فيديو السؤال: تحديد اطراد الدالة في فترة ما الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أي من التالي صواب بالنسبة للدالة ﺩﺱ تساوي ﺱ تربيع ناقص واحد، حيث ﺱ أقل من أو يساوي صفرًا؟

حسنًا، لدينا خمسة خيارات علينا اختيار أحدها. الخيار الأول (أ) الدالة ﺩﺱ تزايدية في الفترة صفر، ∞، حيث لا ينتمي أي من طرفي الفترة إلى الفترة؛ فهي فترة مفتوحة. الخيار (ب) الدالة ﺩﺱ تناقصية في الفترة صفر، ∞ وتزايدية في الفترة سالب ∞، صفر. الخيار (ج) الدالة ﺩﺱ تناقصية في الفترة سالب ∞، صفر. الخيار (د) الدالة ﺩﺱ تزايدية في الفترة صفر، ∞ وتناقصية في الفترة سالب ∞، صفر. وأخيرًا، الخيار (هـ) الدالة ﺩﺱ تزايدية في الفترة سالب ∞، صفر.

جميع هذه الخيارات لها علاقة بكون الدالة ﺩﺱ تزايدية أو تناقصية، وهذا يعني أنه علينا رسم تمثيل بياني. الدالة ﺩﺱ تساوي ﺱ تربيع ناقص واحد هي دالة تربيعية لها حد ثابت يساوي سالب واحد. وعليه، يكون الجزء المقطوع من المحور ﺹ على التمثيل البياني عند ﺹ يساوي سالب واحد. ما الذي يجب معرفته أيضًا لنتمكن من رسم هذا التمثيل البياني بدقة؟ حسنًا، هذه دالة تربيعية. لذا، دعونا نوجد جذرها.

يمكننا ملاحظة أن ﺱ تربيع ناقص واحد هو فرق بين مربعين. ويساوي ﺱ زائد واحد مضروبًا في ﺱ ناقص واحد. لذا، فإن جذريه هما سالب واحد وواحد. إذن، أصبح لدينا الآن ثلاث نقاط على التمثيل البياني، ويمكننا هنا رسم منحنى أملس، سنرسم قطعًا مكافئًا يمر بهذه النقاط. نلاحظ هنا أنه منحنى مفتوح لأعلى، وهو أمر منطقي نظرًا لأن معامل ﺱ تربيع يساوي واحدًا، وهو ذو إشارة موجبة.

حسنًا، هل نحن جاهزون لاستعراض الخيارات الموجودة لدينا واحدًا تلو الآخر؟ ليس تمامًا؛ ثمة جزء علينا التفكير فيه. تقول معطيات السؤال: «حيث ﺱ أصغر من أو يساوي صفرًا»، وهذا يحدد مجال الدالة. علينا إذن حذف الجزء الذي يقع على يمين المحور ﺹ من التمثيل البياني.

حسنًا، أصبحنا جاهزين الآن. سنتناول الخيارات واحدًا تلو الآخر. هل الدالة ﺩﺱ تزايدية في الفترة صفر، ∞؟ إذا نظرنا إلى التمثيل البياني أو التعريف المذكور في السؤال، فسنجد أن ﺩﺱ في الواقع غير معرفة في هذه الفترة. وعليه، لا يمكن أن تكون الدالة تزايدية فيها. إذن، هذا ليس بالخيار الصحيح.

لسبب مشابه، يمكننا استبعاد الخيار (ب) الذي يقول إن ﺩﺱ دالة تناقصية في الفترة صفر، ∞. حسنًا، في الواقع، الدالة ﺩﺱ غير معرفة في هذه الفترة.

ماذا عن الخيار (ج)؛ الدالة ﺩﺱ تناقصية في الفترة سالب ∞، صفر؟ حسنًا، على الأقل ﺩﺱ معرفة في هذه الفترة. إذا تحركنا نحو الجزء الموجب من المحور ﺱ، فسنجد أن قيمة ﺩﺱ تقل كلما زادت قيمة ﺱ. على سبيل المثال، قيمة ﺩﺱ لهذه القيمة لـ ﺱ أصغر من قيمة ﺩﺱ عندما تكون قيمة ﺱ أقل. كلما زادت قيمة ﺱ، قلت قيمة ﺩﺱ، وهذا يحدث في الفترة كلها حتى نصل إلى طرفها؛ أي صفر. هذه هي الإجابة إذن.

دعونا نلق نظرة على الخيارين الآخرين المتبقيين للتأكد من أننا نستطيع معرفة لماذا ليسا صحيحين. يخبرنا الخيار (د) أن ﺩﺱ تزايدية في الفترة صفر، ∞. لكننا قلنا بالطبع إن ﺩﺱ غير معرفة هنا؛ ذلك لأنها ليست جزءًا من المجال وبالتالي فإن ﺩﺱ لا يمكن أن تكون تزايدية. إذن، هذا ليس صحيحًا.

وأخيرًا، يخبرنا الخيار (هـ) أن ﺩﺱ تزايدية في الفترة سالب ∞، صفر. حسنًا، على الأقل ﺩﺱ معرفة في هذه الفترة، لكنها تناقصية في هذه الفترة كما لاحظنا سابقًا لأنه كلما زادت قيمة ﺱ، قلت قيمة ﺩﺱ. ولكي تكون تزايدية كلما زادت قيمة ﺱ، لا بد أن تزداد قيمة ﺩﺱ. وبهذا، نجد أن الخيار (هـ) خطأ أيضًا.