فيديو: قاعدة مشتقة الضرب

سوزان فائق

يوضح الفيديو قاعدة اشتقاق حاصل ضرب دالتين، وأمثلة توضيحية.

١٢:٠٢

‏نسخة الفيديو النصية

في الفيديو ده هنتكلّم على قاعدة مشتقة الضرب. هنشوف إزَّاي هنجيب المشتقة لدالتين مضروبين في بعض. بس يعني إيه الأول مشتقة الدالة؟ مشتقة الدالة هي ميل المماس لمنحنى الدالة د س، عند أيّ نقطة عليه. ويُرمز لها بالرمز د شرطة س. د شرطة س دي، بتبقى نهاية د س زائد هـ، ناقص د س؛ على هـ، لما الـ هـ تئول للصفر. بشرط وجود النهاية.

لكن مش كل مرة عايزين نحسب مشتقة الدالة، اللي هي بتورّي لنا معدل تغيُّر الدالة، بنضطر إن إحنا نجيب النهاية. فبيبقى الأسهل لينا، إن إحنا نستخدم قواعد أساسية للاشتقاق. فيه قاعدة مشتقة دالة القوة … زيّ قواعد … قاعدة مشتقة دالة القوى: إذا كانت د س بتساوي س أُس ن؛ حيث ن عدد حقيقي. فإن د شرطة س بتساوي ن في س أُس، ن ناقص الواحد. بننقّص الأُس واحد، وبنضرب في الأُس الأساسي.

وعندنا مشتقة الثابت: إذا كانت د س بتساوي ل، اللي هو الـ ل عدد ثابت. فإن د شرطة س بتساوي صفر. وفيه مشتقة مضاعفات القوة: إذا كانت د س بتساوي عدد ثابت ل، مضروب في س أُس ن. فإن د شرطة س هتساوي … الـ ل زيّ ما هو، وهننزّل الأُس الأساسي اللي هو الـ ن. وهنضرب في س أُس، ن ناقص الواحد.

مشتقة المجموع والفرق: بنوزّع الاشتقاق على الدالتين لو كانوا مجموعين أو مطروحين. يعني لو كانت ك س بتساوي د س، زائد أو ناقص ر س. فإن ك شرطة س بتساوي د شرطة س، زائد أو ناقص ر شرطة س. هنا إحنا شُفنا إن مشتقة المجموع والفرق، بيبقوا مجموع أو فرق اشتقاق الدالة. يعني بنجيب اشتقاق الدالة الأولانية. وبنجمعه أو نطرحه من اشتقاق الدالة التانية.

طيب في قاعدة مشتقة الضرب، مش لازم يكون حاصل ضرب الدالتين … مشتقة حاصل ضرب الدالتين، هو نفسه حاصل ضرب مشتقّتَي الدالتين. يعني إيه الكلام ده؟ يعني لو عندنا هنا د س تساوي س، وَ ر س تساوي تلاتة س أُس تلاتة. لو جِبنا مشتقة الضرب، يعني اعتبرنا د س، وَ ر س دول دالتين مضروبين في بعض. وجِبنا مشتقة الضرب. فهنضرب الدالتين دول مع بعض، هنعملهم مثلًا دالة جديدة. اللي هي: د س في ر س، هتساوي س في تلاتة س تكعيب. يعني تلاتة س أُس أربعة.

يبقى مشتقة تلاتة س أُس أربعة، اللي هي د على د س لتلاتة س أُس أربعة، بتساوي … باستخدام قواعد الاشتقاق، هتطلع تلاتة، في أربعة اللي هو الأُس، في س أُس، أربعة ناقص الواحد. بتساوي اتناشر في س تكعيب. طيب ده لو استخدمنا مشتقة الضرب.

