فيديو السؤال: استخدام الحل الخطي الأمثل لتحقيق أقصى ربح الرياضيات • الصف الأول الثانوي

نسخة الفيديو النصية

ينتج أحد المصانع كراسي وطاولات، ويحاول تحديد العدد اللازم إنتاجه لتحقيق أقصى ربح. حددت إدارة المصنع القيود، ورسمت منطقة الحل كما هو موضح؛ حيث يمثل ﺱ عدد الكراسي، ويمثل ﺹ عدد الطاولات. إذا وجدت الإدارة مشتريًا يوافق على دفع سعر يحقق للمصنع ربحًا مقداره ١٥٠ لكل كرسي و٢٠٠ لكل طاولة، فما أقصى ربح يمكنها توقعه؟

دعونا نبدأ بإلقاء نظرة على منطقة الحل. إنها المنطقة المظللة باللون الرمادي. نعرف أن قيمة كل من ﺱ وﺹ لا يمكن أن تكون سالبة؛ لأنه لا يمكن أن ننتج كمية سالبة من الكراسي أو الطاولات. إذن، نحن نتعامل مع الربع الأول فقط. حدد المصنع القيدين الآخرين بهاتين الدالتين. وينتج عن هذين القيدين أربع نقاط للقيم القصوى. نقاط القيم القصوى هذه مهمة؛ لأن أقصى قيمة للربح ستكون عند إحدى هذه النقاط الأربع. تتخذ منطقة الحل شكلًا رباعيًّا. ورءوسه الأربعة ستكون هي نقاط القيم القصوى. النقطة الأولى هي صفر، صفر. والنقطة الثانية ٤٥، صفر؛ والنقطة الثالثة صفر، ٣٢؛ والنقطة الرابعة ٣٨، ١٨.

نبدأ باستبعاد النقطة صفر، صفر. وبالرغم من أن صفر، صفر هي نقطة قيمة قصوى صحيحة، فإن هدف المصنع هو تحقيق أقصى ربح، وبالطبع، إنتاج عدد صفر من الكراسي وعدد صفر من الطاولات لن يحقق للمصنع أي ربح. لإيجاد أقصى ربح، علينا التفكير في النقاط الثلاث الأخرى. نعرف أن الربح سيساوي ١٥٠ في ﺱ، حيث ﺱ هو عدد الكراسي، زائد ٢٠٠ في ﺹ، حيث ﺹ هو عدد الطاولات.

هيا نعوض بالقيم التي نعرفها. بالنسبة إلى نقطة القيمة القصوى الأولى، فإن الربح سيساوي ١٥٠ في ٤٥ زائد ٢٠٠ في صفر. ‏١٥٠ في ٤٥ يساوي ٦٧٥٠، و٢٠٠ في صفر يساوي صفرًا. هذا يعني أنه عند إنتاج ٤٥ كرسيًّا وصفر من الطاولات، سيكون الربح ٦٧٥٠. بعد ذلك، لدينا النقطة صفر، ٣٢، أي عدد صفر من الكراسي و٣٢ طاولة، فيصبح لدينا ١٥٠ في صفر يساوي صفرًا زائد ٢٠٠ في ٣٢ يساوي ٦٤٠٠. إذا أنتج المصنع عدد صفر من الكراسي و٣٢ طاولة، فسيكون ربحه ٦٤٠٠. آخر نقطة قيمة قصوى لدينا ستعطينا ١٥٠ في ٣٨ زائد ٢٠٠ في ١٨. وهذا يساوي ٩٣٠٠. إذن، إنتاج ٣٨ كرسيًّا و١٨ طاولة يحقق أقصى ربح في ظل قيود الربح لكل كرسي وطاولة. وعليه، فإن أقصى ربح في ظل هذه القيود هو ٩٣٠٠.

والآن نتساءل؛ إذا لم يكن بالإمكان غير ضمان ربح مقداره ٥٠ لكل كرسي و١٨٠ لكل طاولة، فما عدد الكراسي والطاولات اللازم إنتاجه لتحقيق أقصى ربح للمصنع؟ سنتبع الخطوات نفسها. لكن الأمر الوحيد الذي سيتغير هو الربح لكل قطعة. سنفترض أن ربح كل كرسي ٥٠، وربح كل طاولة ١٨٠. لا يزال صحيحًا أننا لن نحقق أقصى ربح بعدم إنتاج أي شيء. النقطة الأولى هي إنتاج ٤٥ كرسيًّا وصفر من الطاولات. ‏٥٠ في ٤٥ زائد صفر يساوي ربحًا مقداره ٢٢٥٠. بالانتقال إلى صفر من الكراسي و٣٢ طاولة، يصبح لدينا ٥٠ في صفر زائد ١٨٠ في ٣٢ يساوي ربحًا مقداره ٥٧٦٠. ونقطة القيمة القصوى الأخيرة هي ٣٨، ١٨ وتحقق ربحًا مقداره ٥١٤٠.

هذه المرة، يتحقق أقصى ربح عند نقطة القيمة القصوى صفر، ٣٢. إذن، إذا لم يكن بالإمكان غير ضمان ربح مقداره ٥٠ لكل كرسي و١٨٠ لكل طاولة، فستحقق إدارة المصنع ربحًا أكبر إذا أنتجت عدد صفر من الكراسي و٣٢ طاولة. وفي ظل هذه القيود، يجب أن تكون قيمة ﺱ هي صفرًا، ما يعني أنه يجب إنتاج عدد صفر من الكراسي. وقيمة ﺹ تساوي ٣٢، ما يمثل ٣٢ طاولة.