فيديو السؤال: استخدام حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية لحل المسائل الكلامية التي تتضمن زوايا ارتفاع الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

يبلغ ارتفاع جبل ٨٫٧٨ كيلومترات فوق سطح الأرض. قياس زاوية ارتفاع قمة الجبل من نقطة معينة على سطح الأرض ٥٣ درجة. أوجد المسافة بين النقطة على الأرض وقمة الجبل لأقرب متر.

من الجيد دائمًا أن تبدأ سؤالًا كهذا برسم شكل. أولًا لدينا جبل، ارتفاعه ٨٫٧٨ كيلومترات. ثم لدينا قياس زاوية ارتفاع قمة الجبل من نقطة معينة على الأرض ٥٣ درجة.

زاوية الارتفاع هي زاوية تقاس من الخط الأفقي وصولًا إلى خط النظر عند النظر لأعلى باتجاه جسم ما. إذن على الشكل تكون هي هذه الزاوية هنا. ثم طلب منا السؤال إيجاد المسافة بين نقطة معينة على الأرض وقمة الجبل، وهي هذه المسافة هنا، التي أشرت إليها بالحرف ﻑ.

يمكننا رؤية أن هذه الخطوط الثلاثة — أي ارتفاع الجبل الرأسي، ومستوى الأرض الأفقي، والمسافة بين النقطة على الأرض وقمة الجبل — تشكل مثلثًا قائم الزاوية. نعرف طول ضلع واحد في هذا المثلث، وقياس إحدى الزوايا الأخرى. ونريد حساب طول ضلع ثان، ما يعني أننا يمكننا تطبيق حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية في هذه المسألة.

نبدأ بتسمية الأضلاع الثلاثة في هذا المثلث. الضلع الأطول في المثلث القائم الزاوية، وهو الضلع المقابل للزاوية القائمة، هو دائمًا الوتر. والضلع المقابل قطريًا للزاوية الأخرى المعطاة — وهي الزاوية ٥٣ درجة — يسمى المقابل. والضلع الموجود بين الزاوية المعلومة والزاوية القائمة يسمى المجاور.

ولتحديد النسبة المثلثية التي علينا استخدامها في السؤال، نتذكر أولًا تعريف كل نسبة، ثم ننظر إلى ما لدينا من معطيات. الضلع الذي نعلم طوله هو المقابل، والضلع الذي نريد حساب طوله هو الوتر. إذن سنستخدم نسبة الجيب. تعريف نسبة الجيب هو أن جيب الزاوية 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الوتر.

قبل أن نبدأ بالتعويض في الصيغة، لاحظ أن السؤال طلب منا الإجابة لأقرب متر، بينما الطول المعطى للضلع المقابل كان بالكيلومتر. إذن علينا تحويل هذا القياس أولًا. يوجد ١٠٠٠ متر في الكيلومتر الواحد. وبالضرب في ١٠٠٠، نرى أن ٨٫٧٨ كيلومترات يعادل ٨٧٨٠ مترًا.

الآن يمكننا التعويض في نسبة الجيب. ولدينا أن جا ٥٣ درجة يساوي ٨٧٨٠ على ﻑ. لكي نحل هذه المعادلة ونوجد قيمة ﻑ، علينا أولًا أن نخرج ﻑ من مقام الطرف الأيمن، عن طريق ضرب كلا طرفي المعادلة في ﻑ، لنحصل على ﻑ جا ٥٣ درجة يساوي ٨٧٨٠.

بعد ذلك، علينا قسمة طرفي المعادلة على جا ٥٣ درجة، وهو ما يمكننا فعله دون مشكلة لأن جا ٥٣ درجة مجرد عدد. في هذه المرحلة، يمكننا استخدام الآلة الحاسبة لإيجاد قيمة ذلك. لكن علينا التأكد أولًا من أن الآلة الحاسبة على وضع الدرجات. ‏‏٨٧٨٠ على جا ٥٣ درجة يساوي ١٠٩٩٣٫٧٥١٠٨.

تذكر، نريد الحل لأقرب متر. ولأن الرقم الذي يحدد التقريب — وهو في هذه الحالة، أول رقم بعد العلامة العشرية — هو سبعة، نقرب لأعلى. لدينا إذن المسافة بين النقطة على الأرض وقمة الجبل لأقرب متر هي ١٠٩٩٤ مترًا.

تذكر أننا حولنا هذا القياس من ٨٫٧٨ كيلومترات إلى متر قبل البدء في حساب المثلثات. لكن كان يمكننا إجراء حساب المثلثات باستخدام هذا القياس بالكيلومتر ثم تحويل الإجابة إلى متر في النهاية، قبل التقريب، بالضرب في ١٠٠٠.