طيب لو ضربنا المشتقات؟ يعني جِبنا د شرطة س لوحدها. س اشتقاقها هيبقى واحد. والـ ر س اشتقاقها هيساوي تلاتة في تلاتة في س أُس، تلاتة ناقص الواحد، يعني تسعة س تربيع. طيب لو ضربنا المشتقات هيطلع نفس النتيجة اللي فوق؟ يعني د شرطة س، في ر شرطة س، بيساوي واحد في تسعة س تربيع. طبعًا هنا واضح إن نتيجة مشتقة الضرب، اتناشر س أُس تلاتة، غير ضرب المشتقات اللي هو تسعة س تربيع. يبقى المثال ده وضّح لنا إن مشتقة حاصل ضرب دالتين، ليس بالضرورة يساوي حاصل ضرب مشتقّتَي الدالتين. عشان كده بنحتاج قاعدة لمشتقة الضرب.

نقلب الصفحة ونشوف إيه هي القاعدة دي. إذا كانت كلّ من الدالتين د، وَ ر موجودة عند س. فإن د على د س، لِـ د س في ر س، بتساوي د شرطة س في ر س، زائد ر شرطة س في د س. يعني الدالة الأولانية بنشتقّها؛ يبقى مشتقة الأولى. في الـ ر س؛ يبقى هنضرب في التانية. تمام؟ وهنا مشتقة التانية، في الدالة الأولى. وبنجمعهم على بعض.

يبقى قاعدة مشتقة الضرب هتساوي مشتقة الدالة الأولى في الدالة التانية، زائد مشتقة الدالة التانية في الدالة الأولى. يعني كل دالة من الاتنين؛ مرة هنشتقها، ومرة لأ. هنا مرة هنشتقها، وهنا مش هنشتقها. نقلب الصفحة، وناخد مثال.

اوجد مشتقة الدالة الآتية: ك س بتساوي س أُس تلاتة ناقص اتنين س زائد سبعة، في تلاتة س تربيع ناقص خمسة. هنا دول قوسين مضروبين في بعض، نقدر نعتبرهم د س في ر س؛ دالتين مضروبين في بعض. حيث أن د س هتساوي س أُس تلاتة ناقص اتنين س زائد سبعة. وَ ر س هتساوي تلاتة س تربيع ناقص الخمسة. ونستخدم قاعدة مشتقة الضرب.

طيب قاعدة مشتقة الضرب، بنحتاج الدالة ومشتقتها. يعني هنا هنجيب د شرطة س. هتساوي س أُس تلاتة ناقص اتنين س زائد سبعة، هنستخدم قواعد الاشتقاق الأساسية. أول حدّ ده، اللي هو س تكعيب، دي دالة قوة. يبقى هننزّل الأُس تلاتة، وننقّص الأُس واحد. ناقص اتنين في س، مضاعفات دالة قوة. يبقى الاتنين في س أُس، واحد ناقص الواحد، اللي هي س أُس صفر. على طول بنقول عليها اتنين س، مشتقتها هناخد المعامل بتاعها على طول؛ يبقى الاتنين. زائد سبعة، دي دالة ثابتة، يبقى الاشتقاق بتاعها هيساوي صفر.

يبقى د شرطة س هتساوي تلاتة س تربيع ناقص اتنين. يبقى كده جِبنا د س، وجِبنا د شرطة س. طيب نجيب ر شرطة س، هتساوي … تلاتة س تربيع هتبقى تلاتة في اتنين في س أُس اتنين ده ناقص الواحد. ناقص الخمسة دي اشتقاقها هيبقى بصفر. يبقى ستة س. يبقى كده جِبنا الـ ر س، وَ ر شرطة س.

هنستخدم قاعدة مشتقة الضرب، اللي هي د على د س لِـ د س في ر س. مشتقة الدالة الأولى في الدالة التانية، زائد مشتقة الدالة التانية في الدالة الأولى. يبقى هنعوّض عن قيمهم. يبقى د شرطة س، كانت تلاتة س تربيع ناقص اتنين. هنضربها في الـ ر س، اللي هي تلاتة س تربيع ناقص خمسة. زائد ر داش س، اللي هي ستة س. هنضربها في الدالة الأولانية، اللي هي س تكعيب ناقص اتنين س زائد سبعة.

هنستخدم خاصية التوزيع. القوس الأولاني في القوس التاني، يبقى تلاتة س تربيع في تلاتة س تربيع. وبعدين تلاتة س تربيع في ناقص خمسة. وسالب اتنين في تلاتة س تربيع. وبعدين سالب اتنين في سالب خمسة. الحدّ الأول في الأول، وبعدين الأول في التاني. وبعدين التاني في الأول، وبعدين التاني في التاني. يبقى دي قيمة ضرب القوسين. وبعدين ستة س في س تكعيب، يعني ستة س أُس أربعة. ناقص اتناشر س تربيع، زائد اتنين وأربعين س.

