نسخة الفيديو النصية
أوجد معدل التغير اللحظي للدالة ﺩﺱ تساوي اثنين ﺱ تربيع زائد تسعة عند ﺱ يساوي سالب ثلاثة.
في هذا السؤال، نحاول إيجاد معدل التغير اللحظي للدالة ﺩﺱ عند ﺱ يساوي سالب ثلاثة. من المهم ملاحظة أن هذا المعدل مختلف عن متوسط معدل التغير للدالة. ولعلنا نتذكر أن متوسط معدل التغير لدالة عشوائية، مثل الدالة المرسومة خلال الفترة من ﺱ إلى ﺱ زائد ﻫ، يعطى بواسطة ﺩﺱ زائد ﻫ ناقص ﺩﺱ الكل مقسومًا على ﻫ. وهذا يمثل ميل القطعة المستقيمة الموضحة. ومن الواضح أن ميل القطعة المستقيمة ومن ثم متوسط معدل التغير للدالة سيعتمد على طول الفترة التي نوجد المتوسط خلالها، ومن ثم على قيمة ﻫ.
وبينما يصبح كل من ﻫ والفترة أصغر فأصغر، يقترب ميل الأوتار أكثر فأكثر من ميل خط المماس. وميل هذا المماس هو معدل التغير اللحظي للدالة عند القيمة المعطاة للقيمة المدخلة. وكما ذكر بالفعل، يمكننا من خلال التعبير المعطى إيجاد متوسط معدل التغير للدالة خلال الفترة من ﺱ إلى ﺱ زائد ﻫ. ولإيجاد معدل التغير اللحظي، فإننا نحسب نهاية الدالة عند اقتراب ﻫ من صفر، ما يجعل الفترة أصغر فأصغر، وميل هذه الأوتار يصبح أقرب أكثر فأكثر إلى ميل المماس، وهذا هو معدل التغير اللحظي.
علينا الآن إيجاد هذه النهاية عند ﺱ يساوي سالب ثلاثة. دعونا نبدأ بإيجاد تعبير لـ ﺩ لسالب ثلاثة زائد ﻫ. باستخدام تعريف الدالة ﺩﺱ، نحصل على ﺩ لسالب ثلاثة زائد ﻫ يساوي اثنين مضروبًا في سالب ثلاثة زائد ﻫ تربيع زائد تسعة. عند تربيع سالب ثلاثة زائد ﻫ، نحصل على تسعة ناقص ستة ﻫ زائد ﻫ تربيع. وبتوزيع اثنين على ما بداخل القوسين، يصبح لدينا ١٨ ناقص ١٢ﻫ زائد اثنين ﻫ تربيع زائد تسعة. وعليه، فإن التعبير المبسط للدالة ﺩ لسالب ثلاثة زائد ﻫ هو ٢٧ ناقص ١٢ﻫ زائد اثنين ﻫ تربيع.
وبالمثل، يمكننا حساب ﺩ لسالب ثلاثة. وهذا يساوي اثنين مضروبًا في سالب ثلاثة تربيع زائد تسعة، أي ما يساوي ٢٧. وبالتعويض بهاتين القيمتين في التعبير لدينا، نحصل على النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر لـ ٢٧ ناقص ١٢ﻫ زائد اثنين ﻫ تربيع ناقص ٢٧ الكل مقسومًا على ﻫ. ويلغي الثابتان أحدهما الآخر لأن ٢٧ ناقص ٢٧ يساوي صفرًا. ونظرًا لأن ﻫ يقترب من صفر، ومن ثم لن يساوي صفرًا، يمكننا قسمة البسط والمقام على ﻫ. وهذا يعطينا النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر لسالب ١٢ زائد اثنين ﻫ.
لدينا الآن كثيرة حدود بدلالة ﻫ، ويمكننا إيجاد قيمتها عن طريق التعويض المباشر. عند ﻫ يساوي صفرًا، يصبح لدينا سالب ١٢ زائد اثنين مضروبًا في صفر، ما يساوي سالب ١٢. إذن، يمكننا استنتاج أن معدل التغير اللحظي للدالة ﺩﺱ تساوي اثنين ﺱ تربيع زائد تسعة عند ﺱ يساوي سالب ثلاثة هو سالب ١٢.
