فيديو: إيجاد معدل تغير دالة كثيرة الحدود عند نقطة

أوجد معدل تغير الدالة 𝑓(𝑥) = 2𝑥² + 9 عندما تكون 𝑥 = −3.

٠٥:٠١

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد معدل تغير الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 تساوي اثنين 𝑥 تربيع زائد تسعة عندما تكون 𝑥 يساوي سالب ثلاثة.

نحن نبحث عن معدل تغير الدالة وليس متوسط معدل تغير الدالة خلال فترة ما، ولكن معدل التغير اللحظي للدالة عند 𝑥 يساوي سالب ثلاثة.

ربما تعلم أن متوسط معدل التغير لدالة عشوائية، مثل الدالة المرسومة خلال الفترة من 𝑥 إلى 𝑥 زائد ℎ، تنتج من الدالة 𝑓 لـ 𝑥 زائد ℎ ناقص 𝑓 في المتغير 𝑥 الكل على ℎ، أي، ميل القطعة المستقيمة الموضحة.

من الواضح أن ميل القطعة المستقيمة، وبالتالي معدل متوسط تغير الدالة، يعتمد على الفترة التي نوجد المتوسط خلالها، وبالتالي على قيمة ℎ. ولكن عندما يصبح كل من ℎ والفترة أصغر أكثر فأكثر، يقترب ميل الأوتار من ميل المماس. وميل هذا المماس هو معدل التغير اللحظي للدالة عند القيمة المعطاة لمدخلها.

يعطي مقدار الدالة 𝑓 للمتغير 𝑥 زائد ℎ ناقص الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 الكل مقسوم على ℎ متوسط معدل تغير الدالة خلال الفترة من 𝑥 إلى 𝑥 زائد ℎ. ولإيجاد معدل التغير اللحظي، نحسب نهاية الدالة عند اقتراب ℎ من صفر، ما يجعل الفترات أصغر أكثر فأكثر، وميل هذه الأوتار يصبح أقرب أكثر فأكثر إلى ميل المماس، وهذا هو معدل التغير اللحظي.

والآن، علينا فقط تقدير قيمة هذه النهاية. نحن نبحث عن معدل التغير اللحظي عند 𝑥 يساوي سالب ثلاثة. لذا نعوض بسالب ثلاثة عن 𝑥. ومن ثم، يصبح البسط هو الدالة 𝑓 لسالب ثلاثة زائد ℎ ناقص 𝑓 لسالب ثلاثة.

نستخدم الآن تعريف الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 الذي لدينا. نجد قيمة 𝑓 لسالب ثلاثة من خلال التعويض بسالب ثلاثة عن 𝑥 في المقدار المساوي للدالة 𝑓 في المتغير 𝑥. وهذا يعني أنه حيثما نجد 𝑥، نضع مكانها سالب ثلاثة.

والآن، ماذا عن الحد الآخر، الدالة 𝑓 لسالب ثلاثة زائد ℎ؟ كيف نجد قيمته؟ حسنًا، بنفس الطريقة، نستبدل سالب ثلاثة زائد ℎ بـ 𝑥 في تعريف الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥. ويصبح لدينا اثنان في سالب ثلاثة زائد ℎ تربيع زائد تسعة. والمقام ℎ يكمل المقدار الجبري داخل النهاية.

هذا البسط غير منظم تمامًا. إذن، دعونا نر إذا كنا نستطيع تبسيطه. نبدأ أولًا باثنين في سالب ثلاثة زائد ℎ تربيع، والذي يمكننا فكه للحصول على ℎ تربيع ناقص ستة ℎ زائد تسعة. نضيف تسعة ونطرح 27، والتي تمثل ناتج 𝑓 لسالب ثلاثة، قبل أن نقسم الكل مرة أخرى على ℎ.

يمكننا التبسيط أكثر بتوزيع الاثنين على الحدود الموجودة داخل القوسين ثم التعامل مع الحدين الثابتين الآخرين. نجد أن علينا طرح 18. وهكذا يلغي الحدان الثابتان أحدهما الآخر. ويتبقى لدينا اثنان ℎ تربيع ناقص 12ℎ في البسط والمقام المعتاد ℎ.

يمكننا أن نرى الآن أن البسط يتضمن عاملًا مشتركًا هو ℎ، والذي يمكن إلغاؤه مع المقام. وبإلغاء العامل المشترك، يصبح لدينا النهاية اثنان ℎ ناقص 12 عندما يقترب ℎ من الصفر، والتي يمكننا تقديرها باستخدام التعويض المباشر. فتصبح اثنين في صفر ناقص 12، والتي تساوي سالب 12.

ومن ثم فإن معدل التغير اللحظي للدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 تساوي اثنين 𝑥 تربيع زائد تسعة عند 𝑥 يساوي سالب ثلاثة هو سالب 12. هذه هي نهاية متوسط معدل التغير للدالة خلال الفترة من 𝑥 إلى 𝑥 زائد ℎ عند اقتراب ℎ من الصفر.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.