هنبسّطها بإن إحنا هناخد الحدود المشتركة مع بعض. يبقى تسعة س أُس أربعة، زائد ستة س أُس أربعة، هتساوي خمستاشر س أُس أربعة. وخمستاشر س تربيع، وستة س تربيع، الاتنين بالناقص. واتناشر س تربيع كمان بالناقص. هتبقى ناقص تلاتة وتلاتين س تربيع. زائد اتنين وأربعين س، زائد عشرة. يبقى دي مشتقة حاصل ضرب الدالتين: د س، وَ ر س.

نقلب الصفحة وناخد مثال كمان. اوجد مشتقة س أُس تلاتة، ناقص أربعة س تربيع، زائد تمنية وأربعين س، ناقص أربعة وستين. مضروبة في ستة س تربيع، ناقص ستة س، ناقص اتنين. يبقى هنا ك س هنعتبرها دالتين مضروبين في بعض. اللي هم د س، والتانية ر س. وهنجيب بقاعدة مشتقة الضرب، اشتقاق ك س. يبقى د شرطة س هتساوي تلاتة س تربيع، ناقص تمنية س، زائد تمنية وأربعين.

الدالة الأولانية س تكعيب، دي دالة قوة. نزّلنا الأُس اللي هو التلاتة. وطرحنا من الأُس الواحد، بقت س تربيع. الدالة التانية أربعة س تربيع. أربعة في اتنين، اللي هو قيمة الأُس. وبعدين نقّصنا الأُس واحد، فطلعت بقت س. زائد تمنية وأربعين س، دي دالة مضاعفات القوة. وعندنا هنا القوة واحد. لمّا هنقّصها صفر، هتبقى س أُس واحد ناقص الواحد، اللي هي س أُس صفر، بواحد. اتبقّى عندنا بس اللي هو الثابت، تمنية وأربعين. ناقص الأربعة وستين اشتقاقها صفر. يبقى د شرطة س بتساوي تلاتة س تربيع، ناقص تمنية س، زائد تمنية وأربعين.

يبقى ر شرطة س، لمّا هنشتقها، ستة س تربيع دي مضاعفات دالة قوة. يعني ستة في الأُس اللي هو الاتنين. في س؛ هننقّص الأُس واحد، يبقى اتنين ناقص الواحد. يبقى ده أول حدّ. ناقص ستة س، لمّا هنشتقها، هتبقى ناقص ستة في س، اشتقاقها بواحد. يبقى ناقص ستة بس. وناقص اتنين دي دالة ثابتة، هتبقى الاشتقاق بتاعها بصفر. يبقى ر شرطة س هيساوي اتناشر س ناقص ستة.

بعد كده هنستخدم قاعدة مشتقة الضرب. لمّا هنستخدم القاعدة، يبقى هيساوي مشتقة الدالة الأولى، اللي هي: تلاتة س تربيع ناقص تمنية س زائد تمنية وأربعين. وهنضربها في الدالة التانية، اللي هي: ستة س تربيع ناقص ستة س ناقص اتنين. زائد مشتقة الدالة التانية، اللي هي: ر شرطة س، اللي هي قيمتها اتناشر س ناقص ستة. وهنضربها في الدالة الأولى، اللي هي: س تكعيب ناقص أربعة س تربيع زائد تمنية وأربعين س ناقص أربعة وستين.

بنسيب الدالة بالشكل ده، من غير ما نبسّطها، طالما مش محتاجين نبسّطها. حيث أنه في قاعدة مشتقة الضرب، يمكن تبسيط الناتج. ولكن إذا لم يكن هناك سبب لذلك، فيمكن تركها بدون تبسيط.

يبقى اتكلمنا في الفيديو ده عن قاعدة مشتقة الضرب. إيه هي المشتقة للدالة. وإزَّاي بنعرف نحسب مشتقة دالتين مضروبين في بعض

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.