فيديو: تطبيق على حساب المساحة تحت المنحنى باستخدام التكامل المحدَّد وخصائص النهايات

سوزان فائق

يوضِّح الفيديو مفهوم التكامل المحدَّد، وتطبيقًا على حساب المساحة تحت المنحنى باستخدام التكامل المحدَّد وخصائص النهايات.

١١:٣٥

‏نسخة الفيديو النصية

في الفيديو ده هنتكلّم على تطبيق على حساب المساحة تحت المنحنى، باستخدام التكامل المحدّد وخصائص النهايات.

لحساب المساحة تحت المنحنى ومحور السينات، بنقسّم المساحة لمستطيلات، نقدر نجيب مساحاتها ونجمّع المستطيلات دي، ونشوف قيمتها، تبقى هي دي المساحة تحت المنحنى. وكل امّا بيبقى عرض المستطيل أقل كل امّا بتبقى المساحة أدق. يعني لو عندنا دالة ص تساوي د س بالشكل ده، هنقسّمها لمستطيلات، وكل مستطيل هيبقى العرض بتاعه Δ س. الـ Δ س دي المفروض ثابتة في كل المستطيلات. فكل امّا نقلل قيمتها كل امّا بتبقى المساحة أدق. بمعنى إن الفراغات اللي موجودة دي بتكاد تكون صفر. بنستخدم التكامل المحدّد لإيجاد المساحة تحت المنحنى اللي بالصيغة دي. الصيغة دي عبارة عن مجموع مساحات المستطيلات من هـ يساوي واحد إلى ن. عبارة عن الطول في العرض. الطول بيمثّله د س هـ. والعرض Δ س بنجيب النهاية ن تئول لمَّا لا نهاية؛ لأن عدد المستطيلات كل امّا بيصغر عرضها كل امّا بيبقى عدد المستطيلات يوصل للمالانهاية.

التكامل المحدّد أ إلى ب. الـ أ بتمثّل الحدّ الأدنى للفترة والـ ب الحدّ الأعلى لِـ د س. د س يساوي نهاية ن لمَّا تئول للمالانهاية. مجموع من هـ يساوي واحد إلى ن لِـ د س هـ مضروبة في Δ س. قيمة الـ Δ س اللي هي نهاية الفترة، ناقص بداية الفترة، على عدد ن من الفترات. س هـ بتساوي أ زائد هـ Δ س. وبيعبّر هذا التكامل عن مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الدالة د س والمحور س في الفترة المغلقة أ وَ ب. وبيُسمى مجموع ريمان.

نقلب الصفحة ونشوف التطبيق على التكامل المحدّد باستخدام النهايات. يكلف تبليط المتر المربع الواحد من فناء منزل بالجرانيت اتنين وعشرين وأربعة من عشرة جنيه. إذا تمّ تبليط ممرّين متطابقين في منزل بالجرانيت، وكانت المساحة بالمتر المربع تُعطى بالتكامل من صفر إلى عشرة، للدالة عشرة ناقص واحد من عشرة س تربيع د س. فما تكلفة تبليط الممرين؟

يعني إحنا عايزين نحسب المساحة اللي هنبلّطها. ونضرب المساحة في قيمة المتر المربع. هنرسم الدالة دي عشرة ناقص واحد من عشرة س تربيع. هتبقى بالشكل ده. اللون الأحمر ده هيمثّل الدالة. من صفر إلى عشرة. دي الفترة المغلقة بتاعتنا. عايزين نجيب المساحة اللي باللون الأحمر دي، اللي هي ما بين الدالة د س ومحور السينات. هنستخدم صيغة التكامل المحدّد اللي اتكلمنا عنها من شويّة. بس محتاجين نجيب قيمة Δ س، وكمان محتاجين نجيب قيمة الـ س هـ. الـ Δ س بتساوي نهاية الفترة ناقص بداية الفترة على ن من الفترات. والـ س هـ بتبقى قيمتها أ زائد هـ مضروبة في الـ Δ س.

هنعوّض بالقيم المعلومة. الـ ب قيمتها عشرة ناقص الـ أ قيمتها صفر؛ على ن. يبقى Δ س عشرة على ن. الـ س هـ بتساوي … أ قيمتها صفر، زائد الـ هـ، مضروبة في الـ Δ س، اللي هي عشرة على ن. يبقى الـ س هـ هتبقى عشرة هـ على ن.

علشان نجيب مساحة القيمة اللي تحت المنحنى، هنستخدم صيغة التكامل المحدود من صفر إلى عشرة، لعشرة ناقص واحد من عشرة س تربيع لِـ د س. هتساوي نهاية ن تئول للمالانهاية، لمجموع هـ يساوي واحد إلى ن لِـ د س هـ في Δ س. يبقى كده قيمة التكامل اللي هي المساحة المطلوبة هتبقى نهاية ن تئول للمالانهاية، لمجموع هـ يساوي واحد إلى ن للـ د س هـ. هنعوّض بقيمة الـ س هـ في الدالة الرئيسية، اللي هي الدالة عندنا د س تساوي عشرة ناقص واحد من عشرة س تربيع. يبقى د س هـ هتساوي عشرة ناقص واحد من عشرة س هـ تربيع. والـ س هـ عارفين قيمتها، اللي هي عشرة هـ على ن تربيع. يبقى د س هـ هتساوي عشرة ناقص واحد من عشرة، مضروبة في عشرة هـ على ن الكل تربيع.

هنعوّض بالقيمة ده في صيغة المجموع لِـ د س هـ. هتبقى عشرة ناقص واحد من عشرة، مضروبة في مية هـ تربيع على ن تربيع. الكلام ده كله هنضربه في Δ س اللي جِبنا قيمتها، اللي هي قيمتها عشرة على ن.

