى محلية.

والآن، عند التعويض بـ ﺱ يساوي اثنين، نتوقع أن نحصل على الناتج نفسه عندما عوضنا بـ ﺱ يساوي سالب اثنين. وذلك لأننا قمنا بتربيع سالب اثنين. وسنقوم بتربيع اثنين هنا أيضًا. وعندما نقوم بتربيع كليهما، سنحصل على موجب أربعة. دعونا إذن نلق نظرة على ذلك. قيمة المشتقة الثانية تساوي ثلاثة مضروبًا في اثنين تربيع ناقص أربعة، وهو ما يساوي ثمانية. وهكذا، ستكون قيمة صغرى محلية أيضًا. إذن، يمكننا القول إن الدالة ﺩﺱ يساوي ﺱ أس أربعة على أربعة ناقص اثنين ﺱ تربيع زائد خمسة لها اثنتان من القيم الصغرى المحلية عند ﺱ يساوي سالب اثنين واثنين، وقيمة عظمى محلية واحدة عند ﺱ يساوي صفرًا.

للتحقق من ذلك، نلقي نظرة على الشكل؛ لأن هذا الشكل يمثل منحنى دالة بها ﺱ أس أربعة. وهو منحنى يكون فيه معامل ﺱ أس أربعة موجبًا. ويمكننا ملاحظة أن لدينا اثنتين من القيم الصغرى المحلية وقيمة عظمى محلية واحدة. وهذا ما توصلنا إليه عندما أوجدنا القيم الصغرى المحلية والقيم العظمى المحلية لهذه الدالة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.