فيديو السؤال: إيجاد معادلة كرة بمعلومية إحداثيات نقطتين تمثلان نقطتي طرفي قطرها الرياضيات

أوجد معادلة الكرة التي تكون فيها ﺃ = (٩‎، −٦‎، ١)، ﺏ = (−١٦‎، −١٢‎، ٢) نقطتي طرفي قطرها.

٠٦:٥٠

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد معادلة الكرة التي تكون فيها ﺃ يساوي النقطة تسعة، سالب ستة، واحدًا وﺏ يساوي النقطة سالب ١٦، سالب ١٢، اثنين نقطتي طرفي قطرها.

في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد معادلة الكرة. ولمساعدتنا في فعل ذلك، أعطانا السؤال نقطتين وأخبرنا أنهما نقطتا طرفي أحد أقطار الكرة. للإجابة عن هذا السؤال، دعونا نبدأ بتذكر معادلة الكرة. نعلم أن الكرة التي مركزها النقطة ﺃ، ﺏ، ﺟ، ونصف قطرها نق ويساوي قيمة موجبة، تكون معادلتها ﺱ ناقص ﺃ الكل تربيع زائد ﺹ ناقص ﺏ الكل تربيع زائد ﻉ ناقص ﺟ الكل تربيع يساوي نق تربيع. يسمى ذلك الصورة القياسية لمعادلة الكرة.

ولكي نوجد هذه المعادلة للكرة لدينا، كل ما علينا معرفته هو نقطة مركزها ونصف قطرها. علينا إيجاد هاتين المعلومتين باستخدام النقطتين اللتين علمنا أنهما نقطتا طرفي قطر الكرة. يمكننا إيجاد ذلك بتذكر أن قطر الكرة المار بالنقطتين ﺃ وﺏ على سطح الكرة هو قطعة مستقيمة تمر بمركز الكرة. لنطلق على هذا المركز ﻡ. ومن ثم تكون القطعة المستقيمة ﻡﺃ والقطعة المستقيمة ﻡﺏ نصفي قطر الكرة. ومن ثم، تكونان متساويتين في الطول.

هذا يعني أن مركز الكرة سيكون دائمًا نقطة المنتصف بين نقطتي طرفي قطرها. ومن ثم، يمكننا إيجاد مركز الكرة بإيجاد نقطة منتصف القطعة المستقيمة ﺃﺏ. ويمكننا إيجاد نصف قطر الكرة عن طريق إيجاد طول القطعة المستقيمة ﻡﺃ أو طول القطعة المستقيمة ﻡﺏ.

لنبدأ بإيجاد إحداثيات مركز الكرة. للقيام بذلك، علينا أن نتذكر أنه لإيجاد نقطة المنتصف الواقعة بين نقطتين في الفضاء، يجب إيجاد متوسط إحداثيات النقطتين. بعبارة أخرى، نقطة المنتصف بين النقطتين ﺱ واحد، ﺹ واحد، ﻉ واحد، وﺱ اثنين، ﺹ اثنين، ﻉ اثنين تساوي النقطة ﺱ واحد زائد ﺱ اثنين الكل على اثنين، ﺹ واحد زائد ﺹ اثنين الكل على اثنين، ﻉ واحد زائد ﻉ اثنين الكل على اثنين. وهذا يعني أنه لإيجاد إحداثيات مركز الكرة ﻡ، علينا أن نحسب متوسط إحداثيات ﺃ وﺏ.

‏ﻡ يساوي النقطة تسعة زائد سالب ١٦ الكل على اثنين، سالب ستة زائد سالب ١٢ الكل على اثنين، واحدًا زائد اثنين الكل على اثنين. وإذا حسبنا قيمة كل من التعبيرات التي لدينا لكل إحداثي، فسنجد أن ﻡ هي النقطة سالب سبعة على اثنين، سالب تسعة، ثلاثة على اثنين. وهذا يعني أننا أوجدنا إحداثيات مركز الكرة. كل ما علينا إيجاده الآن هو نصف قطر هذه الكرة لإيجاد معادلتها على الصورة القياسية.

يوجد العديد من الطرق المختلفة لإيجاد نصف القطر هذا. سنوجد نصف المسافة بين النقطتين ﺃ وﺏ. سنبدأ بإيجاد طول القطر. وهو المسافة بين النقطتين ﺃ وﺏ. لفعل ذلك، نتذكر أن المسافة بين النقطتين ﺱ واحد، ﺹ واحد، ﻉ واحد، وﺱ اثنين، ﺹ اثنين، ﻉ اثنين تساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ واحد ناقص ﺱ اثنين الكل تربيع زائد ﺹ واحد ناقص ﺹ اثنين الكل تربيع زائد ﻉ واحد ناقص ﻉ اثنين الكل تربيع.

بالتعويض بإحداثيات النقطتين ﺃ وﺏ في هذه الصيغة، نحصل على طول قطر الكرة. وسنسميه ﻕ. وهو يساوي الجذر التربيعي لتسعة ناقص سالب ١٦ الكل تربيع زائد سالب ستة ناقص سالب ١٢ الكل تربيع زائد واحد ناقص اثنين الكل تربيع. وبالطبع، تذكر أن ﻕ يساوي اثنين مضروبًا في نق. فهو يساوي ضعف نصف القطر.

بحساب قيمة المقدار الموجود داخل علامة الجذر التربيعي، نحصل على اثنين نق يساوي الجذر التربيعي لـ ٦٦٢. يمكننا بعد ذلك إيجاد القيمة الفعلية لنصف القطر بقسمة كلا طرفي هذه المعادلة على اثنين. نحصل على نق يساوي نصف جذر ٦٦٢. وبذلك أوجدنا نصف قطر الكرة. ونعلم بالفعل مركز الكرة. هذا يعني أنه يمكننا إيجاد معادلة الكرة على الصورة القياسية. يمكننا أن نلاحظ أيضًا من معادلة الكرة على الصورة القياسية أننا نحتاج إلى إيجاد تعبير لـ نق تربيع. يمكننا إيجاد قيمة لــ نق تربيع عن طريق تربيع قيمة نق.

بتربيع كلا طرفي هذه المعادلة، نحصل على نق تربيع يساوي نصف جذر ٦٦٢ الكل تربيع. يمكننا إيجاد قيمة ذلك بتوزيع التربيع على حاصل الضرب. وهذا يساوي نصف تربيع مضروبًا في جذر ٦٦٢ تربيع، وهو ما يساوي، بالطبع، ربعًا مضروبًا في ٦٦٢.

وأخيرًا، يمكننا تبسيط قيمة نق تربيع إلى ٣٣١ على اثنين. كل ما علينا فعله الآن هو التعويض بإحداثيات مركز الكرة والقيمة التي حصلنا عليها لـ نق تربيع في الصورة القياسية لمعادلة الكرة. ولفعل ذلك، نحصل على الإجابة النهائية. معادلة الكرة التي فيها النقطة ﺃ تسعة، سالب ستة، واحد والنقطة ﺏ سالب ١٦، سالب ١٢، اثنان هما نقطتا طرفي قطر الكرة تساوي ﺱ زائد سبعة على اثنين الكل تربيع زائد ﺹ زائد تسعة الكل تربيع زائد ﻉ ناقص ثلاثة على اثنين الكل تربيع يساوي ٣٣١ على اثنين.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.