نقلب الصفحة ونكمّل الحل. هنختصر اللي جوّه القوس. الواحد من عشرة مع المية هيتبقّى عشرة. يبقى نهاية لمَّا الـ ن تئول للمالانهاية للمجموع هـ يساوي واحد إلى ن، لِـ عشرة ناقص عشرة هـ تربيع على ن تربيع، مضروبة في عشرة على ن. هنستخدم خصائص المجموع بإن إحنا نوزع المجموع على ما هو داخل القوس، اللي هو العشرة ناقص العشرة هـ تربيع ن تربيع. يبقى نهاية لمَّا الـ ن تئول للمالانهاية. والعشرة ن هتبقى برّه لمجموع هـ يساوي واحد إلى ن للعشرة ناقص مجموع الـ هـ لمَّا تساوي الواحد إلى الـ ن للعشرة هـ تربيع على ن تربيع.

من خصائص المجموع إن عشرة على ن تربيع ده يُعتبر ثابت؛ لأن إحنا العدّاد بتاعنا هـ. فبنقدر ناخد العشرة على ن تربيع برّه صيغة المجموع. وبالتالي باستخدام صيغة المجموع وخصائصها. يبقى نهاية ن لمَّا تئول للمالانهاية للعشرة على ن. هتبقى مجموع من الـ هـ يساوي واحد إلى ن للعشرة. ناقص عشرة على ن تربيع لمجموع هـ يساوي واحد إلى ن للـ هـ تربيع. مفكوك المجموع للثابت اللي هو من هـ يساوي واحد إلى ن للثابت، هيساوي الثابت في الـ ن. ومفكوك الـ هـ تربيع بيساوي ن في ن زائد الواحد، في قوس كمان اتنين ن زائد الواحد على الستة.

هنعوّض بقيم المفكوك. يبقى هيساوي نهاية لمَّا الـ ن تئول للمالانهاية للعشرة على ن. المفكوك الأولاني هيبقى عشرة في قيمة الـ ن، ناقص عشرة على ن تربيع زي ما هي. ونجيب مفكوك الـ هـ تربيع، اللي هو ن في ن زائد الواحد في اتنين ن زائد الواحد. كل ده على ستة. هنختصر الـ ن تربيع مع الـ ن، والعشرة مع الستة، هيبقى خمسة على تلاتة. ونضرب في العشرة على الـ ن اللي برّه القوس للحدين اللي قدامنا دول.

نقلب الصفحة ونجيب قيمة النهاية. يبقى نهاية لمَّا الـ ن تئول للمالانهاية للمية ناقص خمسين، مضروبة في الاتنين ن تربيع زائد تلاتة ن زائد الواحد؛ على تلاتة ن تربيع. هنقسّم الحدود اللي عندنا على الـ ن تربيع. يبقى هيساوي نهاية لمَّا الـ ن تئول للمالانهاية للمية ناقص خمسين على تلاتة. اتنين ن تربيع على ن تربيع، يبقى اتنين. زائد تلاتة ن على ن تربيع، يبقى تلاتة على ن. زائد واحد على ن تربيع.

من خصائص النهايات إن إحنا نقدر نوزّع النهاية على الجمع والطرح. يبقى هنساوي نهاية الـ ن تئول للمالانهاية للعدد الثابت مية. ناقص نهاية ن لمَّا تئول للمالانهاية للخمسين على تلاتة، مضروبة في الاتنين، زائد تلاتة على ن، زائد الواحد على الـ ن تربيع. نهاية العدد الثابت هي نفس قيمة العدد الثابت. يبقى مية ناقص … خمسين على تلاتة ممكن نسحبها برّه النهاية، تبقى خمسين على تلاتة. مضروبة في النهاية ن تئول للمالانهاية للاتنين زائد نهاية … تلاتة على ن ممكن ناخد التلاتة برّه. يبقى واحد على الـ ن لمَّا الـ ن تئول للمالانهاية. زائد نهاية الـ ن لمَّا تئول للمالانهاية لواحد على ن تربيع.

في النهايات لمَّا تكون الـ ن تئول للمالانهاية. نهاية الواحد على ن بتبقى قيمتها يساوي صفر. والواحد على ن تربيع هتساوي صفر. وهنا نهاية الاتنين عدد ثابت. يبقى نهايتها هتساوي اتنين. يبقى قيمة النهاية بتساوي مية ناقص خمسين على تلاتة، مضروبة في الاتنين. يساوي ستة وستين واتنين على تلاتة، اللي هي تقريبًا ستة وستين وسبعة وستين من مية وحدة مربعة. وهنا الوحدة المربعة عندنا يبقى هتبقى متر مربع. كده جبنا مساحة أيّ من الممرين. وإحنا عايزين نبلط ممرين، يبقى هنضرب المساحة في اتنين. وعلشان نجيب قيمة التكلفة بتاعتهم، هنضربهم في السعر.

نقلب الصفحة. يبقى مساحة الممر الواحد بتساوي تقريبًا ستة وستين وسبعة وستين من مية متر مربع. المساحة الكلية المطلوبة اللي هي هتبقى ستة وستين وسبعة وستين من مية، في اتنين متر مربع. يبقى التكلفة هتساوي الستة وستين وسبعة وستين من مية، في الاتنين، في تكلفة المتر المربع اللي هي اتنين وعشرين وأربعة من عشرة. اللي هي هتساوي تقريبًا ألفين تسعمية ستة وتمانين وتمنية من عشرة جنيه.

في الفيديو ده عرفنا إزَّاي هنستخدم التكامل المحدّد. وخصائص النهايات لحساب المساحة تحت المنحنى. المساحة دي اللي بتمثّل حاجات وتطبيقات كتيرة موجودة في حياتنا.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.