فيديو السؤال: إيجاد تكامل دالة كسرية باستخدام التكامل بالتعويض الرياضيات

أوجد التكامل غير المحدد للدالة ((ﺱ^٢ + ٧)‏/‏(ﺱ^٣ + ٢١ﺱ − ٥))ﺩﺱ.

٠٤:١٢

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد التكامل غير المحدد للدالة ﺱ تربيع زائد سبعة على ﺱ تكعيب زائد ٢١ﺱ ناقص خمسة بالنسبة إلى ﺱ.

لحل هذه المسألة، سنستخدم التكامل بالتعويض. يمكننا فعل ذلك بأن نأخذ المقام ونطلق عليه الدالة ﻕﺱ. إذن لدينا الدالة ﻕﺱ تساوي ﺱ تكعيب زائد ٢١ﺱ ناقص خمسة.

الآن، نفاضل هذا لإيجاد الدالة ﻕ شرطةﺱ. باشتقاق ﺱ تكعيب، نحصل على ثلاثة ﺱ تربيع. باشتقاق ٢١ﺱ نحصل على ٢١، وباشتقاق ناقص خمسة نحصل على صفر. إذن الدالة ﻕ شرطة ﺱ تساوي ثلاثة ﺱ تربيع زائد ٢١، وهو ما يمكننا كتابته أيضًا في صورة ثلاثة في ﺱ تربيع زائد سبعة بما أننا أخذنا ثلاثة عاملًا مشتركًا. ونلاحظ هنا أن لدينا عددًا ثابتًا، وهو ثلاثة مضروبة في بسط الكسر في التكامل.

يمكننا الآن إعادة ترتيب هذا بحيث نكتب ﺱ تربيع زائد سبعة يساوي ثلث في الدالة ﻕ شرطة ﺱ. إذن يمكننا كتابة التكامل في صورة ثلث في الدالة ﻕ شرطة ﺱ على الدالة ﻕﺱ بالنسبة إلى ﺱ. ولأن الثلث ما هو إلا عدد ثابت، يمكننا أخذه خارج علامة التكامل. وبذلك، نحصل على هذا.

الآن، يصبح التكامل بالصيغة التالية: تكامل الدالة ﺩ للدالة ﻕﺱ مضروبة في الدالة ﻕ شرطة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ، حيث ﺩ هي الدالة ﺩ للدالة ﻕﺱ تساوي واحدًا على الدالة ﻕﺱ. إذن لدينا التكامل الآن بهذه الصيغة، ويمكننا استخدام التعويض بالمتغير ﻉ. وفي هذا التعويض، سنجعل ﻉ يساوي الدالة ﻕﺱ.

سنحتاج الآن إلى إيجاد ﺩﻉ بدلالة ﺩﺱ. يمكننا الاستفادة من حقيقة أن ﺩﻉ يساوي ﺩﻉ على ﺩﺱ في ﺩﺱ. الآن، بما أن ﻉ يساوي الدالة ﻕﺱ، إذن ﺩﻉ ﺩﺱ يساوي الدالة ﻕ شرطة ﺱ. ومن ثم، نحصل على ﺩﻉ يساوي الدالة ﻕ شرطة ﺱ مضروبة في ﺩﺱ.

يمكننا إعادة كتابة التكامل بالصيغة ثلث التكامل في الدالة ﻕ شرطة ﺱ على الدالة ﻕﺱ بالنسبة إلى ﺱ بالصيغة ثلث تكامل واحد على الدالة ﻕﺱ في الدالة ﻕ شرطة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. نلاحظ الآن أن لدينا الدالة ﻕ شرطة ﺱ مضروبة في ﺩﺱ، التي هي نفسها ﺩﻉ في ﺱ.

إذن نحن جاهزون لإجراء التعويض، وعلينا أن نتذكر أن ﻉ يساوي الدالة ﻕﺱ وأن ﺩﻉ يساوي الدالة ﻕ شرطةﺩﺱ. وبهذا، نكون قد توصلنا إلى أن هذا يساوي ثلث في تكامل واحد على ﻉ ﺩﻉ. الآن كل ما نحتاج إليه هو حساب ثلث في تكامل واحد على ﻉ ﺩﻉ. وقد توصلنا إلى أن هذا يساوي ثلث في اللوغاريتم الطبيعي لقيمة ﻉ المطلقة. الآن، بما أن هذا كان تكاملًا غير محدد، فعلينا ألا ننسى إضافة ثابت التكامل. وبذلك، نحصل على زائد 𝑐 في النهاية.

يمكننا بعد ذلك إيجاد معكوس التعويض. إذن لدينا ﻉ يساوي الدالة ﻕﺱ. ومن ثم، يمكننا إيجاد معكوس التعويض، حيث لدينا ثلث في اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة للدالة ﻕﺱ زائد 𝑐. وفي الخطوة الأخيرة، يمكننا إيجاد معكوس التعويض للدالة ﻕﺱ تساوي ﺱ تكعيب زائد ٢١ﺱ ناقص خمسة.

وهكذا، يكون الناتج النهائي أن التكامل غير المحدد للدالة ﺱ تربيع زائد سبعة على ﺱ تكعيب زائد ٢١ﺱ ناقص خمسة بالنسبة إلى ﺱ يساوي ثلث في اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة ﺱ تكعيب زائد ٢١ﺱ ناقص خمسة زائد 𝑐.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.