نسخة الفيديو النصية
تتغير مساحة صفيحة ﻡ بمعدل ﺩﻡ على ﺩﻥ يساوي ﻫ أس سالب ٠٫٧ﻥ سنتيمتر مربع لكل ثانية، بداية من مساحة ٦٠ سنتيمترًا مربعًا. أوجد مقدارًا دقيقًا يعبر عن مساحة الصفيحة بعد مرور ٣٠ ثانية.
يكمن مفتاح حل هذا السؤال في الانتباه إلى المعطيات الموضحة عن معدل تغير المساحة. وهو ﺩﻡ على ﺩﻥ؛ أي مشتقة ﻡ بالنسبة إلى ﻥ. حسنًا، نعلم أن التكامل والاشتقاق عمليتان عكسيتان. لذا، يمكننا إيجاد مقدار يعبر عن ﻡ من خلال إيجاد تكامل ﺩﻡ على ﺩﻥ بالنسبة إلى ﻥ.
وسنحصل بذلك على حل عام. ثم سيتعين علينا الاستفادة من معلومة أن المساحة عند البداية تساوي ٦٠ سنتيمترًا مربعًا للتوصل إلى حل خاص لهذه المعادلة. لكن بداية، سنوجد تكامل المقدار ﺩﻡ على ﺩﻥ بالنسبة إلى ﻥ. وهو ما يساوي التكامل غير المحدد لـ ﻫ أس سالب ٠٫٧ﻥ بالنسبة إلى ﻥ.
وهنا، يمكننا تذكر الناتج العام لتكامل ﻫ أس ﺃﺱ بالنسبة إلى ﺱ للحصول على القيم الثابتة الحقيقية لـ ﻡ. هذا الناتج يساوي واحدًا على ﺃ في ﻫ أس ﺃﺱ زائد ثابت التكامل ﺙ. في هذا المثال، نلاحظ أن ﺃ يمكن أن تساوي سالب ٠٫٧ أو سالب سبعة على ١٠. هذا يعني أنه عند حساب تكامل ﻫ أس سالب ٠٫٧ﻥ، سنحصل على واحد على سالب سبعة على ١٠ في ﻫ أس سالب ٠٫٧ﻥ. وبالطبع، نحتاج إلى إضافة ثابت التكامل ﺙ. ونتذكر أنه عند القسمة على كسر، نضرب في مقلوب ذلك الكسر.
لنتعامل الآن مع سالب سبعة على ١٠ على أنه سالب سبعة أعشار. ونجد أنه يساوي واحدًا في سالب ١٠ على سبعة، وهو ما يساوي ببساطة سالب ١٠ على سبعة. وبذلك نكون قد أوجدنا معادلة عامة لـ ﻡ. وهي أن ﻡ يساوي سالب ١٠ على سبعة في ﻫ أس سالب ٠٫٧ﻥ زائد ثابت التكامل ﺙ.
والآن، تذكر أننا نريد، في الواقع، إيجاد مساحة الصفيحة بعد مرور ٣٠ ثانية؛ أي عند ﻥ يساوي ٣٠. لذا، سنبدأ بإيجاد قيمة ثابت التكامل. سنستفيد من حقيقة أن المساحة عند البداية هي ٦٠ سنتيمترًا مربعًا. بعبارة أخرى، عند ﻥ يساوي صفرًا، فإن ﻡ يساوي ٦٠. بالتعويض بهاتين القيمتين في المعادلة، سنحصل على: ٦٠ يساوي سالب ١٠ على سبعة في ﻫ أس صفر زائد ﺙ. ولكن بالطبع ﻫ أس صفر تساوي واحدًا. إذن، يصبح لدينا: ٦٠ يساوي سالب ١٠ على سبعة زائد ﺙ.
هيا نفرغ بعض المساحة ونحل المعادلة لإيجاد قيمة ﺙ. سنعيد كتابة ٦٠ على صورة ٤٢٠ على سبعة. واستنتجنا ذلك من حقيقة أنه يمكننا كتابة ٦٠ على صورة ٦٠ على واحد، ثم ضرب البسط والمقام في سبعة. ومن ثم، يمكننا بسهولة إضافة ١٠ على سبعة إلى طرفي المعادلة لإيجاد قيمة ﺙ. إذن، سنجد أن ﺙ يساوي ٤٣٠ على سبعة. وبذلك نكون قد توصلنا إلى معادلة خاصة بالمساحة باستخدام المعطيات المذكورة عن المساحة عند البداية. ﻡ تساوي سالب ١٠ على سبعة في ﻫ أس سالب ٠٫٧ﻥ زائد ٤٣٠ على سبعة.
والآن، تذكر، أننا نريد إيجاد مقدار دقيق يعبر عن مساحة الصفيحة بعد مرور ٣٠ ثانية. إذن، نعوض بـ ﻥ يساوي ٣٠ في هذه المعادلة. ولن نكتب ذلك على الآلة الحاسبة. تذكر أننا نريد إيجاد مقدار دقيق. لذا بدلًا من ذلك، سنوجد قيمة سالب ٠٫٧ في ٣٠. إذن، سالب ٠٫٧ في ٣٠ يساوي سالب ٢١. وبالطبع، نستخدم السنتيمتر المربع. إذن يمكننا القول إن المقدار الدقيق الذي يعبر عن مساحة الصفيحة بعد مرور ٣٠ ثانية هو سالب ١٠ على سبعة ﻫ أس سالب ٢١ زائد ٤٣٠ على سبعة سنتيمترات مربعة.
