فيديو: إيجاد تكامل دالة كسرية باستخدام التكامل بالتعويض

أوجد ‪∫((𝑥² + 7)/(𝑥³ + 21𝑥 − 5))d𝑥‬‏.

٠٥:٢٧

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد التكامل غير المحدد للدالة 𝑥 تربيع زائد سبعة على 𝑥 تكعيب زائد 21𝑥 ناقص خمسة بالنسبة إلى 𝑥.

لحل هذه المسألة، سنستخدم التكامل بالتعويض. يمكننا فعل ذلك بأن نأخذ المقام ونطلق عليه الدالة 𝑔 في المتغير 𝑥. إذن لدينا الدالة 𝑔 في المتغير 𝑥 تساوي 𝑥 تكعيب زائد 21𝑥 ناقص خمسة.

الآن، نفاضل هذا لإيجاد الدالة 𝑔 شرطة في المتغير 𝑥. باشتقاق 𝑥 تكعيب، نحصل على ثلاثة 𝑥 تربيع. باشتقاق 21𝑥 نحصل على 21، وباشتقاق ناقص خمسة نحصل على صفر. إذن الدالة 𝑔 شرطة في المتغير 𝑥 تساوي ثلاثة 𝑥 تربيع زائد 21، وهو ما يمكننا كتابته أيضًا في صورة ثلاثة في 𝑥 تربيع زائد سبعة بما أننا أخذنا ثلاثة عاملًا مشتركًا. ونلاحظ هنا أن لدينا عددًا ثابتًا، وهو ثلاثة مضروبة في بسط الكسر في التكامل.

يمكننا الآن إعادة ترتيب هذا بحيث نكتب 𝑥 تربيع زائد سبعة يساوي ثلث في الدالة 𝑔 شرطة في المتغير 𝑥. إذن يمكننا كتابة التكامل في صورة ثلث في الدالة 𝑔 شرطة في المتغير 𝑥 على الدالة 𝑔 في المتغير 𝑥 بالنسبة إلى 𝑥. ولأن الثلث ما هو إلا عدد ثابت، يمكننا أخذه خارج علامة التكامل. وبذلك، نحصل على هذا.

الآن، يصبح التكامل بالصيغة التالية: تكامل الدالة 𝐹 للدالة 𝑔 في المتغير 𝑥 مضروبة في الدالة 𝑔 شرطة في المتغير 𝑥 بالنسبة إلى 𝑥، حيث 𝐹 هي الدالة 𝐹 للدالة 𝑔 في المتغير 𝑥 تساوي واحدًا على الدالة 𝑔 في المتغير 𝑥. إذن لدينا التكامل الآن بهذه الصيغة، ويمكننا استخدام التعويض بالمتغير 𝑢. وفي هذا التعويض، سنجعل 𝑢 يساوي الدالة 𝑔 في المتغير 𝑥.

سنحتاج الآن إلى إيجاد d𝑢 بدلالة d𝑥. يمكننا الاستفادة من حقيقة أن d𝑢 يساوي d𝑢 على d𝑥 في d𝑥. الآن، بما أن 𝑢 يساوي الدالة 𝑔 في المتغير 𝑥، إذن d𝑢 d𝑥 يساوي الدالة 𝑔 شرطة في المتغير 𝑥. ومن ثم، نحصل على d𝑢 يساوي الدالة 𝑔 شرطة في المتغير 𝑥 مضروبة في d𝑥.

يمكننا إعادة كتابة التكامل بالصيغة ثلث التكامل في الدالة 𝑔 شرطة في المتغير 𝑥 على الدالة 𝑔 في d𝑥 𝑥 بالصيغة ثلث تكامل واحد على الدالة 𝑔 في المتغير 𝑥 في الدالة 𝑔 شرطة في المتغير 𝑥 بالنسبة إلى 𝑥. نلاحظ الآن أن لدينا الدالة 𝑔 شرطة في المتغير 𝑥 مضروبة في d𝑥، التي هي نفسها d𝑢 في 𝑥.

إذن نحن جاهزون لإجراء التعويض، وعلينا أن نتذكر أن 𝑢 يساوي الدالة 𝑔 في المتغير 𝑥 وأن d𝑢 يساوي الدالة 𝑔 شرطة في المتغير d𝑥. وبهذا، نكون قد توصلنا إلى أن هذا يساوي ثلث في تكامل واحد على 𝑢 d𝑢. الآن كل ما نحتاج إليه هو حساب ثلث في تكامل واحد على 𝑢 d𝑢. وقد توصلنا إلى أن هذا يساوي ثلث في اللوغاريتم الطبيعي لقيمة 𝑢 المطلقة. الآن، بما أن هذا كان تكاملًا غير محدد، فعلينا ألا ننسى إضافة ثابت التكامل. وبذلك، نحصل على زائد 𝑐 في النهاية.

يمكننا بعد ذلك إيجاد معكوس التعويض. إذن لدينا 𝑢 يساوي الدالة 𝑔 في المتغير 𝑥. ومن ثم، يمكننا إيجاد معكوس التعويض، حيث لدينا ثلث في اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة للدالة 𝑔 في المتغير 𝑥 زائد 𝑐. وفي الخطوة الأخيرة، يمكننا إيجاد معكوس التعويض للدالة 𝑔 في المتغير 𝑥 تساوي 𝑥 تكعيب زائد 21𝑥 ناقص خمسة.

وهكذا، يكون الناتج النهائي أن التكامل غير المحدد للدالة 𝑥 تربيع زائد سبعة على 𝑥 تكعيب زائد 21𝑥 ناقص خمسة بالنسبة إلى 𝑥 يساوي ثلث في اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة 𝑥 تكعيب زائد 21𝑥 ناقص خمسة زائد 𝑐.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.