فيديو السؤال: تحديد المتجه الذي لا يكون عموديًّا على الخط المعطى الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

أي المتجهات الآتية ليس عموديًّا على الخط المستقيم الذي متجه اتجاهه المتجه ﺭ، هو اثنان، سالب ثلاثة، خمسة؟ (أ) المتجه ١٠، ١٠، اثنان. (ب) المتجه سالب ١٠، سالب خمسة، واحد. (ج) المتجه اثنان، سالب اثنين، سالب اثنين. (د) المتجه واحد، سالب اثنين، ثلاثة. (هـ) المتجه اثنان، ثلاثة، واحد.

أول شيء علينا تذكره هو أنه إذا كان المتجهان ﺃ وﺏ متعامدين، فلا بد أن يكون حاصل الضرب القياسي لهما يساوي صفرًا. إذن لإيجاد أي من هذه المتجهات ليس عموديًّا على الخط المستقيم، علينا إيجاد المتجه الذي لا يعطينا صفرًا عند ضربه قياسيًّا في المتجه اثنين، سالب ثلاثة، خمسة. لإيجاد حاصل الضرب القياسي، يمكننا تذكر أنه إذا كان المتجه ﺃ يساوي ﺃﺱ، ﺃﺹ، ﺃﻉ، والمتجه ﺏ يساوي ﺏﺱ، ﺏﺹ، ﺏﻉ، فحاصل الضرب القياسي للمتجه ﺃ في المتجه ﺏ يساوي ﺃﺱ في ﺏﺱ زائد ﺃﺹ في ﺏﺹ زائد ﺃﻉ في ﺏﻉ.

لنبدأ إذن بالخيار (أ)، ونأخذ حاصل الضرب القياسي للمتجه ١٠، ١٠، اثنين، والمتجه اثنين، سالب ثلاثة، خمسة. هذا سيساوي ١٠ في اثنين زائد ١٠ في سالب ثلاثة زائد اثنين في خمسة. ‏١٠ في اثنين يساوي ٢٠، و١٠ في سالب ثلاثة يساوي سالب ٣٠، واثنان في خمسة يساوي ١٠. وعندما نبسط ٢٠ ناقص ٣٠ زائد ١٠، نحصل على صفر. وبما أن حاصل الضرب القياسي لهذا المتجه المعطى في الخيار (أ) والمتجه اثنين، سالب ثلاثة، خمسة يساوي صفرًا، فهذا يعني أن هذين المتجهين متعامدان.

نبحث عن متجه ليس عموديًّا على المتجه المعطى. لذا دعونا نلق نظرة على المتجه المعطى في الخيار (ب). مرة أخرى، نوجد حاصل الضرب القياسي لهذا المتجه سالب ١٠، سالب خمسة، واحد، والمتجه اثنين، سالب ثلاثة، خمسة. هذا يعطينا سالب ١٠ في اثنين زائد سالب خمسة في سالب ثلاثة زائد واحد في خمسة. يمكننا تبسيط ذلك إلى سالب ٢٠ زائد ١٥ زائد خمسة، وهو ما يعطينا صفرًا. مرة أخرى، أوجدنا متجهًا عموديًّا آخر.

دعونا إذن نجرب الخيار (ج). حاصل الضرب القياسي للمتجه اثنين، سالب اثنين، سالب اثنين، والمتجه اثنين، سالب ثلاثة، خمسة يساوي اثنين في اثنين زائد سالب اثنين في سالب ثلاثة زائد سالب اثنين في خمسة. بتبسيط هذا الناتج، نحصل على صفر. وبذلك نكون قد أوجدنا متجهًا ثالثًا عموديًّا على المتجه ﺭ. ولكن عندما ننظر إلى الخيار (د) ونحسب حاصل الضرب القياسي لهذا المتجه والمتجه اثنين، سالب ثلاثة، خمسة، فسنحصل على ٢٣. بما أن حاصل الضرب القياسي لهذين المتجهين لا يساوي صفرًا، فيمكننا القول إن هذين المتجهين ليسا متعامدين.

يبدو أننا توصلنا إلى الإجابة، لكن من المفيد التحقق من خيار (هـ) للتأكد فقط. عندما نأخذ حاصل الضرب القياسي للمتجه اثنين، ثلاثة، واحد، والمتجه اثنين، سالب ثلاثة، خمسة، نحصل بالفعل على صفر. وسيكون هذان المتجهان متعامدين. وبذلك، يمكننا القول إن المتجه الذي ليس عموديًّا على الخط المستقيم الذي متجه اتجاهه اثنان، سالب ثلاثة، خمسة، هو المتجه المعطى في الخيار (د). إنه المتجه واحد، سالب اثنين، ثلاثة.